Vektorski model atoma

Vektorski model atoma je model atoma u kvantnoj i atomskoj fizici predstavljen preko ugaonog momenta. Vektorski model atoma se naziva i semiklasičan model atoma zato što je njime kretanje elektrona oko jezgra opisano na klasičan način, da se elektron kreće po kružnoj putanji, a za ugaoni moment se uzima da je kvantovan. Vektorski model atoma je generalizacija Raderford-Bor-Zomerfeldovog modela atoma na višeelektronske atome.

Vektorski model atoma objašnjava predstavljanje ukupnog ugaonog momenta atoma preko orbitalnog i spinskog ugaonog momenta.

Jednoelektronski atom

Vektorski model orbitalnog ugaonog momenta

Vektorski model spinskog ugaonog momenta za spin 1/2

LS veza vektorskim sabiranjem orbitalnog i spinskog ugaonog momenta čime se dobija ukupni ugaoni moment

Kod jednoelektronskog atoma, ukupni ugaoni moment je predstavljen kao vektorski zbir orbitalnog i spinskog ugaonog momenta: j = l + s i njemu odgovara ukupni magnetni moment: μ_j = μ_l + μ_s .

Za jednoelektroski atom, fina struktura je dobijena iz hamiltonijana kojem osnovni deo:

$H_{0}=\ {\frac {\hbar ^{2}}{2m_{e}}}\Delta -{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {Ze^{2}}{r}},$

a interakcija između orbitalnog i spinskog ugaonog momenta se tretira kao mala perturbacija:

$H_{1}={\frac {1}{2m_{e}^{2}c^{2}}}<{\frac {1}{r}}{\frac {dV}{dr}}>={\frac {\xi }{\hbar ^{2}}}{\vec {s}}{\vec {l}}$

Precesija

Prema vektorskom modelu, jednačina za klasičnu precesiju momenta impulsa l usled interakcije momenata impulsa l i s, data je izrazom:

${\frac {d}{dt}}{\vec {l}}={\frac {\xi }{\hbar ^{2}}}{\vec {s}}\times {\vec {l}},$

a odgovarajuća kvantno-mehanička jednačina je:

${\frac {d}{dt}}{\vec {l}}={\frac {1}{i\hbar }}[{\vec {l}},H].$

Analogno važi i za spinski ugaoni moment:

${\frac {d}{dt}}{\vec {s}}={\frac {\xi }{\hbar ^{2}}}{\vec {l}}\times {\vec {s}},$

pa se sabiranjem dobija za ukupni ugaoni moment:

${\frac {d}{dt}}{\vec {j}}={\frac {d}{dt}}{\vec {l+s}}={\frac {\xi }{\hbar ^{2}}}{\vec {s}}\times {\vec {l}}+{\frac {\xi }{\hbar ^{2}}}{\vec {l}}\times {\vec {s}}=0.$

Odavde se vidi da je ukupni ugaoni moment konstanta kretanja i komutira sa hamiltonijanom H = H₀ + H₁.

Kako je:

${\frac {d}{dt}}{\vec {l}}={\frac {\xi }{\hbar ^{2}}}{\vec {s}}\times {\vec {l}}={\frac {\xi }{\hbar ^{2}}}{\vec {s+l}}\times {\vec {l}}={\frac {\xi }{\hbar ^{2}}}{\vec {j}}\times {\vec {l}}$

i slično:

${\frac {d}{dt}}{\vec {s}}={\frac {\xi }{\hbar ^{2}}}{\vec {j}}\times {\vec {s}}.$

Ako se ove jednačine uporede sa jednačinom koja opisuje kretanje u klasičnoj fizici:

${\frac {d}{dt}}{\vec {L}}={\vec {\omega }}\times {\vec {L}},$

zaključuje se da će vektori ugaonih momenata l i s vršiti precesiju oko pravca vektora ј sa ugaonom brzinom:

$\omega =|{\frac {\xi }{\hbar ^{2}}}{\vec {j}}|.$

Vidi još

• Borov model atoma

Literatura

• Demtroder, Wolfagang (2005). Atoms, Molecules and Photons. Springer. str. 166. ISBN 978-3-540-20631-6.