Bernulijevi polinomi

Bernulijevi polinomi u matematici predstavljaju polinome, koji su dobili ime prema Jakobu Bernuliju, a susreću se prilikom izučavanja mnogih specijalnih funkcija, a posebno Rimanove zeta funkcije i Hurvicove zeta funkcije.

Opšti oblik

$B_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}B_{n-k}x^{k}$, gde su ${n \choose k}$ — binomni koeficijenti, a $\ B_{k}$ — Bernulijevi brojevi.

Ili

$B_{n}(x)=\sum _{m=0}^{n}{\frac {1}{m+1}}\sum _{k=0}^{m}(-1)^{k}{m \choose k}(x+k)^{n}.$

Generirajuća funkcija i članovi

Generirajuća funkcija Bernulijevih polinoma je:

${\frac {te^{xt}}{e^{t}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}.$

Bernulijevi polinomi

Nekoliko prvih Bernulijevih polinoma:

$\ B_{0}(x)=1,$

$B_{1}(x)=x-{\frac {1}{2}},$

$B_{2}(x)=x^{2}-x+{\frac {1}{6}},$

$B_{3}(x)=x^{3}-{\frac {3}{2}}x^{2}+{\frac {1}{2}}x,$

$B_{4}(x)=x^{4}-2x^{3}+x^{2}-{\frac {1}{30}}x,$

$B_{5}(x)=x^{5}-{\frac {5}{2}}x^{4}+{\frac {5}{3}}x^{3}-{\frac {1}{6}}x,$

$B_{6}(x)=x^{6}-3x^{5}+{\frac {5}{2}}x^{4}-{\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {1}{42}}.$

Svojstva

$\ B_{n}(0)=B_{n}$.

Računajući izvod generirajuće funkcije po x dobija se:

$t^{2}\ e^{tx}{\frac {1}{e^{t}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B'_{n}(x)}{n!}}t^{n}$.

Leva strana razlikuje se od generirajuće funkcije samo po t, pa je:

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B'_{n}(x)}{n!}}t^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}(x)}{n!}}t^{n+1}$.

Iz čega se dobija

${\frac {B'_{n}(x)}{n!}}={\frac {B_{n-1}(x)}{(n-1)!}}$, a onda je

$\ B'_{n}(x)=nB_{n-1}(x)$.

Iz poslednje jednačine dobija se pravilo integriranja Bernulijevih polinoma:

$\ B_{n}(x)=B_{n}+n\int _{0}^{x}B_{n-1}(t)\,dt$.

$\int _{0}^{1}B_{n}(x)dx=1$ (kada je $n>0$ )

Sledeća suma poznata kao Faulhaberova formula dade se prikazati pomoću Bernulijevih polinoma:

$\sum _{k=0}^{x}k^{p}={\frac {B_{p+1}(x+1)-B_{p+1}(0)}{p+1}}.$

Integrali

$\int _{a}^{x}B_{n}(t)\,dt={\frac {B_{n+1}(x)-B_{n+1}(a)}{n+1}}$

Definite integrals

$\int _{0}^{1}B_{n}(t)B_{m}(t)\,dt=(-1)^{n-1}{\frac {m!n!}{(m+n)!}}B_{n+m}\quad {\mbox{ for }}m,n\geq 1$

Literatura

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, ISBN 978-0-486-61272-0