Теорија чворова

У топологији, теорија чворова је студија математичких чворова. Иако су инспирисани чворовима који се појављују у свакодневном животу, попут оних на обући и конопцу, математички чвор се разликује по томе што су крајеви спојени тако да их није могуће развезати, при чему је најједноставнији чвор је прстен. У математичком језику, чвор је уметање круга у тродимензионални еуклидски простор, R³ (у топологији, круг није везан за класични геометријски концепт, већ за све његове хомеоморфизме). Два математичка чвора су еквивалентна ако се један може трансформисати у други помоћу деформације R³ на себи (познате као амбијентална изотопија); ове трансформације одговарају манипулацијама заплетене струне које не обухватају сечење струне, нити пролазак струне кроз себе.

Примери различитих чворова, укључујући тривијални чвор (горе лево) и (испод њега) троструки чвор

Дијаграм трокраког чвора, најједноставнијег нетривијалног чвора.

Чворови се могу описати на различите начине. Међутим, за дати метод описа, може постојати више описа који представљају исти чвор. На пример, уобичајена метода описивања чвора је равански дијаграм који се назива чворни дијаграм. Дати чвор се може нацртати на више различитих начина користећи дијаграм чвора. Стога је фундаментални проблем у теорији чворова одређивање када два описа представљају исти чвор.

Постоји комплетно алгоритамско решење овог проблема, које има непознату сложеност. У пракси се чворови често разликују коришћењем чворне инваријанте, „количине” која је иста када се рачуна из различитих описа чвора. Важне инваријанте укључују полином чворова, групе чворова, и хиперболичке инваријанте.

Оригинална мотивација за утемељитеље теорије чворова била је стварање табеле чворова и веза, које су чворови са неколико компоненти испреплетени једни са другима. Више од шест милијарди чворова и веза је унесено у табеле од почетка теорије чворова у 19. веку.

Да би стекао даљи увид, математичари су на неколико начина генерализирали концепт чвора. Чворови се могу разматрати у другим тродимензионалним просторима и могу се користити предмети који нису кругови; погледајте чвор (математика). Чворови виших димензија су n-димензионалне сфере у m-димензионалном Еуклидском простору.

Историја

Главни чланак: Историја теорије чворова

Замршени келтски чворови у Келској књизи, старој 1200 година.

Археолози су открили да везивање чворова потиче још из праисторијских времена. Поред њихове употребе за намене попут записивања информација и повезивање предмета, чворови су интересовали људе због њихове естетске и духовне симболике. Чворови се појављују у различитим облицима кинеских уметничких дела која потичу из периода од више векова пре нове ере (погледајте кинески вез). Бескрајни чвор се појављује у тибетанском будизму, док су Боромеови прстенови били присутни у различитим културама, и често су представљали снагу у јединству. Келтски монаси, који су створили Келску књигу, украшавали су целе странице замршеним келтским чворовима.

Први табулатор чворова, Питер Гатри Тејт

Математичку теорију чворова први је развио Александар-Теофил Вандермонд 1771. године, који је експлицитно уочио важност тополошких карактеристика при разматрању својства чворова у контексту геометрије положаја. Математичке студије чворова почеле су у 19. веку са доприносом Карла Фридриха Гауса, који је дефинисао интеграл везивања. Током 1860-их, теорија Лорда Келвина да су атоми чворови у етеру довела је до тога да је Питер Гатри Тејт створио прве табеле чворова ради потпуне класификације. Тејт је 1885. године објавио табелу чворова са до десет прелаза, и оно што је постало познато под називом Тејтове претпоставке. Овај запис је мотивисао ране теоретичаре чворова. Теорија чворова је временом постала део топологије.

Тополози из раног дела 20. века - Макс Ден, Џ. V. Алекандер и други - проучавали су чворове са становишта групе чворова и инваријанати из хомолошке теорије, као што је Александров полином. Ово би био главни приступ теорији чворова све док низ открића није трансформисао ову област.

Крајем 1970-их, Вилијам Тарстон је увео хиперболичку геометрију у проучавање чворова помоћу теореме хиперболизације. Показано је да су многи чворови хиперболични чворови, што је омогућило употребу геометрије у дефинисању нових, моћних инваријанати чворова. Вон Џоунсово откриће Џоунсовог полинома 1984. године, и каснији доприноси Едварда Витена, Максима Консевича и других, открили су дубоку повезаност између теорије чворова и математичких метода у статистичкој механици и квантној теорији поља. Отада је пронађено мноштво инваријанати са чворовима, користећи софистициране алате као што су квантне групе и Флоерова хомологија.

