Vajerštrasova teorema o ekstremnoj vrednosti

Vajerštrasova teorema o ekstremnoj vrednosti (Teorema o ekstremnoj vrednosti) u matematičkoj analizi tvrdi da ako je funkcija f(x) neprekidna na zatvorenom intervalu [a,b], tada f(x) ima maksimalnu i minimalnu vrednost na tom intervalu najmanje jednom.

Neprekidna funkcija na zatvorenom intervalu ima minimum (plavo) i maksimum (crveno).

To jest, postoje brojevi c, i d u intervalu [a, b], takvi da za svako x u [a, b] važi

$f(c)\leq f(x)\leq f(d).$

Slabija verzija ove teoreme je teorema o ograničneosti, koja tvrdi da je f(x), ako je neprekidna na zatvorenom intervalu [a, b], ograničena na tom intervalu. To jest, postoje brojevi l i L, takvi da za svako x u [a, b] važi

$l\leq f(x)\leq L.$

Vajerštrasova teorema o ekstremnoj vrednosti pojačava teoremu o ograničenosti tvrdnjom da ne samo da je funkcija ograničena, već da ima i najmanju gornju granicu kao maksimum, i najveću donju granicu kao minimum.

Vajerštrasova teorema o ekstremnoj vrednosti se koristi u dokazu Rolove teoreme.

Dokaz teoreme

Navešćemo dokaz za maksimum, a dokaz za minimum je vrlo sličan. Takođe, treba imati u idu da je ceo dokaz izveden u kontektstu realnih brojeva.

Prvo dokazujemo teoremu o ograničenosti, koja je korak u dokazivanju Vajerštrasove teoreme o ekstremnoj vrednosti. Osnovni koraci u dokazu teoreme o ekstremnoj vrednosti su:

1. Dokazati teoremu o ograničenosti.
2. Naći niz, takav da njegova slika konvergira supremumu od f.
3. Pokazati da postoji podniz koji konvergira tački unutar domena.
4. Koristiti neprekidnost da se pokaže da slika niza konvergira supremumu.

Dokaz teoreme o ograničenosti

Pretpostavimo da f nije ograničena. Tada, po Arhimedovom svojstvu realnih brojeva, za svako m, postoji x unutar [a, b] takvo da f(x) > m. Specijalno, za svako k iz N, postoji $x_{k}$ takvo da f($x_{k}$) > k. Ovo definiše niz $x_{k}$. Kako je [a, b] ograničeno, po Bolcano-Vajerštrasovoj teoremi, postoji konvergentan podniz {$x_{n_{k}}$} od {$x_{k}$}. Kako je [a, b] zatvoren, {$x_{n_{k}}$} konvergira nekom x u [a, b]. Kako je f(x) neprekidna na [a, b], znamo da f($x_{n_{k}}$) konvergira ka f(x). Ali, f($x_{n_{k}}$) > $n_{k}$ > k za svako k, što implicira da f($x_{n_{k}}$) divergira ka beskonačnosti, što je kontradikcija. Sledi da je f(x) ograničena odozgo.

Dokaz Vajerštrasove teoreme o ekstremnoj vrednosti

Sada ćemo pokazati da f(x) ima maksimum unutar [a, b]. Prema teoremi o ograničenosti, f je ograničeno odogzo, postoji c najmanja gornja granica (supremum) od f(x). Neophodno je naći $x_{0}$ u [a, b] takvo da $c=f({x_{0}})$. Neka je n prirodan broj. Kako je c najmanja gornja granica, $c-1/n$ nije gornja granica za f(x). Stoga, postoji $x_{n}$ u [a, b] takvo da $c-1/n$ < f($x_{n}$). Ovo definiše niz {$x_{n}$}. Kako je c gornja granica za f(x), $c-1/n$ < f($x_{n}$) ≤ c za svako n. Stoga, {f($x_{n}$)} konvergira ka c.

Bolcano-Vajerštrasova teorema nam govori da {$x_{n_{k}}$} postoji u {$x_{n}$} takvo da {$x_{n_{k}}$} konvergira nekom $x_{0}$ i, kako je [a, b] zatvoren, $x_{0}$ je unutar [a, b]. Kako je f(x) neprekidna na [a, b], {f($x_{n_{k}}$)} konvergira ka f($x_{0}$). Ali, {f($x_{n_{k}}$)} je podniz {f($x_{n}$)} koji konvergira ka c, pa $c=f(x_{0})$. Tada je $x_{0}$ maksimum f(x).

Primeri

Sledeći primeri pokazuju zašto domen funkcije mora da bude zatvoren i ograničen.

Ograničen. f(x) = x definicana na $[0,\infty )$ nije ograničena odozgo.

Zatvoren. f(x) = x definisana na [0,1) nikad ne postiže svoju najmanju gornju granicu, 1.

Topološka formulacija

U opštoj topologiji, Vajerštrasova teorema o ekstremnoj vrednosti potiče iz opšte činjenice da je kompaktnost očuvana pod neprekidnošću, i činjenice da je podskup realne prave kompaktan ako i samo ako je i zatvoren i ograničen.

Spoljašnje veze

• Dokaz teoreme o ekstremnoj vrednosti