Aksioma uparivanja

U aksiomatskoj teoriji skupova i oblastima logike, matematike, i računarstva koje se njome koriste, aksioma uparivanja je jedna od aksioma Zermelo-Frenkel teorije skupova.

Formalni iskaz

U formalnom jeziku Zermelo-Frenkel aksioma, aksioma glasi:

$\forall A\,\forall B\,\exists C\,\forall D\,[D\in C\iff (D=A\lor D=B)]$

ili napisano rečima:

Za bilo koji dati skup A i bilo koji skup B, postoji skup C, takav da, za bilo koji dati skup D, D je član C ako i samo ako D je jednako A ili D je jednako B.

Ili prostije rečeno:

Za dva data skupa, postoji skup čiji su elementi upravo dva data skupa.

Interpretacija

Ova aksioma zapravo kaže da za dva data skupa A i B, može da se nađe skup C, čiji su elementi tačno A i B. Može da se koristi aksioma ekstenzionalnosti da se pokaže da je ovaj skup C jedinstven. Skup C se naziva parom za A i B, i označava se sa {A, B}. Znači, suština aksiome je:

Svaka dva skupa imaju par.

{A, A} se skraćeno zapisuje kao {A}, i naziva se singlton koji sadrži A. Valja uočiti da je singlton poseban slučaj para.

Aksioma uparivanja takođe dopušta definiciju uređenih parova. Za svaka dva skupa $a$ i $b$, uređeni par se definiše na sledeći način:

$(a,b)=\{\{a\},\{a,b\}\}.\,$

Ova definicija zadovoljava uslov

$(a,b)=(c,d)\iff a=c\land b=d.$

Uređena n-torka može rekurzivno da se definiše na sledeći način:

$(a_{1},\ldots ,a_{n})=((a_{1},\ldots ,a_{n-1}),a_{n}).\!$

Ne-nezavisnost

Aksioma uparivanja se generalno smatra nekontroverznom, i ona ili njen ekvivalent se pojavljuje u manje-više svakoj alternativnoj aksiomatskoj teoriji skupova. Pa ipak, u standardnoj formulaciji Zermelo-Frenkel teorije skupova, aksioma uparivanja sledi iz šeme aksioma zamene primenjene na bilo koji dati skup sa dva ili više elemenata, i stoga se ponekad izostavlja. Postojanje takvog skupa sa dva elementa, kao što je { {}, { {} } }, može da se dedukuje bilo iz aksiome praznog skupa i aksiome partitivnog skupa ili iz aksiome beskonačnosti.

Uopštenje

Zajedno sa aksiomom praznog skupa, aksioma uparivanja može da se uopšti u sledeću šemu:

$\forall A_{1}\,\ldots \,\forall A_{n}\,\exists C\,\forall D\,[D\in C\iff (D=A_{1}\lor \cdots \lor D=A_{n})]$

to jest:

Za bilo koji dati konačni broj skupova A₁ do A_n, postoji skup C čiji elementi su upravo A₁ do A_n.

Ovaj skup C je takođe jedinstven po aksiome ekstenzionalnosti, i označava se kao {A₁,...,A_n}.

Naravno, nije moguće rigorozno govoriti o konačnom broju skupova ako prethodno nije definisan (konačan) skup kome pomenuti skupovi pripadaju.

Stoga ovo nije jedan iskaz već šema, sa zasebnim iskazom za svaki prirodan broj n.

• Slučaj n = 1 je aksioma uparivanja za A = A₁ i B = A₁.
• Slučaj n = 2 je aksioma uparivanja za A = A₁ i B = A₂.
• Slučajevi n > 2 mogu da se dokažu uzastopnim korišćenjem aksiome uparivanja i aksiome unije.

Na primer, kako bi se dokazao slučaj n = 3, koristi se aksioma uparivanja tri puta da se proizvede par {A₁, A₂}, singlton {A₃}, a zatim par {{A₁,A₂},{A₃}}. Aksioma unije zatim proizvodi željeni rezultat, {A₁,A₂,A₃}. Ova šema može da se proširi da uključuje n = 0 ako se taj slučaj interpretira kao aksioma praznog skupa.

Stoga, ova aksioma može da se koristi kao šema aksioma umesto aksiome praznog skupa i aksiome uparivanja. Međutim, uobičajeno je da se aksioma praznog skupa i aksioma uparivanja koriste zasebno, a zatim da se dokaže ovo uopštenje kao šema teorema. Njegovo usvajanje kao šeme aksioma ne bi zamenilo aksiomu unije, koja bi i dalje bila potrebna za druge situacije.

Još jedna alternativa

Još jedna aksioma koja implicira aksiomu uparivanja u prisustvu aksiome praznog skupa glasi:

$\forall A\,\forall B\,\exists C\,\forall D\,[D\in C\iff (D\in A\lor D=B)]$.

Uzimanjem {} za A a x za B, dobija se {x} za C. Zatim se uzma {x} za A a y za B, što daje {x, y} za C. Može da se nastavi sa ovim i da se izgradi bilo koji konačan skup. I ovo može da se koristi da se generišu svi nasledno konačni skupovi bez korišćenja aksiome izbora.

Literatura

• Paul Halmos, Naive set theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York. 1974. ISBN 978-0-387-90092-6. (Springer-Verlag edition).
• Jech, Thomas (2003). Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN 978-3-540-44085-7. .
• Kunen, Kenneth (1980). Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. Elsevier. ISBN 978-0-444-86839-8. .