У последњих неколико деценија 20. века, научници су се интензивно бавили проучавањем физичких чворова како би разумели појаве чворова у ДНК и другим полимерима. Теорија чворова се може употребити за утврђивање да ли је молекул хиралан (поседује асиметричне центре) или не. Заплети, струне са оба краја фиксирана у месту, ефикасно су коришћени у проучавању деловања топоизомеразе на ДНК. Теорија чворова може бити пресудна у конструкцији квантних рачунара, путем модела тополошког квантног рачунања.

Литература

• Адамс, Цолин (2004), Тхе Кнот Боок: Ан Елементарy Интродуцтион то тхе Матхематицал Тхеорy оф Кнотс, Америцан Матхематицал Социетy, ИСБН 978-0-8218-3678-1 
• Адамс, Цолин; Хилдебранд, Мартин; Wеекс, Јеффреy (1991), „Хyперболиц инвариантс оф кнотс анд линкс”, Трансацтионс оф тхе Америцан Матхематицал Социетy, 326 (1): 1—56, ЈСТОР 2001854, дои:10.1090/с0002-9947-1991-0994161-2 
• Акбулут, Селман; Кинг, Хенрy C. (1981), „Алл кнотс аре алгебраиц”, Цомм. Матх. Хелв., 56 (3): 339—351, дои:10.1007/БФ02566217 
• Бар-Натан, Дрор (1995), „Он тхе Вассилиев кнот инвариантс”, Топологy, 34 (2): 423—472, дои:10.1016/0040-9383(95)93237-2 
• Цоллинс, Грахам (април 2006), „Цомпутинг wитх Qуантум Кнотс”, Сциентифиц Америцан, 294 (4), стр. 56—63, Бибцоде:2006СциАм.294д..56Ц, дои:10.1038/сциентифицамерицан0406-56 
• Дехн, Маx (1914), „Дие беиден Клееблаттсцхлинген”, Матхематисцхе Аннален, 75: 402—413 
• Цонwаy, Јохн Хортон (1970), „Ан енумератион оф кнотс анд линкс, анд соме оф тхеир алгебраиц пропертиес”, Цомпутатионал Проблемс ин Абстрацт Алгебра, Пергамон, стр. 329—358, ИСБН 978-0080129754, ОЦЛЦ 322649 
• Долл, Хелмут; Хосте, Јим (1991), „А табулатион оф ориентед линкс. Wитх мицрофицхе супплемент”, Матх. Цомп., 57 (196): 747—761, Бибцоде:1991МаЦом..57..747Д, дои:10.1090/С0025-5718-1991-1094946-4 
• Флапан, Ерица (2000), „Wхен топологy меетс цхемистрy: А топологицал лоок ат молецулар цхиралитy”, Оутлоокс, Цамбридге Университy Пресс, ИСБН 978-0-521-66254-3 
• Хаефлигер, Андрé (1962), „Кноттед (4к − 1)-спхерес ин 6к-спаце”, Анналс оф Матхематицс, Сецонд Сериес, 75 (3): 452—466, ЈСТОР 1970208, дои:10.2307/1970208 
• Хасс, Јоел (1998), „Алгоритхмс фор рецогнизинг кнотс анд 3-манифолдс”, Цхаос, Солитонс анд Фрацталс, 9 (4–5): 569—581, Бибцоде:1998ЦСФ.....9..569Х, арXив:матх/9712269 , дои:10.1016/С0960-0779(97)00109-4 
• Хосте, Јим; Тхистлетхwаите, Морwен; Wеекс, Јеффреy (1998), „Тхе Фирст 1,701,935 Кнотс”, Матх. Интеллигенцер, 20 (4): 33—48, дои:10.1007/БФ03025227 
• Хосте, Јим (2005), „Тхе енумератион анд цлассифицатион оф кнотс анд линкс”, Хандбоок оф Кнот Тхеорy (ПДФ), Амстердам: Елсевиер 
• Левине, Јероме (1965), „А цлассифицатион оф дифферентиабле кнотс”, Анналс оф Матхематицс, Сецонд Сериес, 1982 (1): 15—50, ЈСТОР 1970561, дои:10.2307/1970561 
• Контсевицх, Маxим (1993), „Вассилиев'с кнот инвариантс”, I. M. Гелфанд Семинар, Адв. Совиет Матх., 2, Провиденце, РИ: Америцан Матхематицал Социетy, 16: 137—150, ИСБН 9780821841174, дои:10.1090/адвсов/016.2/04 
• Лицкорисх, W. Б. Раyмонд (1997), Ан Интродуцтион то Кнот Тхеорy, Градуате Теxтс ин Матхематицс, Спрингер-Верлаг, ИСБН 978-0-387-98254-0 
