Impuls

U klasičnoj mehanici impuls (SI jedinica kg m/s), je proizvod mase tela i njegove brzine. Označava se sa p. U opštem slučaju impuls nekog tela konceptualno se može shvatiti kao nastojanje tog tela da nastavi kretanje u istom pravcu i smeru, ukoliko na njega ne deluje neka spoljašnja sila. U skladu s time, on je prirodna posledica Njutnovih zakona kretanja.

Impuls je konzervisana (održana) veličina, što znači da ukupan impuls bilo kojeg izolovanog sistema (koji nije pod uticajem spoljašnjih sila) ne može da se promeni.

Koncept impulsa je uveden u klasičnu mehaniku zahvaljujući većem broju velikih mislilaca i eksperimentatora kao što su Rene Dekart, Galileo Galilej, Isak Njutn, Gotfrid Lajbnic i drugi.

Impuls u Njutnovoj mehanici

Kada se neko telo kreće u bilo kojem referentnom sistemu, ono u tom sistemu ima određeni impuls. Važno je uočiti da je impuls zavisan od referentnog sistema, što znači da isto telo može da ima određeni impuls u jednom sistemu referencije, a u drugom sistemu neki drugi impuls koji se razlikuje od prvog.

Brojna vrednost impulsa koji neko telo poseduje zavisi od dve fizičke veličine: mase i brzine pokretnog tela u određenom sistemu referencije. U fizici se oznaka impulsa obično zapisuje malim slovom p (zacrnjeno slovo zato što je to vektor), gde se impuls izračunava po formuli:

${\vec {p}}=m{\vec {v}}$

gde je p impuls, m je masa, a v brzina tela.

Poreklo upotrebe oznake “p” za impuls nije baš jasno. Pretpostavlja se da, pošto je “m” (koje bi zbog momentum bilo očigledan izbor) bilo već korišćeno kao oznaka za masu, impulsu je dodeljena oznaka “p” možda na osnovu latinske reči “petere” što znači ići ili od termina “progres” koji je koristio Lajbnic.

Pošto je brzina nekog tela određena njenim intenzitetom pravcem i smerom, a impuls zavisi od brzine, onda i impuls, takođe poseduje intenzitet, pravac i smer, kao i sve druge vektorske veličine. Na primer, ako se lopta za kuglanje kreće od istoka ka zapadu brzinom 2 m/s, onda nije dovoljno reći samo da je njen impuls 10 kg m/s, pošto njen impuls nije potpuno određen dok mu se ne opiše i pravac i smer kretanja (“od istoka ka zapadu”)

Impuls sistema tela (čestica)

U zavisnosti od masa i brzina tela

Ukupan impuls nekog mehaničkog sistema tela je vektorski zbir impulsa svih pojedinačnih tela u sistemu:

${\vec {p}}=m_{1}{\vec {v}}_{1}+m_{2}{\vec {v}}_{2}+m_{3}{\vec {v}}_{3}+...+m_{n}{\vec {v}}_{n}$

Gde

${\vec {p}}$ je impuls

$m\$ je masa, a

${\vec {v}}$ je brzina

$n\$ je broj tela u sistemu

U vezi sa silom

Prema Drugom Njutnovom zakonu, sila je jednaka promeni impulsa u jedinici vremena (prvi izvod impulsa po vremenu):

${\vec {F}}={\mathrm {d} {\vec {p}} \over \mathrm {d} t}$.

Kada je masa tela konstantna primenjuje se uobičajena jednačina za silu (osnovna jednačina dinamike), (${\vec {F}}=m{\vec {a}}$). Na sreću ovaj slučaj je veoma uobičajen.

Kada je sistem u ravnoteži, tada je promena impulsa u jedinici vremena (sila koja deluje na sistem) jednaka 0.

${\vec {F}}={\mathrm {d} {\vec {p}} \over \mathrm {d} t}$ = $\ m{\vec {a}}$ = 0

Održanje impulsa

Princip održanja impulsa dat je tvrđenjem da se ukupan impuls svih tela u svemiru (ili impuls nekog izolovanog sistema) ne menja (konstantan je). Jedna od posledica ovoga je da centar mase bilo kog sistema tela uvek nastavlja da se kreće istom brzinom dok neka spoljašnja sila ne deluje na njega.

