Iskazni račun

U matematičkoj logici, iskazni račun predstavlja formalni sistem u kome se formule, odnosno logički iskazi, koji se nazivaju još i iskazne formule, grade od logičkih promjenljivih i drugih logičkih iskaza, koristeći logičke operacije u skladu sa pravilima tih operacija.

Uprošteno govoreći, iskazni račun je rad sa logičkim iskazima koji se formiraju kao i obični algebarski izrazi, koristeći operacije i promjenljive.

Primjer logičkog iskaza

Slijedi primjer jednog logičkog iskaza: $(p\lor q)\land s\Rightarrow (p\land s)\lor (q\land s)$

Iskaz se čita na sljedeći način: „ako su tvrdnje $p$ ili $q$ tačne i $s$ je tačno, odatle slijedi da su iskazi $p$ i $s$ tačni ili da su iskazi $q$ i $s$ tačni“. Češće, izraz se kratko čita „ako je $p$ ili $q$, i $s$, slijedi $p$ i $s$, ili $q$ i $s$“.

Formalno ustanovljenje

Iskazni račun se formalno definiše kao algebarska struktura ${\mathcal {L}}={\mathcal {L}}\ (\mathrm {A} ,\ \Omega ,\ \mathrm {Z} ,\ \mathrm {I} )$ sa sljedećim svojstvima:

• $\mathrm {A}$ je konačan skup logičkih promjenljivih, koje se najčešće predstavljaju malim latiničnim štampanim slovima $p,q,r,...$.
• $\Omega$ je konačan skup logičkih operacija, koji predstavlja uniju disjunktnih podskupova $\{\Omega _{0},\Omega _{1},\ldots ,\Omega _{n},\ldots \}$, gdje $n$-ti podskup predstavlja podskup n-arnih operacija. Tako, $\Omega _{1}$ predstavlja skup unarnih operacija, $\Omega _{2}$ binarnih, itd. Uobičajeni simboli logičkih operacija iz odgovarajućih podskupova su sljedeći:

$\Omega _{0}=\{\top ,\bot \}$

$\Omega _{1}=\{\lnot \}\,,$

$\Omega _{2}=\{\land ,\lor ,\Rightarrow ,\Leftrightarrow \}\,.$

Interesantno je primijetiti da se logičke konstante definišu kao nularne operacije.

Iskazne formule se formiraju od elemenata skupa $\mathrm {A}$ koristeći operacije skupa $\Omega$ na osnovu sljedećih pravila:

1. Elementi skupa $\mathrm {A}$ su logički iskazi.
2. Za svaku operaciju iz skupa $\Omega$, rezultat te operacije je logički iskaz, ako su i operandi logički iskazi.
3. logički iskazi se ne mogu formirati ni na jedan drugi način osim pomoću pravila 1. i 2.

Tako, na primjer, ako su $p,q$ i $r$ elementi skupa $\mathrm {A}$, i ako koristimo standardne simbole za logičke operacije, onda su $p,q,r,\lnot p,p\land q,q\Rightarrow (p\land q)$ sve iskazne formule.

• Skup $\mathrm {Z}$ je konačan skup pravila transformacije logičkih iskaza. Ova pravila pobliže određuju osobine operacija i njihovo ponašanje u dodiru sa drugim operacijama, odnosno određuju na koji način se jedan logički iskaz može svesti na drugi, najčešće jednostavniji, iskaz.
• Skup $\mathrm {I}$ je konačan skup aksioma - po definiciji istinitih tvrdnji - u vezi sa logičkim iskazima.

Vrijednosti logičkih izraza i dokazivanja

Logičke promjenljive mogu imati vrijednost „tačno“ i „netačno“ ($\top$ ili $\bot$), pa se i svi rezultati logičkih operacija ograničavaju na istom skupu. Vodeći se pravilima formiranja logičkih izraza, zaključujemo da svi iskazi imaju vrijednosti tačno ili netačno, tj. da je svaki iskaz ili tačan ili netačan.

