Košijev niz

Košijev niz je niz čiji su uzastopni elementi proizvoljno blizu jedan drugom za dovoljno velike indekse elemenata.

Košijev niz u skupu realnih brojeva

Niz realnih brojeva, x₁, x₂, x₃... naziva se Košijevim, ako za proizvoljno malo $\epsilon$ može da se nađe indeks n₀ za koji je apsolutna razlika bilo koja dva elementa niza sa indeksom većim od njega manja od $\epsilon$. Simboličkim jezikom pisano, niz realnih brojeva (x_n) je Košijev, ako:

$(\forall \epsilon >0)(\exists n_{0}\in \mathbb {N} )(\forall m,n\in \mathbb {N} )(m,n>n_{0}\Rightarrow |x_{m}-x_{n}|<\epsilon )$.

Košijev niz u metričkim prostorima

U metričkom prostoru M, sa metrikom d, niz elemenata skupa M je Košijev, ako za proizvoljno malo $\epsilon$ može da se nađe indeks n₀ za koji je udaljenost bilo koja dva elementa niza sa indeksom većim od njega manja od $\epsilon$. Simboličkim jezikom pisano, niz elemenata (x_n) metričkog prostora je Košijev, ako:

$(\forall \epsilon >0)(\exists n_{0}\in \mathbb {N} )(\forall m,n\in \mathbb {N} )(m,n>n_{0}\Rightarrow d(x_{m},x_{n})<\epsilon )$.

Košijev niz u metričkim prostorima mogao bi se definisati i na sljedeći način: Niz x₁, x₂, x₃... je Košijev ako udaljenost elemenata x_m i x_n teži nuli kad manji od indeksa m i n teži beskonačnosti. Simboličkim jezikom napisano, niz elemenata (x_n) metričkog prostora je Košijev, ako:

$\lim _{min(m,n)\rightarrow \infty }d(x_{m},x_{n})=0$.

Osobine

Za Košijeve nizove, i u skupu realnih brojeva, i u proizvoljnim metričkim prostorima, važe sljedeće osobine:

1. Svaki konvergentan niz je Košijev
2. Svaki Košijev niz je ograničen
3. Ako Košijev niz ima konvergentan podniz, on je i sam konvergentan.

Obratno tvrđenje od tvrđenja 1, međutim, ne mora uvijek da važi. U skupu realnih brojeva ono zaista važi, što se dokazuje posebnom teoremom, ali ne i u proizvoljnom metričkom prostoru.

Kompletnost

Za one metričke prostore za koje je tačno da je svaki Košijev niz konvergentan, kaže se da su kompletni. Jedan primjer kompletnih metričkih prostora je upravo gorepomenuti skup realnih brojeva, definisan standardnom metrikom $d(x,y)=|x-y|$.

Vidi još

• Niz

Literatura

• Adnađević, Dušan; Kadelburg, Zoran (1998). Matematička analiza I. Nauka, Beograd. ISBN 978-86-7621-088-6. 
• Bourbaki, Nicolas (1972). Commutative Algebra (English translation izd.). Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-00644-5. 
• Krause, Henning (2018), Completing perfect complexes: With appendices by Tobias Barthel and Bernhard Keller, Bibcode:2018arXiv180510751B, arXiv:1805.10751  
• Lang, Serge (1993), Algebra (Third izd.), Reading, Mass.: Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-55540-0, Zbl 0848.13001 
• Spivak, Michael (1994). Calculus (3rd izd.). Berkeley, CA: Publish or Perish. ISBN 978-0-914098-89-8. Arhivirano iz originala 17. 05. 2007. g. Pristupljeno 07. 05. 2019. 
• Troelstra, A. S.; Dalen, D. van. Constructivism in Mathematics: An Introduction.  (for uses in constructive mathematics)