Banahova teorema o nepokretnoj tački

Banahova teorema o nepokretnoj tački (takođe poznata kao teorema o kontrakcionom preslikavanju ili princip kontrakcionog preslikavanja) je važan alat u teoriji metričkih prostora; ona garantuje postojanje i jedinstvenost nepokretnih tačaka određenih preslikavanja iz nekog metričkog prostora u samog sebe, i daje konstruktivni metod za pronalaženje tih nepokretnih tačaka. Teorema je dobila ime po Stefanu Banahu, (1892—1945), koji ju je i izrekao 1922. godine

Teorema

Neka je (X, d) neprazan kompletan metrički prostor. Neka je T : X → X kontrakcija na X, to jest: postoji nenegativan realan broj q < 1, takav da

$d(Tx,Ty)\leq q\cdot d(x,y)$

za svako x, y iz X. Tada preslikavanje T ima jednu i samo jednu nepokretnu tačku x^* u X (ovo znači da Tx^* = x^*). Štaviše, ta nepokretna tačka može da se nađe na sledeći način: pođe se od proizvoljnog elementa x₀ iz X i definiše se iterativni niz, kao x_n = Tx_n-1 za n = 1, 2, 3, ... ovaj niz konvergira, i limes mu je upravo x^*. Sledeća nejednakost opisuje brzinu konvergencije:

$d(x^{*},x_{n})\leq {\frac {q^{n}}{1-q}}d(x_{1},x_{0})$.

Ekvivalentno,

$d(x^{*},x_{n+1})\leq {\frac {q}{1-q}}d(x_{n+1},x_{n})$

i

$d(x^{*},x_{n+1})\leq qd(x_{n},x^{*})$.

Najmanja vrednost q se ponekad naziva Lipšicovom konstantom.

Valja uočiti da zahtev d(Tx, Ty) < d(x, y) za sve različite x i y u opštem slučaju nije dovoljan da osigura postojanje nepokretne tačke, kao što se vidi iz preslikavanja T : [1,∞) → [1,∞) sa T(x) = x + 1/x, koje nema nepokretnu tačku. Međutim, ako je prostor X kompaktan, onda i ova slabija pretpostavka implicira sve iskaze teoreme.

Kada se teorema koristi u praksi, obično je najteži deo da se definiše X na takav način da T zaista slika iz X u X, to jest da je Tx uvek element iz X.

Dokaz

Uzmimo bilo koje $x_{0}\in (X,d)$. Za svako $n\in \{1,2,\ldots \}$, definišemo $x_{n}=Tx_{n-1}\,\!$. Tvrdimo da za svako $n\in \{1,2,\dots \}$, važi sledeće:

$d(x_{n+1},x_{n})\leq q^{n}d(x_{1},x_{0})$.

Da bismo ovo pokazali, koristićemo indukciju. Gornji iskaz je tačan za slučaj $n=1\,\!$, za

$d(x_{1+1},x_{1})=d(x_{2},x_{1})=d(Tx_{1},Tx_{0})\leq qd(x_{1},x_{0})$.

Pretpostavimo da gornje tvrđenje važi za neko $k\in \{1,2,\ldots \}$. Tada imamo

$d(x_{(k+1)+1},x_{k+1})\,\!$	$=d(x_{k+2},x_{k+1})\,\!$
	$=d(Tx_{k+1},Tx_{k})\,\!$
	$\leq qd(x_{k+1},x_{k})$
	$\leq q\cdot q^{k}d(x_{1},x_{0})$
	$=q^{k+1}d(x_{1},x_{0})\,\!$.

Po indukciji, gornje tvrđenje važi za svako $n\in \{1,2,\ldots \}$.

Neka je $\epsilon >0\,\!$. Kako je $0\leq q<1$, možemo da nađemo veliko $N\in \{1,2,\ldots \}$ tako da

$q^{N}<{\frac {\epsilon (1-q)}{d(x_{1},x_{0})}}$.