Održanje impulsa je posledica homogenosti prostora, odnosno činjenice da u prostoru ne postoje istaknute tačke, nego su sve tačke u prostoru ekvivalentne ili ravnopravne. Takođe važi i obrnuto. Odnosno, ako bi neko telo u nekoj tački prostora promenilo svoju brzinu (svoj impuls) bez uticaja spoljašnje sile, tada bi zaključili da je ta tačka po nečemu drugačija od drugih tačaka prostora, ili kraće rečeno, da je istaknuta tačka, što bi značilo da ovakav prostor nije homogen.

U nekom izolovanom sistemu (u kojem ne deluju spoljašnje sile) ukupan impuls je konstantan, što je u skladu sa Njutnovim zakonom inercije. Treći Njutnov zakon (zakon akcije i reakcije) koji tvrdi da su sile uzajamnog delovanja dva tela iste jačine i pravca, a suprotnog smera, takođe je u saglasnosti sa zakonom održanja impulsa.

Na primer, kada se ispali metak iz puške, čini se da je ukupan impuls ovog sistema porastao u odnosu na prethodno stanje. Međutim, impuls metka u jednom smeru jednak je po intenzitetu, ali suprotnog znaka, od impulsa puške koja se kreće u suprotnom smeru. Sabiranjem impulsa metka i impulsa puške na taj način dobijamo nulu, što je jednako takođe nultom impulsu koji je sistem puška-metak posedovao pre nego što je metak počeo da se kreće.

Održanje impulsa u sudarima

Impuls ima specijalno svojstvo da se u izolovanim sistemima održava čak i prilikom sudara tela u sistemu. S druge strane, kinetička energija sistema tela se ne održava, osim ako su sudari tela apsolutno elastični. Pošto se impuls održava njegov zakon održanja obično se i koristi da bi se izračunale (predvidele) brzine tela nakon sudara.

Uobičajeni problem u fizici koji zahteva korišćenje ove činjenice je sudar dva tela ili čestice. Pošto se impuls uvek održava suma impulsa čestica pre sudara mora da bude jednaka sumi impulsa posle sudara:

$m_{1}{\vec {v}}_{1,i}+m_{2}{\vec {v}}_{2,i}=m_{1}{\vec {v}}_{1,f}+m_{2}{\vec {v}}_{2,f}\,$

(U ovoj jednačini korišćene su oznake: " i " (inicijalno ili početno) za brzine tela pre sudara i " f " (finalno ili krajnje) za brzine tela posle sudara. Isti način obeležavanja biće upotrebljen i u jednačinama koje slede)

Najčešće mi poznajemo impulse tela samo pre ili samo posle sudara, tako da je potrebno naći i one druge impulse (posle ili pre sudara). Ispravno rešenje ovog problema zahteva i poznavanje vrste sudara koji se odigrao. Postoje dve osnovne vrste sudara, pri čemu obe ove vrste konzervišu (održavaju) impuls, a to su:

• Elastični sudari u kojima se održava kinetička energija i ukupan impuls tela pre i posle sudara
• Neelastični sudari u kojima se ne održava kinetička energija, ali je ukupan impuls održan pre i posle sudara.

Elastični sudari

Sudar između dve bilijarske kugle je dobar primer za skoro potpuno elastični sudar. Osim što je impuls u ovome sudaru održan, i zbir kinetičkih energija kugli pre sudara mora biti jednak zbiru kinetičkih energija posle sudara:

${\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}m_{1}v_{1,i}^{2}+{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}m_{2}v_{2,i}^{2}={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}m_{1}v_{1,f}^{2}+{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}m_{2}v_{2,f}^{2}\,$

Pošto je množilac 1/2 zajednički za sve članove zbira, on se može odbaciti (množenjem jednačine brojem 2).

Čeoni sudar u jednoj dimenziji

U slučaju čeonog sudara dve kugle konačne (posle sudara) brzine se nalaze prema:

$v_{1,f}=\left({\frac {m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\right)v_{1,i}+\left({\frac {2m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\right)v_{2,i}\,$

$v_{2,f}=\left({\frac {2m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}\right)v_{1,i}+\left({\frac {m_{2}-m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}\right)v_{2,i}\,$

Što se dalje može lako preurediti u

$m_{1,f}\cdot v_{1,f}+m_{2,f}\cdot v_{2,f}=m_{1,i}\cdot v_{1,i}+m_{2,i}\cdot v_{2,i}\,$

Višedimenzionalni sudari

U slučajevima kada se tela sudaraju u više od jedne dimenzije, kao što su udari pod kosim uglom, brzine se razlažu na ortogonalne komponente, gde je jedna komponenta poprečna na ravan sudara, a druga komponenta ili komponente su u ravni sudara. Komponente brzina koje su u ravni sudara ostaju neizmenjene, dok se brzine poprečne na ravan sudara izračunavaju na isti način kao u jednodimenzionalnom slučaju.

