Униформна расподела (континуирана)

У теорији вероватноће и статистици, континуирана униформна расподела или правоугаона расподела је фамилија симетричних расподела вероватноће таквих да су за сваког члана фамилије, сви интервали исте дужине унутар дистрибуционе подршке подједнако вероватни. Подршка је дефинисана са два параметра, а и б, који су њена минимална и максимална вредност. Дистрибуција је често скраћено означава са У(а,б). Она је дистрибуција вероватноће максималне ентропије за рандомну променљиву X без ограничења, осим да је садржана у дистрибуционој подршци.

Униформна расподела

Функција густине вероватноће Користећи конвенцију максимума
Функција кумулативне расподеле
Нотација	${\mathcal {U}}(a,b)$ или $\mathrm {unif} (a,b)$
Параметри	$-\infty <a<b<\infty \,$
Носитељ	$x\in [a,b]$
ПДФ	${\begin{cases}{\frac {1}{b-a}}&{\text{za }}x\in [a,b]\\0&{\text{inače}}\end{cases}}$
ЦДФ	${\begin{cases}0&{\text{za }}x<a\\{\frac {x-a}{b-a}}&{\text{za }}x\in [a,b)\\1&{\text{za }}x\geq b\end{cases}}$
Просек	${\tfrac {1}{2}}(a+b)$
Медијана	${\tfrac {1}{2}}(a+b)$
Модус	свака вредност у $(a,b)$
Варијанса	${\tfrac {1}{12}}(b-a)^{2}$
Коеф. асиметрије	0
Куртоза	$-{\tfrac {6}{5}}$
Ентропија	$\ln(b-a)\,$
МГФ	${\begin{cases}{\frac {\mathrm {e} ^{tb}-\mathrm {e} ^{ta}}{t(b-a)}}&{\text{za }}t\neq 0\\1&{\text{za }}t=0\end{cases}}$
ЦФ	${\begin{cases}{\frac {\mathrm {e} ^{itb}-\mathrm {e} ^{ita}}{it(b-a)}}&{\text{za }}t\neq 0\\1&{\text{za }}t=0\end{cases}}$

Карактеризација

Функција густине вероватноће

Функција густине вероватноће континуирне униформне расподеле је:

$f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{b-a}}&\mathrm {za} \ a\leq x\leq b,\\[8pt]0&\mathrm {za} \ x<a\ \mathrm {ili} \ x>b\end{cases}}$

Вредности f(x) на двема граница a и b су обично неважне, јер не мењају вредности интеграла f(x) dx на било ком интервалу, нити вредност x f(x) dx или било којег вишег момента. Понекад се оне изједначавају са нулом, а понекад се бира да буду 1/(б − а). Ово питање је прикладно у контексту процене методом максималне вероватноће. У контексту Фуријеове анализе, може се узети да вредност f(a) или f(b) буде 1/(2(b − a)), јер тада инверзна трансформација многих интегралних трансформација ове униформне функције даје саму функцију, а не функцију која је једнака „скоро свуда”, тј. осим на скупу тачака са нултом мером. Такође, ово је у складу са сигнум функцијом која нема такву двосмисленост.

У смислу средње вредности μ и варијансе σ², густина вероватноће се може записати као:

$f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{2\sigma {\sqrt {3}}}}&{\mbox{za }}-\sigma {\sqrt {3}}\leq x-\mu \leq \sigma {\sqrt {3}}\\0&{\text{inače}}\end{cases}}$

Функција кумулативне дистрибуције

Функција кумулативне дистрибуције је:

$F(x)={\begin{cases}0&{\text{za }}x<a\\[8pt]{\frac {x-a}{b-a}}&{\text{za }}a\leq x\leq b\\[8pt]1&{\text{za }}x>b\end{cases}}$

Њен инверзни облик је:

$F^{-1}(p)=a+p(b-a)\,\,{\text{ za }}0<p<1$

У нотацији средње вредности и варијансе, функција кумулативне дистрибуције је:

$F(x)={\begin{cases}0&{\text{za }}x-\mu <-\sigma {\sqrt {3}}\\{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma {\sqrt {3}}}}+1\right)&{\text{za }}-\sigma {\sqrt {3}}\leq x-\mu <\sigma {\sqrt {3}}\\1&{\text{za }}x-\mu \geq \sigma {\sqrt {3}}\end{cases}}$

и инверзни облик је:

