Infinitezimalan

U matematici infinitezimalan ili beskonačno mali broj, je broj čija je apsolutna vrednost manja od bilo kog pozitivnog realnog broja. Broj x je infinitezimalan ako i samo ako za svaki ceo broj n, važi da je |nx| manje od 1, bez obzira koliko je veliko n. U tom slučaju, apsolutna vrednost od 1/x je veća nego bilo koji pozitivan realan broj. Infinitezimali različiti od nule, očigledno, nisu realni brojevi, tako da „operacije“ sa njima nizu poznate.

Istorija infinitezimala

Prvi matematičar koji je koristio infinitezimale bio je Arhimed, iako on nije verovao u njihovo postojanje.

Kada su Njutn i Lajbnic razvili analizu (videti i kalkulus), počeli su da koriste infinitezimale. Uobičajena upotreba bi izgledala ovako:

Da bi se našao izvod f'(x) od funkcije f(x) = x², neka dx bude infinitezimal. Tada,

$f'(x)\,$	$=\lim _{dx\rightarrow 0}{\frac {f(x+dx)-f(x)}{dx}}\,$
	$={\frac {x^{2}+2x\cdot dx+dx^{2}-x^{2}}{dx}}\,$
	$=2x+dx\,$
	$=2x\,$

pošto je dx infinitezimalno malo.

Ovaj argument, iako intuitivan, i iako proizvodi tačan rezultat, nije matematički tačan. Osnovni problem je što se dx prvo smatra različitim od nule (jer delimo njime), ali se kasnije odbacuje kao da je nula.

Tek drugom polovinom devetnaestog veka analizi je data matematička verodostojnost, uvođenjem limesa. U dvadesetom veku, otkriveno je da se infinitezimali ipak mogu koristiti strogo matematički. I jedna i druga formulacija nisu netačne (misli se na to da se dx prvo smatra različitim od nule, a kasnije se odbacuje kao da je nula), već obe daju tačan rezultat ako se koriste pravilno.

Vidi još

• Matematička analiza
• Izvod
• Kalkulus