Ako dodijelimo neke konkretne vrijednosti svim promjenljivama koje učestvuju u datom logičkom iskazu, koristeći definicije logičkih operacija i datih vrijednosti možemo izračunati da li je dati iskaz tačan ili nije. Tada kažemo da je iskaz npr. tačan za date vrijednosti promjenljivih.

Međutim, koristeći pravila transformacije i aksiome iskaznog računa, logički iskazi se mogu tranformisati u jednostavnije logičke iskaze, što izračunavanje njihovih vrijednosti čini kraćim i jednostavnijim.

Tautologije i kontradikcije

Poseban članak: Tautologija

Čest posao u iskaznom računu je dokazivanje da li je određeni logički iskaz uvijek tačan, tj. za sve kombinacije vrijednosti promjenljivih, kao i dokazivanje da li je određeni logički iskaz za sve kombinacije vrijednosti promjenljivih netačan. Ako je iskaz uvijek tačan, nazivamo ga tautologijom, dok u suprotnom slučaju, kada je iskaz uvijek netačan, nazivamo ga kontradikcijom.

Dok dokazivanje tautologije i kontradikcije može da se dokaže ručnim provjeravanjem vrijednosti iskaza za sve kombinacije parametara, najčešće koristeći istinitosne tabele, u opštem slučaju, kada to nije praktično ostvarivo zbog broja promjenljivih, se koriste pravila iskaznog računa i aksiome da se iskaz svede na jednostavniji iskaz i eventualno dokaže da li je tautologija/kontradikcija ili ne.

Primjena

Suvišno je spominjati da logičko zaključivanje ima primjenu u svakodnevnom životu i svim granama ljudskog djelovanja. Vještina u radu sa iskaznim računom svakako poboljšava i svakodnevne vještine logičkog zaključivanja. Osim toga, međutim, iskazni račun i matematička logika uopšte imaju veliku primjenu u većini prirodnih nauka.

Računarstvo

Očigledan primjer primjene iskaznog računa je i upotreba u računarstvu, kako u elektronici tako i u programiranju.

Svođenje određenog logičkog iskaza na kraću i jednostavniju formu pomaže da određena komponenta računara izračunava manje i samim time radi brže. Na identičan način, u programiranju, redukovanjem često korišćenog uslova grananja ili petlje na jednostavniju formu će smanjiti posao procesorske jedinice što program čini bržim.

Osim toga, teorijsko dokazivanje tačnosti određenih iskaza uklanja potrebu za izračunavanjem određenih iskaza u potpunosti, ako se dokaže da je iskaz uvijek tačan ili uvijek netačan.

Istorija

Glavni članak: Istorija logike

Premda je iskazna logika (koja je zamenljiva sa propozicionalnim računom) nagoveštena u radovima ranijih filozofa, nju je razvio u formalnu logiku (stoička logika) Hrisip u 3. vek pne i proširio njegov naslednik Stoik. Logika je imala fokus na propozicijama. Ovaj napredak se razlikovao od tradicionalnel silogističke logike koja je stavljala fokus na članove. Međutim, tokom kasne antike iskazna logaka koju su razvili stoici više nije bila u upotrebi. Konsekventno, sistem je esencijalno ponovo izumeo Pjer Abelar u 12. veku.

