Viner-Hinčinova teorema

Viner-Hinčinova teorema je teorema u statističkoj mehanici po kojoj se autokorelaciona funkcija stohastičkih procesa može predstaviti Furijeovom transformacijom u spektru snage. Teorema važi kod svih stohastičkih procesa koji zadovoljavaju uslov da je njihov prvi kumulativni moment invarijantan na vremenske translacije.

Teorema je nazvana po matematičarima Norbertu Vineru koji ju je dokazao u determinističkom slučaju 1930. godine i Aleksandru Hinčinu koji je teoremu proširio i dokazao za stohastičke procese 1934. godine. Teorema se u literaturi pronalazi i pod nazivima Viner-Hinčinova-Ajnštajnova ili Hinčin-Kolmogorova teorema.

Formulacija

Ako je stohastički proces stacionaran u širem smislu, što obuhvata sve stohastičke procese čiji je prvi kumulativni moment odnosno statistčka očekivana vrednost invarijantna na vremenske translacije:

$\operatorname {E} {\big [}\,x(t)\,{\big ]}=\operatorname {E} {\big [}\,x(t-\tau )\,{\big ]}\quad \forall \tau \in \mathbf {R}$,

tada autokorelaciona funkcija:

$C(\tau )=\operatorname {E} {\big [}\,x(t)x^{*}(t-\tau )\,{\big ]}\ =\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}dt\;x(t)x^{*}(t-\tau )$

ima konačnu vrednost za svaku vrednost $\tau$ i tada postoji monotona funkcija $F(\omega )$ y spektru snage tako da se autokorelaciona funkcija može predstaviti u spektralnom domenu:

$C(\tau )=\operatorname {E} {\big [}\,x(t)x^{*}(t-\tau )\,{\big ]}\ =\int _{-\infty }^{\infty }e^{2\pi i\omega \tau }dF(\omega )$

Ako se spektar snage definiše kao:

$S(\omega )=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{2\pi T}}|x(\omega )|^{2},$

korelaciona funkcija se može izraziti preko njega kao:

$C(\tau )=\int _{-\infty }^{\infty }e^{i\omega \tau }S(\omega )d\omega .$

Vidi još

• Stohastički procesi
• Korelaciona funkcija
• Furijeova transformacija