Duž

Duž se može definisati kao skup tačaka jedne prave između dve njene različite tačke zajedno sa tim tačkama. Takođe može se i posmatrati kao presek dve poluprave, koje pripadaju istoj pravoj, koji nije poluprava.

U principu, sama duž je jednoznačno određena sa:

• Dve tačke, koje predstavljaju njene krajeve i nazivaju se krajnje tačke duži.
• Jednom tačkom, i vektorom sa koeficijentom koji određuju drugu tačku duži.

Duž koju čine tačke A i B se obeležava sa ${\overline {AB}}$ i identična je duži ${\overline {BA}}$.

Primer

Recimo da je data duž ${\overline {AB}}$. Potrebno je dati relaciju koja opisuje sve njene tačke. Uzmimo tačku A za referencu. Tada će tačka B moći biti izražena preko nje na sledeći način:

$B=A+1\cdot {\overrightarrow {AB}}$

Ako nam je želja da na isti način izrazimo tačku A, relacija će izgledati ovako:

$A=A+0\cdot {\overrightarrow {AB}}$

Sve tačke između A i B, uključujući i njih same će biti određene sledećom relacijom:

${\overline {AB}}\ni A+\lambda \cdot {\overrightarrow {AB}},\;\lambda \in [0,1]$

Ako postoji potreba da bude upotrebljen jedinični vektor, zapis će izgledati ovako:

${\overline {AB}}\ni A+\lambda \cdot {\frac {\overrightarrow {AB}}{||{\overrightarrow {AB}}||}},\;\lambda \in [0,||{\overrightarrow {AB}}||]$

Time je određena i duž.

Dužina duži

Dužina duži je rastojanje između tačaka A i B. U euklidskim prostorima se određuje na sledeći način:

$d\left({\overline {AB}}\right)=d\left(A,B\right)=d\left(B,A\right)={\sqrt {\sum _{k=1}^{n}{\left(B_{i}-A_{i}\right)^{2}}}}$

Konkretno u dvodimenzionom prostoru, gde su $A=\left(A_{x},A_{y}\right)$ i $B=\left(B_{x},B_{y}\right)$:

$d\left({\overline {AB}}\right)={\sqrt {\left(B_{x}-A_{x}\right)^{2}+\left(B_{y}-A_{y}\right)^{2}}}$

Konkretno u trodimenzionom prostoru, gde su $A=\left(A_{x},A_{y},A_{z}\right)$ i $B=\left(B_{x},B_{y},B_{z}\right)$:

$d\left({\overline {AB}}\right)={\sqrt {\left(B_{x}-A_{x}\right)^{2}+\left(B_{y}-A_{y}\right)^{2}+\left(B_{z}-A_{z}\right)^{2}}}$