Vidi još

• Matematička logika
• Tautologija
• Logičke operacije
• Predikatski račun

Literatura

• Marenbon, John (2007). Medieval philosophy: an historical and philosophical introduction. Routledge. str. 137. 
• Bobzien, Susanne (2016). „Ancient Logic”. Ur.: Zalta, Edward N. The Stanford Encyclopedia of Philosophy. Metaphysics Research Lab, Stanford University — preko Stanford Encyclopedia of Philosophy. 
• Brown, Frank Markham (2003), Boolean Reasoning: The Logic of Boolean Equations, 1st edition, Kluwer Academic Publishers, Norwell, MA. 2nd edition, Dover Publications, Mineola, NY.
• Chang, C.C. and Keisler, H.J. (1973), Model Theory, North-Holland, Amsterdam, Netherlands.
• Kohavi, Zvi (1978), Switching and Finite Automata Theory, 1st edition, McGraw–Hill, 1970. 2nd edition, McGraw–Hill, 1978.
• Korfhage, Robert R. (1974). Discrete Computational Structures. Academic Press. ISBN 978-0-12-420850-6. , New York, NY.
• Lambek, J.; Scott, P.J. (1988). Introduction to Higher Order Categorical Logic. Cambridge, UK: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-35653-4. 
• Mendelson, Elliot (1964), Introduction to Mathematical Logic, D. Van Nostrand Company.
• Hofstadter, Douglas (1979). Gödel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid. Basic Books. ISBN 978-0-465-02656-2. 
• Rautenberg, Wolfgang (2010), A Concise Introduction to Mathematical Logic (3rd izd.), New York, NY: Springer Science+Business Media, ISBN 978-1-4419-1220-6, doi:10.1007/978-1-4419-1221-3 
• Andrews, Peter B. (2002); An Introduction to Mathematical Logic and Type Theory: To Truth Through Proof, 2nd ed., Berlin: Kluwer Academic Publishers. Available from Springer.
• Avigad, Jeremy; Donnelly, Kevin; Gray, David; Raff, Paul (2007). „A formally verified proof of the prime number theorem”. ACM Transactions on Computational Logic. 9: 2. S2CID 7720253. arXiv:cs/0509025 . doi:10.1145/1297658.1297660. 
• Barwise, Jon (1977). „An Introduction to First-Order Logic”. Ur.: Barwise, Jon. Handbook of Mathematical Logic. Studies in Logic and the Foundations of Mathematics. Amsterdam, NL: North-Holland (objavljeno 1982). ISBN 978-0-444-86388-1. 
• Monk, J. Donald (1976). Mathematical Logic. New York, NY: Springer New York. ISBN 978-1-4684-9454-9. doi:10.1007/978-1-4684-9452-5. 
• Barwise, Jon; and Etchemendy, John (2000); Language Proof and Logic, Stanford, CA: CSLI Publications (Distributed by the University of Chicago Press)
• Bocheński, Józef Maria (2007); A Précis of Mathematical Logic, Dordrecht, NL: D. Reidel, translated from the French and German editions by Otto Bird
• Ferreiros, Jose (2001). „The Road to Modern Logic-An Interpretation”. The Bulletin of Symbolic Logic. 7 (4): 441—484. JSTOR 2687794. S2CID 43258676. doi:10.2307/2687794. hdl:11441/38373. 
• Gamut, L. T. F. (1991), Logic, Language, and Meaning, Volume 2: Intensional Logic and Logical Grammar, Chicago, Illinois: University of Chicago Press, ISBN 0-226-28088-8 
• Hilbert, David; and Ackermann, Wilhelm (1950); Principles of Mathematical Logic, Chelsea (English translation of Grundzüge der theoretischen Logik, 1928 German first edition)
• Hodges, Wilfrid (2001); "Classical Logic I: First-Order Logic", in Goble, Lou (ed.); The Blackwell Guide to Philosophical Logic, Blackwell
• Ebbinghaus, Heinz-Dieter; Flum, Jörg; and Thomas, Wolfgang (1994); , Undergraduate Texts in Mathematics, Berlin, DE/New York, NY: Springer-Verlag. Ebbinghaus, H. -D; Flum, J.; Thomas, Wolfgang (14. 3. 2013). Logic (2nd izd.). Springer. ISBN 978-0-387-94258-2.  Mathematical ” ignorisan (pomoć)CS1 održavanje: Format datuma (veza)