Na primer, u dvodimenzionalnim sudarima, impuls može da se razloži na “x” i “y” komponentu. Tada vršimo proračune za svaku komponentu posebno, i kombinujemo ove rezultate da bi dobili ukupan “vektorski” rezultat. Intenzitet ovog vektora je konačni impuls izolovanog sistema.

Neelastični sudari

Primer neelastičnog sudara mogao bi da bude sudar dve grudve snega koje se sudare i “slepljene” nastave zajedno da se kreću posle toga. Sledeća jednačina opisuje održanje impulsa:

$m_{1}{\vec {v}}_{1,i}+m_{2}{\vec {v}}_{2,i}=\left(m_{1}+m_{2}\right){\vec {v}}_{f}\,$

Ovu jednačinu možemo dalje primeniti za izračunavanje nepoznatih veličina u problemima neelastičnih sudara ove ili slične vrste.

Moderne definicije impulsa

Impuls u relativističkoj mehanici

U relativističkoj mehanici impuls se definiše kao:

${\vec {p}}=\gamma m{\vec {v}}$

gde

$m\,$ je masa mirovanja (invarijantna masa) pokretnih tela

$\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$ je Lorencov faktor

${\vec {v}}$ je relativna brzina tela u odnosu na posmatrača, i

c je brzina svetlosti

Iz ove formule sleduje da relativistički impuls postaje jednak njutnovskom (klasičnom) impulsu: $m{\vec {v}}$ pri malim-nerelativističkim brzinama (v/c -> 0).

Relativistički kvadrivektor (ili četvorovektor) impulsa izrasta iz invarijantnosti kvadrivektora na Lorencove translacije. Ovaj kvadrivektor spontano se pojavljuje u Grinovoj funkciji iz kvantne teorije polja. Kvadrivektor impulsa se definiše kao:

$\left({E \over c},p_{x},p_{y},p_{z}\right)$

gde je

$p_{x}\,$ je x komponenta relativističkog impulsa, a

$E\,$ je ukupna energija sistema:

$E=\gamma mc^{2}\;$

“Dužina” ovog vektora je proizvod mase i brzine svetlosti, što je invarijantno u svim sistemima referencije:

$(E/c)^{2}-p^{2}=(mc)^{2}\,$

Impuls čestica bez mase (mirovanja)

Čestice bez mase (mirovanja) kao što je foton takođe nose impuls. Formula za njihov impuls je:

$p={\frac {h}{\lambda }}={\frac {E}{c}}$

gde

h je Plankova konstanta

λ je talasna dužina fotona

E je energija koju foton nosi, i

c je brzina svetlosti

Generalizacija impulsa

Impuls predstavlja Neterino (Emi Neter) „naelektrisanje“ translacione invarijantnosti. U skladu s time, čak i fizičko polje, kao i druge stvari u fizici, mogu da poseduju impuls, a ne samo čestice. Međutim u zakrivljenom prostor-vremenu koje ne prelazi asimptotski u prostor Minkovskog, impuls uopšte nije ni definisan.

Impuls u kvantnoj mehanici

U kvantnoj mehanici, impuls se definiše kao operator koji deluje na talasnu funkciju. Hajzenbergov princip (relacija) neodređenosti definiše ograničenja u tome koliko tačno impuls i položaj posmatranog sistema mogu biti istovremeno određeni. U kvantnoj mehanici položaj i impuls su konjugovane promenjive.

Za pojedinačnu česticu, bez naelektrisanja i bez spina, operator impulsa može biti zapisan kao:

$\mathbf {p} ={\hbar \over i}\nabla =-i\hbar \nabla$

gde je $\nabla$ operator gradijenta, a $\hbar$ je redukovana Plankova konstanta. Ovo je oblik operatora impulsa koji se najčešće susreće, mada on ne predstavlja i najopštiju formu.

Impuls u elektromagnetizmu

Kada se električno i/ili magnetsko polje kreće, ono nosi sa sobom i impuls. Prema tome, svetlost (vidljiva svetlost, UV zračenje, radio zračenje...), kao vrsta elektromagnetnih talasa takođe poseduje impuls. Zbog toga, čak i fotoni (čestice svetlosti) koji nemaju masu mirovanja, takođe poseduju impuls. Ovo ima za posledicu neke druge pojave kao što je na primer solarni vetar.