Koristeći gornje tvrđenje, za svako $m\,\!$, $n\in \{0,1,\ldots \}$ gde je $m>n\geq N$, imamo

$d\left(x_{m},x_{n}\right)$	$\leq d(x_{m},x_{m-1})+d(x_{m-1},x_{m-2})+\cdots +d(x_{n+1},x_{n})$
	$\leq q^{m-1}d(x_{1},x_{0})+q^{m-2}d(x_{1},x_{0})+\cdots +q^{n}d(x_{1},x_{0})$
	$=d(x_{1},x_{0})q^{n}\cdot \sum _{k=0}^{m-n-1}q^{k}$
	$<d(x_{1},x_{0})q^{n}\cdot \sum _{k=0}^{\infty }q^{k}$
	$=d(x_{1},x_{0})q^{n}{\frac {1}{1-q}}$
	$=q^{n}{\frac {d(x_{1},x_{0})}{1-q}}$
	$<{\frac {\epsilon (1-q)}{d(x_{1},x_{0})}}\cdot {\frac {d(x_{1},x_{0})}{1-q}}$
	$=\epsilon \,\!$.

Nejednakost u prvoj liniji sledi iz uzastopne primene nejednakosti trougla; red u četvrtoj liniji je geometrijski red sa $0\leq q<1$ i stoga konvergira. Gore se vidi da je $\{x_{n}\}_{n\geq 0}$ Košijev niz u $(X,d)\,\!$ i stoga konvergira po kompletnosti. Znači, neka je $x^{*}=\lim _{n\to \infty }x_{n}$. Uvodimo dva tvrđenja: (1) $x^{*}\,\!$ je nepokretna tačka za $T\,\!$. To jest, $Tx^{*}=x^{*}\,\!$; (2) $x^{*}\,\!$ je jedina nepokretna tačka za $T\,\!$ u $(X,d)\,\!$.

Da bi se videlo (1), uočavamo da za svako $n\in \{0,1,\ldots \}$,

$0\leq d(x_{n+1},Tx^{*})=d(Tx_{n},Tx^{*})\leq qd(x_{n},x^{*})$.

Kako je $qd(x_{n},x^{*})\to 0$ za $n\to \infty$, teorema o dva policajca pokazuje da $\lim _{n\to \infty }d(x_{n+1},Tx^{*})=0$. Ovo pokazuje da $x_{n}\to Tx^{*}$ kada $n\to \infty$. Međutim $x_{n}\to x^{*}$ kada $n\to \infty$, i limesi su jedinstveni; stoga mora da važi $x^{*}=Tx^{*}\,\!$.

Da bi se pokazalo (2), pretpostavimo da $y\,\!$ takođe zadovoljava jednakost $Ty=y\,\!$. Tada

$0\leq d(x^{*},y)=d(Tx^{*},Ty)\leq qd(x^{*},y)$.

Ako se setimo da $0\leq q<1$, gornji iskaz implicira da $0\leq (1-q)d(x^{*},y)\leq 0$, što pokazuje da $d(x^{*},y)=0\,\!$, odakle po pozitivnoj definitnosti sledi $x^{*}=y\,\!$ i dokaz je kompletan.

Primene

Standardna primena je dokaz Pikard-Lindelefove teoreme o postojanju i jedinstvenosti rešenja određenih ordinarnih diferencijalnih jednačina. Traženo rešenje diferencijalne jednačine se izrazi kao nepokretna tačka pogodnog integralskog operatora koji transformiše nepokretne funkcije u nepokretne funkcije. Banahova teorema o nepokretnoj tački se zatim koristi da pokaže da ovaj operator ima jedinstvenu nepokretnu tačku.

Obratna tvrđenja

Postoji nekoliko obratnih tvrđenja za Banahov princip kontrakcije. Sledi jedan koji je dao Česlav Besaga (Czesław Bessaga):

Neka je $f:X\rightarrow X$ preslikavanje apstraktnog skupa, takvo da svaka iterirana funkcija f ⁿ ima jedinstvenu nepokretnu tačku. Neka je q realan broj, 0 < q < 1. Onda postoji kompletan metrički prostor na X, takav da je f kontraktivna, i q je kontrakciona konstanta.

Literatura

• Vasile I. Istratescu, Fixed Point Theory, An Introduction, D.Reidel, the Netherlands. 1981. ISBN 978-90-277-1224-0. See chapter 7.
• Andrzej Granas and James Dugundji, Fixed Point Theory (2003) Springer-Verlag. . New York. ISBN 978-0-387-00173-9. .
• Kirk, William A.; Khamsi, Mohamed A. (2001). An Introduction to Metric Spaces and Fixed Point Theory. John Wiley, New York. ISBN 978-0-471-41825-2. 
• William A. Kirk and Brailey Sims, Handbook of Metric Fixed Point Theory. Kluwer Academic. . London. 2001. ISBN 978-0-7923-7073-4. .
• ---

Ovaj članak je delom zasnovan na članku koji se može naći na stranici Planet Math i predstavlja otvoren sadržaj.