• Tarski, Alfred and Givant, Steven (1987); Tarski, Alfred; Givant, Steven R. (1987). A Formalization of Set Theory without Variables. The Society. ISBN 978-0821810415. . Vol.41 of American Mathematical Society colloquium publications, Providence RI: American Mathematical Society
• Alexander of Aphrodisias, In Aristotelis An. Pr. Lib. I Commentarium, ed. Wallies, Berlin, C.I.A.G. vol. II/1, 1882.
• Avicenna, Avicennae Opera Venice 1508.
• Boethius Commentary on the Perihermenias, Secunda Editio, ed. Meiser, Leipzig, Teubner, 1880.
• Bolzano, Bernard Wissenschaftslehre, (1837) 4 Bde, Neudr., hrsg. W. Schultz, Leipzig I-II 1929, III 1930, IV 1931 (Theory of Science, four volumes, translated by Rolf George and Paul Rusnock, New York: Oxford University Press, 2014).
• Bolzano, Bernard Theory of Science (Edited, with an introduction, by Jan Berg. Translated from the German by Burnham Terrell – D. Reidel Publishing Company, Dordrecht and Boston 1973).
• Boole, George (1847) The Mathematical Analysis of Logic (Cambridge and London); repr. in Studies in Logic and Probability, ed. R. Rhees (London 1952).
• Boole, George (1854). The Laws of Thought. London and Cambridge. . repr. as Collected Logical Works. Vol. 2, (Chicago and London: Open Court, 1940).
• Epictetus, Epicteti Dissertationes ab Arriano digestae, edited by Heinrich Schenkl, Leipzig, Teubner. 1894.
• Frege, G., Boole's Logical Calculus and the Concept Script, 1882, in Posthumous Writings transl. P. Long and R. White 1969, pp. 9–46.
• Gergonne, Joseph Diaz (1816). „Essai de dialectique rationelle”. Annales de mathématiques pures et appliquées 7, 1816/1817, 189–228. .
• Jevons, W. S. The Principles of Science, London 1879.
• Ockham's Theory of Terms: Part I of the Summa Logicae, translated and introduced by Michael J. Loux (Notre Dame, IN: University of Notre Dame Press 1974). Reprinted: South Bend, IN: St. Augustine's Press, 1998.
• Ockham's Theory of Propositions. Notre Dame, IN: University of Notre Dame Press. 1980. ISBN 978-0-268-01495-7. . Part II of the Summa Logicae, translated by Alfred J. Freddoso and Henry Schuurman and introduced by Alfred J. Freddoso . . Reprinted: South Bend, IN: St. Augustine's Press, 1998.
• Carus, Paul (1897). „The Regenerated Logic”. The Monist. VII. Chicago: The Open Court Publishing Co. str. 19—40. 
• Sextus Empiricus. (2005). Against the Logicians. ISBN 0-521-53195-0. . (Adversus Mathematicos VII and VIII). Richard Bett (trans.) Cambridge: Cambridge University Press
• Zermelo, Ernst (1908). „Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre I”. Mathematische Annalen. 65 (2): 261—281. S2CID 120085563. doi:10.1007/BF01449999. Arhivirano iz originala 08. 09. 2017. g. Pristupljeno 26. 06. 2023.  English translation in. van Heijenoort, Jean (1967). „Investigations in the foundations of set theory”. From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879–1931. Source Books in the History of the Sciences. Harvard University Press. str. 199–215. ISBN 978-0-674-32449-7. 
• Frege, Gottlob (1879). Begriffsschrift, a formula language, modeled upon that of arithmetic, for pure thought. . translated in van Heijenoort 1967.
• Barwise, Jon, (ed.). Barwise, Jon (1982). Handbook of Mathematical Logic. North-Holland. ISBN 978-0-444-86388-1. . Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, Amsterdam, North Holland
• Beaney, Michael, The Frege Reader, London: Blackwell 1997.
• Bochenski, I. M., A History of Formal Logic, Indiana, Notre Dame University Press, 1961.
• Boehner, Philotheus, Medieval Logic, Manchester 1950.
• Boyer, C.B. (1991) [1989], A History of Mathematics (2nd izd.), New York: Wiley, ISBN 978-0-471-54397-8 
