Jednostavan dokaz da je 22/7 veće od pi

Racionalan broj 22/7 je približna vrednost iracionalnog broja π.

$22/7\cong 3,142857\dots \,$

$\pi \cong 3,14159\dots \,$

Sledi matematički dokaz da je 22/7 > π. Ovaj dokaz je jednostavan jer je kratak i neposredan i zahteva samo osnovni nivo poznavanja matematičke analize.

Ideja

$0<\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}(1-x)^{4}}{1+x^{2}}}\,dx={\frac {22}{7}}-\pi .$

Detalji

$0<\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}(1-x)^{4}}{1+x^{2}}}\,dx$

$=\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}-4x^{5}+6x^{6}-4x^{7}+x^{8}}{1+x^{2}}}\,dx$

$=\int _{0}^{1}\left(x^{6}-4x^{5}+5x^{4}-4x^{2}+4-{\frac {4}{1+x^{2}}}\right)\,dx$

$=\left.{\frac {x^{7}}{7}}-{\frac {2x^{6}}{3}}+x^{5}-{\frac {4x^{3}}{3}}+4x-4\arctan {x}\,\right|_{0}^{1}$

$={\frac {1}{7}}-{\frac {2}{3}}+1-{\frac {4}{3}}+4-\pi \$ (setite se da je arctan(1) = π/4)

$={\frac {22}{7}}-\pi .$

Dakle, razlika 22/7 i π je veća od nule što i dokazuje da je 22/7 > π.

Patnamovo takmičenje

Razvoj ovog integrala bio je prvi problem na američkom Godišnjem Vilijam Louel Patnam studentskom matematičkom takmičenju 1968. godine.

Spoljni link

• Problemi sa Patnamovog takmičenja 1968, gde je ovaj dokaz dat kao problem A1.
• The Life of Pi Arhivirano na sajtu Wayback Machine (17. mart 2007) by Jonathan Borwein—see page 5 for this integral.