$F^{-1}(p)=\sigma {\sqrt {3}}(2p-1)+\mu \,\,{\text{ za }}0\leq p\leq 1$

Генерисање функција

Функција генерисања момента

Функција генерисања момента је:

$M_{x}=E(e^{tx})={\frac {e^{tb}-e^{ta}}{t(b-a)}}\,\!$

из чега се могу израчнунати моменти m_k

$m_{1}={\frac {a+b}{2}},\,\!$

$m_{2}={\frac {a^{2}+ab+b^{2}}{3}},\,\!$

$m_{k}={\frac {1}{k+1}}\sum _{i=0}^{k}a^{i}b^{k-i}.\,\!$

У специјалном случају a = –b, другим речима, за

$f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{2b}}&{\text{za}}\ -b\leq x\leq b,\\[8pt]0&{\text{inače}},\end{cases}}$

функција генерисања момента се редукује на једноставну форму

$M_{x}={\frac {\sinh bt}{bt}}.$

За рандомну променљиву која следи ову дистрибуцију, очекивана вредност је m₁ = (a + b)/2 и варијанса је m₂ − m₁² = (b − a)²/12.

Функција генерисања кумуланта

За n ≥ 2, n-ти кумулант униформне дистрибуције на интервалу [-1/2, 1/2] је B_n/n, где је B_n n-ти Бернулијев број.

Својства

Моменти

Среднај вредност (први моменат) дистрибуције је:

$E(X)={\frac {1}{2}}(a+b).$

Други моменат дистрибуције је:

$E(X^{2})={\frac {1}{3}}(a^{2}+ab+b^{2}).$

Генерално, n-ти моменат униформне дистрибуције је:

$E(X^{n})={\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}a^{k}b^{n-k}.$

Варијанса (други централни моменат) је:

$V(X)={\frac {1}{12}}(b-a)^{2}$

Друге статистике

Нека је X₁, ..., X_n узорак независне и идентично распоређене рандомне променљиве из U(0,1). Нека је X_(k) k-ти ред статистика из овог узорка. Онда расподела вероватноће X_(k) представља бета расподелу са параметрима k и н − к + 1. Очекивана вредности је

$\operatorname {E} (X_{(k)})={k \over n+1}.$

Ова чињеница је корисна кад се праве Q–Q графици.

Варијанце су

$\operatorname {V} (X_{(k)})={k(n-k+1) \over (n+1)^{2}(n+2)}.$

Униформност

Вероватноћа да униформно распоређена случајна променљива падне унутар било којег интервала фиксне дужине не зависи од локације самог интервала (мада је зависна од величине интервала), докле год је интервал садржан унутар дистрибуционе подршке.

Да бе то видело, ако је X ~ U(a,b) и [x, x+d] подинтервал од [a,b] са фиксним d > 0, тада је

$P\left(X\in \left[x,x+d\right]\right)=\int _{x}^{x+d}{\frac {\mathrm {d} y}{b-a}}\,={\frac {d}{b-a}}\,\!$ wхицх ис индепендент оф x. Тхис фацт мотиватес тхе дистрибутион'с наме.

Генерализација до Борелових сетова

Ова дистрибуција може се генерализовати на сложеније скупове од интервала. Ако је С Борелов скуп позитивне, коначне мере, униформна дистрибуција вероватноће на S може се специфицирати дефинисањем функције расподеле вероватноће која је једнака нули изван С и константно једнака 1/K на S, где је K мера Лебега од S.

Види још

• Дискретна униформна дистрибуција
• Бета дистрибуција
• Бокс-Мјулерова трансформација
• Графикон вероватноће
• Q-Q графикон
• Правоугаона функција
• Ервин-Холова дистрибуција — У денеративном случајеу где је n=1, Ервин-Холова дистрибуција генерише униформну дистрибуцију између 0 и 1.
• Бејтсова дистрибуција

