Dvostruka tačnost

Dvostruka tačnost (engl. double precision, double) je u računarstvu format broja koji za beleženje brojevne vrednosti racionalnog broja u pokretnom (plivajućem) zarezu. Koristi se osam bajtova (64 bita) za zapis broja. Pritom interpretacija ovog segmenta memorije zavisi od operativnog sistema ili same strukturiranosti grupa bitova u zapisu.

Veoma često se govori kolokvijalno o realnim brojevima u dvostrukoj tačnosti, to su ipak racionalni brojevi. Izraz dvostruka tačnost ne znači da se tako može prikazati broj sa dvostruko više tačnih decimala u odnosu na jednostruku tačnost. Celokupan zapis broja je dvostruko duži, a tačnost broja (koja zavisi od dužine mantise) je umesto 23 povećana na 52 (ili 55) bita, što je nešto više nego dvostruko više decimala. Pored ovoga, u dvostrukoj tačnosti se može predstaviti značajno širi opseg brojeva.

IEEE754

Prema standardu IEEE 754, realni brojevi sa dvostrukom tačnošću se dele na tri dela: znak, eksponent i frakciju (mantisu). Tačnija podela bitova po ovim elementima je:

• Znak broja određuje bit sa najvećom vrednošću indeksa − 63 (najvećom težinom), pri čemu vrednost 1 označava negativan a 0 pozitivan broj.
• Eksponent je određen sa sledećih 11 bitova na mestima 62 - 52. Ovaj broj nema znaka, a pomoću njega se određuje tzv. karakteristika koja učestvuje u računanju krajnje vrednosti broja. Ona se dobija sledećom formulom: karakteristika = eksponent - 1023.
• Frakcija (mantisa) je vrednost broja normalizovana tako da se nalazi u opsegu veće ili jednako 0,5 i manje od 1. Formiraju je bitovi na pozicijama 51 - 0. Ovaj broj se u binarnoj reprezentaciji može predstaviti kao 0,1bbbbbbbbbbbbb..... gde su b bitovi koji mogu biti 0 ili 1. Obzirom da uvek na početku stoji 0,1 ovi bitovi se ne moraju fizički pojaviti u zapisu, to jest može se implicitno pretpostaviti da uvek stoje tu. Zato se kaže da mantisa predstavlja 53 bita tačnosti iako su zapisana samo 52 bita.

Dvostruka tačnost ima mogućnost predstavljanja $\log _{10}(2^{53})\approx 15.955$ tačnih cifara. Ako se kaže da dvostrukom tačnošću može prikazati broj u „tačnosti od 16 decimala“ to je pogrešno jer se može prikazati prvih 16 značajnih cifara, bez obzira gde je decimalna zapeta.

Tačna interpretacija ovakvog broja glasi:

(-1)^znak · 2^{karakteristika} · (1, frakcija )

odnosno matematički

$broj=(-1)^{znak}(1+\sum _{i=1}^{52}\ b_{-i}2^{-i})\times 2^{(e-1023)}$

Primer

Recimo da je u saglasnosti sa ovim standardom zadat binarni broj dvostruke tačnosti, čiju decimalnu reprezentaciju treba naći:

0011111010000100000000000000000000000000000000000000000000000000

Broj će prvo biti podeljen na znak, eksponent i frakciju:

0 01111101000 010000...

A potom će vrednosti parametara biti određene:

S = 0
E = (01111101000)₂ = (1000)₁₀
M = (010000...)₂
C = E - 1023 = -23

Vrednost = (-1)^S · (1.M)₂ · 2^C
= (-1)⁰ · (1.010000...)₂ · 2^-23
= 1 · (1 + 2^-2)₁₀ · 2^-23
= 1.25 · 2^-23

Vidi još

• Jednostruka tačnost, četvorostruka tačnost
• Pokretan zarez

Literatura

• Jozo Dujmović, Programski jezici i metode programiranja, 1990, Naučna knjiga, Beograd