• Перко, Кеннетх (1974), „Он тхе цлассифицатион оф кнотс”, Процеедингс оф тхе Америцан Матхематицал Социетy, 45 (2): 262—6, ЈСТОР 2040074, дои:10.2307/2040074 
• Ролфсен, Дале (1976), Кнотс анд Линкс, Матхематицс Лецтуре Сериес, 7, Беркелеy, Цалифорниа: Публисх ор Перисх, ИСБН 978-0-914098-16-4, МР 0515288 
• Сцхуберт, Хорст (1949), „Дие еиндеутиге Зерлегбаркеит еинес Кнотенс ин Примкнотен”, Хеиделбергер Акад. Wисс. Матх.-Нат. Кл. (3): 57—104 
• Силвер, Дан (2006), „Кнот тхеорy'с одд оригинс” (ПДФ), Америцан Сциентист, 94 (2), стр. 158—165, дои:10.1511/2006.2.158, Архивирано из оригинала (ПДФ) 24. 09. 2015. г., Приступљено 17. 02. 2020 
• Симон, Јонатхан (1986), „Топологицал цхиралитy оф цертаин молецулес”, Топологy, 25 (2): 229—235, дои:10.1016/0040-9383(86)90041-8 
• Соссинскy, Алеxеи (2002), Кнотс, матхематицс wитх а тwист, Харвард Университy Пресс, ИСБН 978-0-674-00944-8 
• Тураев, V. Г. (1994), „Qуантум инвариантс оф кнотс анд 3-манифолдс”, Де Груyтер Студиес ин Матхематицс, Берлин: Wалтер де Груyтер & Цо., 18, ИСБН 978-3-11-013704-0, арXив:хеп-тх/9409028  
• Wеисстеин, Ериц W. „Редуцед Кнот Диаграм”. МатхWорлд. Wолфрам. Приступљено 8. 5. 2013. 
• Wеисстеин, Ериц W. „Редуцибле Цроссинг”. МатхWорлд. Wолфрам. Приступљено 8. 5. 2013. 
• Wиттен, Едwард (1989), „Qуантум фиелд тхеорy анд тхе Јонес полyномиал”, Цомм. Матх. Пхyс., 121 (3): 351—399, Бибцоде:1989ЦМаПх.121..351W, дои:10.1007/БФ01217730 
• Зееман, Е. C. (1963), „Ункноттинг цомбинаториал баллс”, Анналс оф Матхематицс, Сецонд Сериес, 78 (3): 501—526, ЈСТОР 1970538, дои:10.2307/1970538 
• Бурде, Герхард; Зиесцханг, Хеинер (1985), Кнотс, Де Груyтер Студиес ин Матхематицс, 5, Wалтер де Груyтер, ИСБН 978-3-11-008675-1 
• Цроwелл, Рицхард Х.; Фоx, Ралпх (1977). Интродуцтион то Кнот Тхеорy. ИСБН 978-0-387-90272-2. 
• Кауффман, Лоуис Х. (1987), Он Кнотс, ИСБН 978-0-691-08435-0 
• Кауффман, Лоуис Х. (2013), Кнотс анд Пхyсицс (4тх изд.), Wорлд Сциентифиц, ИСБН 978-981-4383-00-4 
• Менасцо, Wиллиам W.; Тхистлетхwаите, Морwен, ур. (2005), Хандбоок оф Кнот Тхеорy, Елсевиер, ИСБН 978-0-444-51452-3 
• Менасцо анд Тхистлетхwаите'с хандбоок сурвеyс а миx оф топицс релевант то цуррент ресеарцх трендс ин а маннер аццессибле то адванцед ундерградуатес бут оф интерест то профессионал ресеарцхерс.
• Ливио, Марио (2009), „Цх. 8: Унреасонабле Еффецтивенесс?”, Ис Год а Матхематициан?, Симон & Сцхустер, стр. 203—218, ИСБН 978-0-7432-9405-8 

Спољашње везе

• "Mathematics and Knots"

Историја

• Тхомсон, Сир Wиллиам (1867), „Он Вортеx Атомс”, Процеедингс оф тхе Роyал Социетy оф Единбургх, VI: 94—105 
• Силлиман, Роберт Х. (децембар 1963), „Wиллиам Тхомсон: Смоке Рингс анд Нинетеентх-Центурy Атомисм”, Исис, 54 (4): 461—474, ЈСТОР 228151, дои:10.1086/349764 
• Movie Архивирано на сајту Wayback Machine (24. септембар 2015) of a modern recreation of Tait's smoke ring experiment
• History of knot theory (on the home page of Andrew Ranicki)

Табеле чворова и софтвер

• KnotInfo: Table of Knot Invariants and Knot Theory Resources Архивирано на сајту Wayback Machine (9. децембар 2019)
• "Маин Паге", Тхе Кнот Атлас. — detailed info on individual knots in knot tables
• KnotPlot — software to investigate geometric properties of knots