Impuls je u elektrodinamičkim sistemima konzervisan (on može unutar sistema da se pretvara iz impulsa polja u impuls čestica i obrnuto). Opis impulsa elektromagnetskog polja se postiže uvođenjem tzv. Energija-impuls tenzora, a njegova promena u vremenu pomoću Pointingovog vektora koji se integrira po određenoj zapremini. To je tenzorsko polje koje ima komponente koje odgovaraju gustini energije i gustini impulsa.

Definicija kanoničkog impulsa odgovara operatoru impulsa iz kvantne mehanike kada on intereaguje sa elektromagnetskim poljem, zasniva se na:

${\vec {P}}=m{\vec {v}}+q{\vec {A}}$,

Umesto uobičajenog

${\vec {p}}=m{\vec {v}}$.

Gde je${\vec {A}}$ elektromagnetski vektorski potencijal, $m$ invarijantna masa naelektrisane čestice, ${\vec {v}}$ je brzina i $q$ je naelektrisanje.

Figurativna upotreba

Često se u običnom govoru kaže dati ili dobiti “impuls”. Korišćenje ovakve terminologije implicira da je potrebno uložiti napor da bi se neki proces započeo, a da ga je kada jednom započne kasnije relativno lako održavati ga u toku.

Literatura

• Halliday, David; Resnick, Robert (2001). Fundamentals of Physics. John Wiley & Sons. Chapter 9. 
• Dugas, René (1988). A history of mechanics. Translated into English by J.R. Maddox (Dover izd.). New York: Dover Publications. ISBN 9780486656328. 
• Feynman, Richard P.; Leighton, Robert B.; Sands, Matthew (2005). The Feynman lectures on physics, Volume 1: Mainly Mechanics, Radiation, and Heat (Definitive izd.). San Francisco, California: Pearson Addison-Wesley. ISBN 978-0805390469. 
• Feynman, Richard P.; Leighton, Robert B.; Sands, Matthew (2006). The Feynman lectures on physics (Definitive izd.). San Francisco, California: Pearson Addison-Wesley. ISBN 978-0805390476. 
• Feynman, Richard P.; Leighton, Robert B.; Sands, Matthew (2005). The Feynman lectures on physics, Volume III: Quantum Mechanics (Definitive izd.). New York: BasicBooks. ISBN 978-0805390490. 
• Goldstein, Herbert (1980). Classical mechanics (2nd izd.). Reading, Mass.: Addison-Wesley Pub. Co. ISBN 978-0-201-02918-5. 
• Hand, Louis N.; Finch, Janet D. (1998). Analytical Mechanics. Cambridge University Press. Chapter 4. 
• Jackson, John David (1975). Classical electrodynamics (2nd izd.). New York: Wiley. ISBN 978-0-471-43132-9. 
• Jammer, Max (1999). Concepts of force : a study in the foundations of dynamics (Facsim izd.). Mineola, New York: Dover Publications. ISBN 9780486406893. 
• Landau, L.D.; Lifshitz, E.M. (2000). The classical theory of fields. English edition, reprinted with corrections; translated from the Russian by Morton Hamermesh (4th izd.). Oxford: Butterworth Heinemann. ISBN 9780750627689. 
• Rindler, Wolfgang (1986). Essential Relativity : Special, general and cosmological (2nd izd.). New York u.a.: Springer. ISBN 978-0-387-10090-6. 
• Serway, Raymond; Jewett, John (2003). Physics for Scientists and Engineers (6th izd.). Brooks Cole. ISBN 978-0-534-40842-8. 
• Stenger, Victor J. (2000). Timeless Reality: Symmetry, Simplicity, and Multiple Universes. Prometheus Books. str. Chapter 12 in particular. 
• Tipler, Paul (1998). Physics for Scientists and Engineers: Vol. 1: Mechanics, Oscillations and Waves, Thermodynamics (4th izd.). W. H. Freeman. ISBN 978-1-57259-492-0. 
• Tritton, D.J. (2006). Physical fluid dynamics (2nd izd.). Oxford: Claredon Press. str. 58. ISBN 978-0-19-854493-7. 

Spoljašnje veze

• (jezik: engleski) conservation of momentum Arhivirano na sajtu Wayback Machine (28. februar 2009) - poglavlje iz onlajn udžbenika
• Conservation of momentum Arhivirano na sajtu Wayback Machine (26. oktobar 2011) – A chapter from an online textbook