Литература

• Цаселла, Георге; Рогер L. Бергер (2001), Статистицал Инференце (2нд изд.), ИСБН 978-0-534-24312-8, ЛЦЦН 2001025794 
• Анатолyев, Станислав; Косенок, Григорy (2005). „Ан алтернативе то маxимум ликелихоод басед он спацингс” (ПДФ). Ецонометриц Тхеорy. 21 (2): 472—476. ЦитеСеерX 10.1.1.494.7340 . дои:10.1017/С0266466605050255. Архивирано из оригинала (ПДФ) 16. 08. 2011. г. Приступљено 21. 1. 2009. 
• Беирлант, Ј.; Дудеwицз, Е.Ј.; Гyöрфи, L.; ван дер Меулен, Е.C. (1997). „Нонпараметриц ентропy естиматион: ан овервиеw” (ПДФ). Интернатионал Јоурнал оф Матхематицал анд Статистицал Сциенцес. 6 (1): 17—40. ИССН 1055-7490. Архивирано из оригинала (ПДФ) 5. 5. 2005. г. Приступљено 31. 12. 2008. 
• Цхенг, Р.C.Х.; Амин, Н.А.К. (1983). „Естиматинг параметерс ин цонтинуоус унивариате дистрибутионс wитх а схифтед оригин”. Јоурнал оф тхе Роyал Статистицал Социетy, Сериес Б. 45 (3): 394—403. ИССН 0035-9246. ЈСТОР 2345411. дои:10.1111/ј.2517-6161.1983.тб01268.x. 
• Цхенг, Р.C.Х; Степхенс, M. А. (1989). „А гооднесс-оф-фит тест усинг Моран'с статистиц wитх естиматед параметерс”. Биометрика. 76 (2): 386—392. дои:10.1093/биомет/76.2.385. 
• Екстрöм, Магнус (1997). „Генерализед маxимум спацинг естиматес”. Университy оф Умеå, Департмент оф Матхематицс. 6. ИССН 0345-3928. Архивирано из оригинала 14. 2. 2007. г. Приступљено 30. 12. 2008. 
• Халл, M.Ј.; ван ден Боогаард, Х.Ф.П.; Фернандо, Р.C.; Мyнетт, А.Е. (2004). „Тхе цонструцтион оф цонфиденце интервалс фор фреqуенцy аналyсис усинг ресамплинг тецхниqуес”. Хyдрологy анд Еартх Сyстем Сциенцес. 8 (2): 235—246. ИССН 1027-5606. дои:10.5194/хесс-8-235-2004. 
• Пиециак, Томасз (2014). Тхе маxимум спацинг ноисе естиматион ин сингле-цоил бацкгроунд МРИ дата (ПДФ). ИЕЕЕ Интернатионал Цонференце он Имаге Процессинг. Парис. стр. 1743—1747. Приступљено 7. 7. 2015. 
• Пyке, Роналд (1965). „Спацингс”. Јоурнал оф тхе Роyал Статистицал Социетy, Сериес Б. 27 (3): 395—449. ИССН 0035-9246. ЈСТОР 2345793. дои:10.1111/ј.2517-6161.1965.тб00602.x. 
• Раннебy, Бо (1984). „Тхе маxимум спацинг метход. Ан естиматион метход релатед то тхе маxимум ликелихоод метход”. Сцандинавиан Јоурнал оф Статистицс. 11 (2): 93—112. ИССН 0303-6898. ЈСТОР 4615946. 
• Раннебy, Бо; Екстрöм, Магнус (1997). „Маxимум спацинг естиматес басед он дифферент метрицс”. Университy оф Умеå, Департмент оф Матхематицс. 5. ИССН 0345-3928. Архивирано из оригинала 14. 2. 2007. г. Приступљено 30. 12. 2008. 
• Раннебy, Бо; Јаммаламадакаб, С. Рао; Тетеруковскиy, Алеx (2005). „Тхе маxимум спацинг естиматион фор мултивариате обсерватионс” (ПДФ). Јоурнал оф Статистицал Планнинг анд Инференце. 129 (1–2): 427—446. дои:10.1016/ј.јспи.2004.06.059. Приступљено 31. 12. 2008. 
• Wонг, Т.С.Т; Ли, W.К. (2006). „А ноте он тхе естиматион оф еxтреме валуе дистрибутионс усинг маxимум продуцт оф спацингс”. Тиме сериес анд релатед топицс: ин меморy оф Цхинг-Зонг Wеи. Институте оф Матхематицал Статистицс Лецтуре Нотес - Монограпх Сериес. Беацхwоод, Охио: Институте оф Матхематицал Статистиц. стр. 272–283. ИСБН 978-0-940600-68-3. арXив:матх/0702830в1 . дои:10.1214/074921706000001102. 

Спољашње везе

• Онлине цалцулатор оф Униформ дистрибутион (цонтинуоус)