• Buroker, Jill Vance (transl. and introduction), A. Arnauld, P. Nicole (1996). Logic or the Art of Thinking. Cambridge University Press. ISBN 0-521-48249-6. CS1 održavanje: Višestruka imena: spisak autora (veza). Cambridge University Press
• Church, Alonzo, 1936–1938. „A bibliography of symbolic logic”. Journal of Symbolic Logic 1.  : 121–218; 3:178–212
• de Jong, Everard (1989), Galileo Galilei's "Logical Treatises" and Giacomo Zabarella's "Opera Logica": A Comparison, PhD dissertation, Washington, DC: Catholic University of America
• Ebbesen, Sten "Early supposition theory (12th–13th Century)" Ebbesen, Sten (1981). „Early supposition theory (12th-13th century)”. Histoire, Épistémologie, Langage. 3 (1): 35—48. doi:10.3406/hel.1981.1068. .
• Farrington, B., The Philosophy of Francis Bacon, Liverpool 1964.
• Feferman, Anita B. (1999). „Alfred Tarski”. American National Biography. Oxford University Press. 1999. str. 330–332. ISBN 978-0-19-512800-0. . 21. Oxford University Press
• Feferman, Anita B.; Feferman, Solomon (2004). Alfred Tarski: Life and Logic. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-80240-6. OCLC 54691904. 
• Gabbay, Dov and John Woods, eds. Gabbay, Dov M.; Woods, John; Woods, John Hayden (8. 3. 2004). Handbook of the History of Logic. Elsevier Science. ISBN 0-444-51611-5. CS1 održavanje: Format datuma (veza). 2004. 1. Greek, Indian and Arabic logic; 2. Mediaeval and Renaissance logic; 3. The rise of modern logic: from Leibniz to Frege; 4. British logic in the Nineteenth century; 5. Logic from Russell to Church; 6. Sets and extensions in the Twentieth century; 7. Logic and the modalities in the Twentieth century; 8. The many-valued and nonmonotonic turn in logic; 9. Computational Logic; 10. Inductive logic; 11. Logic: A history of its central concepts; Elsevier
• Geach, P. T. Logic Matters, Blackwell 1972.
• Goodman, Lenn Evan (2003). Islamic Humanism. Oxford University Press. ISBN 0-19-513580-6. 
• Goodman, Lenn Evan (1992). Avicenna. Psychology Press. ISBN 0-415-01929-X. . Routledge
• Grattan-Guinness, Ivor, 2000. The Search for Mathematical Roots 1870–1940. Princeton University Press.
• Gracia, J. G. and Noone, T. B., A Companion to Philosophy in the Middle Ages, London 2003.
• Haaparanta, Leila (ed.) . (2009). The Development of Modern Logic. Oxford University Press. .
• Heath, T. L., 1949. (1949). Mathematics in Aristotle. Oxford University Press. CS1 održavanje: Višestruka imena: spisak autora (veza).
• Heath, T. L., 1931, A Manual of Greek Mathematics, Oxford (Clarendon Press).
• Honderich, Ted (ed.). The Oxford Companion to Philosophy. . New York: Oxford University Press. 1995. ISBN 0-19-866132-0. 
• Kneale, William and Martha (1962). The development of logic. Oxford University Press. ISBN 0-19-824773-7. 
• Lukasiewicz (1957). Aristotle's Syllogistic. Oxford University Press.  1951.
• Potter, Michael (2004). Set Theory and its Philosophy. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-155643-2. .

Spoljašnje veze

• MathWorld.com, „Исказни рачун“ (језик: енглески)
• Klement, Kevin C. (2006), "Propositional Logic", in James Fieser and Bradley Dowden (eds.), Internet Encyclopedia of Philosophy, Eprint.
• Formal Predicate Calculus, contains a systematic formal development along the lines of Alternative calculus
• forall x: an introduction to formal logic, by P.D. Magnus, covers formal semantics and proof theory for sentential logic.
• Chapter 2 / Propositional Logic from Logic In Action
• Y, and a sequent can be a single formula prefixed with > and having no commas)
• Propositional Logic - A Generative Grammar