Grinova funkcija

Grinova funkcija G(x,x') je rešenje linearne diferencijalne jednačine oblika: $D_{x}G(x,x')=\delta (x-x'),$ gde je D_x diferencijalni operator, a δ(x-x') Delta funkcija. Može se reći da je Grinova funkcija odgovor sistema na jediničnu pobudu.

Grinove funkcije su dobile naziv po britanskom matematičaru Džordžu Grinu koji ih je uveo u matematiku 1830-ih godina. Metod Grinovih funkcija ima primenjuju u matematici i fizici pri rešavanju raznih vrsta diferencijalnih jednačina.

Osobine

Grinova funkcija nije jednoznačno određena. Za njeno određivanje potrebno je dodati određeni granični uslov, a najčešće se nametaju Dirihleov ili Nojmanov granični uslov.

• Dirihleov granični uslov zahteva da Grinova funkcija na granici bude jednaka nuli. Posledica ovakvog zahteva je da je Grinova funkcija simetrična po ${\vec {r}}$ i ${\vec {r'}}$, tj. da je $G({\vec {r}},{\vec {r'}})=G({\vec {r'}},{\vec {r}}).$
• Nojmanov granični uslov podrazumeva da je izvod Grinove funkcije u pravcu normale jednak $-{\frac {4\pi }{S}}$.

Poasonova jednačina

Grinova funkcija za Poasonovu jednačinu:

$\Delta 'G({\vec {r}},{\vec {r'}})=-4\pi \delta ^{(3)}({\vec {r}}-{\vec {r'}})$

ima opšte rešenje:

$G({\vec {r}},{\vec {r'}})={\frac {1}{|{\vec {r}}-{\vec {r'}}|}}+F({\vec {r}},{\vec {r'}}),$

gde je $F({\vec {r}},{\vec {r'}})$ rešenje homogene diferencijalne jednačine: $\Delta 'F({\vec {r}},{\vec {r'}})=0$

Metod Grinovih funkcija

Metod Grinovih funkcija se uvodi za rešavanje diferencijalnih nehomogenih jednačina koje su linearne. Metod se sastoji u tome da se analogna jednačina uvođenjem Grinove funkcije umesto početne rešava za jediničnu pobudu umesto za nehomogen deo, i onda se ukupno rešenje dobija superpozicijom, što je ekvivalentno Hajgensonovom principu u talasima i optici.

Primer

Stacionarna Šredingerova jednačina ima oblik:

$(\Delta +k_{0}^{2})\Psi ^{(n)}({\vec {r}})=J^{(n)}({\vec {r}}),$

gde je $J^{(n)}({\vec {r}})$ poznata funkcija.

Ova jednačina se može rešiti metodom Grinovih funkcija. Dakle, rešavamo analognu jednačinu s tim što nepoznatu funkciju zamenjujemo Grinovom funkcijom, a nehomogen deo s desne strane jednačine zamenjujemo Delta funkcijom.

$(\Delta +k_{0}^{2})G({\vec {r}},{\vec {r'}})=\delta ({\vec {r}}-{\vec {r'}}).$

Talasna funkcija preko Grinove funkcije je izražena kao:

$\Psi ^{(n)}({\vec {r}})=\int G({\vec {r}},{\vec {r'}})J^{(n)}({\vec {r'}})d^{3}r',$

što se može lako proveriti ubacivanjem u početnu jednačinu.

Kako su svi članovi u jednačini sa Grinovom funkcijom invarijantni na translacije, to ni Grinova funkcija ne zavisi eksplicitno od koordinata:

$G({\vec {r}},{\vec {r'}})=G({\vec {r}}-{\vec {r'}}),$

a jednačina se može rešiti razvojem u Furijeov integral:

$G({\vec {r}},{\vec {r'}})=G({\vec {r}}-{\vec {r'}})={\frac {1}{(2\pi )^{3}}}\int c({\vec {k}})e^{ik({\vec {r}}-{\vec {r'}})}d^{3}k,$

gde koeficijente u razvoju dobijamo preko inverznog Furijeovog integrala.

Vidi još

• Diferencijalna jednačina