Kurt Gedel

Kurt Gedel (nem. Kurt Gödel; Brno, 28. april 1906 — Prinston, 14. januar 1978) je bio austrijsko-američki matematičar logičar koji je 1931. godine dokazao kompletnost prvog reda infinitezimalnog računa funkcija. Zatim je usledio njegov rad O formalnoj neodređenosti postavki u „Principima matematike“ i odnosnim sistemima (nem. Uber formal unentscheidbare Sätze der 'Principia Mathematica' und verwandter Systeme), u kojem je dokazao prvu od svoje dve znamenite teoreme nekompletnosti. Ovaj rad, datiran 17. novembra 1930, izvorno je objavljen na nemačkom, 1931. godine u časopisu „Monatshefte fir matematik“ (nem. Monatshefte für Mathematik). On se smatra zajedno sa Aristotelom i Gotlobom Fregeom jednim od najznačajnijih logičara u istoriji. Gedel je imao ogroman uticaj na naučno i filozofsko razmišljanje u 20. veku, u vreme kada su drugi kao što su Bertrand Rasel, Alfred Nort Vajted, i Dejvid Hilbert koristili logiku i teoriju skupova da istražuju osnove matematike, nadovezujući se na ranije radove poput Ričarda Dedekinda, Georga Kantora i Fregea.

Kurt Gedel
Kurt Gedel, 1906—1978
Lični podaci
Datum rođenja	(1906-04-28)28. april 1906.
Mesto rođenja	Brno, Austrougarska
Datum smrti	14. januar 1978.(1978-01-14) (71 god.)
Mesto smrti	Prinston, SAD
Obrazovanje	Univerzitet u Beču
Naučni rad
Polje	matematika
Nagrade	Nagrada Albert Ajnštajn (1951) ForMemRS (1968) Nacionalna medalja nauke (1974)

Gedelova otkrića u osnovama matematike dovela su do dokaza Gedelove teoreme o potpunosti 1929. godine u sklopu njegove disertacije za sticanje doktorata na Univerzitetu u Beču, i objavljivanja dve Gedelove teoreme o nepotpunosti dve godine kasnije, 1931. godine. Teorema o nepotpunosti postulira da za bilo koji ω-konzistentan rekurzivni aksiomatski sistem dovoljno moćan da opiše aritmetiku prirodnih brojeva (na primer, Peano aritmetika), postoje istinite tvrdnje o prirodnim brojevima koje se ne mogu dokazati niti opovrgnuti iz aksioma. Da bi to dokazao, Gedel je razvio tehniku koja je sada poznata kao Gedelovo numerisanje, koja kodira formalne izraze kao prirodne brojeve. Druga teorema o nepotpunosti, koja sledi iz prve, kaže da sistem ne može da dokaže sopstvenu doslednost.

Godine 1938. Gedel je pokazao da se Kantorova hipoteza kontinuuma ne može opovrgnuti unutar standardne Cermelo—Frenkel teorije skupova, čak ni ako joj se doda aksioma izbora. Američki matematičar Pol Koen je 1963. godine šokirao matematičku zajednicu dokazavši da se hipoteza kontinuuma ne može ni dokazati unutar ZFC.

Njegov doprinos na polju matematike, iskoristio je Daglas Hofštater za prikazivanje svoje filozofije u knjizi „Gedel, Esher, Bah - večna zlatna pletenica“.

Teorema nepotpunosti

„Dostignuće Kurta Gedela u modernoj logici je singularno i monumentalno — zaista, ono je više od spomenika, to je međaš koji će ostati vidljiv daleko u prostoru i vremenu... Priroda i mogućnosti logike su sigurno potpuno promenjene Gedelovim dostignućem.“ —Džon fon Nojman

Godine 1931, dok je još boravio u Beču, Gedel je objavio svoje teoreme o nepotpunosti u radu O formalnoj neodređenosti postavki u „Principima matematike“ i odnosnim sistemima (nem. Uber formal unentscheidbare Sätze der 'Principia Mathematica' und verwandter Systeme). U tom radu je dokazao da za svaki izračunljiv aksiomatski sistem koji je dovoljno snažan da opiše aritmetiku prirodnih brojeva (na primer Peanove aksiome ili Zermelo-Frenkel teorija skupova sa aksiomom izbora), važi:

1. ako je sistem konzistentan, on ne može biti potpun.
2. konzistentnost aksioma ne može biti dokazana unutar sistema.

Ove teoreme su okončale pola veka duge pokušaje da se pronađe skup aksioma dovoljnih za zasnivanje celokupne matematike, koji su počeli radom Fregea a kulminirali u delu Principia Mathematica Rasela i Vajtheda i Hilbertovim formalizmom.

Osnovna ideja koja leži u srcu teoreme o nepotpunosti je prilično jednostavna. Gedel je u suštini konstruisao formulu koja tvrdi da je nedokaziva u datom formalnom sistemu. Ako bi bila dokaziva, onda bi bila netačna, što predstavlja kontradikciju ideji da su u konzistentnom sistemu dokazivi iskazi uvek tačni. Stoga će uvek postojati bar jedan istinit ali nedokaziv iskaz.

Bibliografija

Važne publikacije

Na nemačkom:

• Gödel, Kurt (1930). „Die Vollständigkeit der Axiome des logischen Funktionenkalküls.”. Monatshefte für Mathematik und Physik. 37: 349—60. S2CID 123343522. doi:10.1007/BF01696781. .
• 1931, "Über formal unentscheidbare Sätze der . Principia Mathematica und verwandter Systeme, I." Monatshefte für Mathematik und Physik. 38: 173—98. 1931.  .
• 1932, "Zum intuitionistischen Aussagenkalkül", . Anzeiger Akademie der Wissenschaften Wien. 69: 65—66. 1932.  .

Na engleskom:

• 1940. The Consistency of the Axiom of Choice and of the Generalized Continuum Hypothesis with the Axioms of Set Theory. Princeton University Press.
• 1947. "What is Cantor's continuum problem?" The American Mathematical Monthly 54: 515–25. Revised version in Paul Benacerraf and Hilary Putnam, eds., 1984 (1964). Philosophy of Mathematics: Selected Readings. Cambridge Univ. Press: 470–85.
• 1950, "Rotating Universes in General Relativity Theory." Proceedings of the international Congress of Mathematicians in Cambridge, Vol. 1, pp. 175–81.

Engleski prevodi:

• Kurt Gödel, 1992. On Formally Undecidable Propositions Of Principia Mathematica And Related Systems, tr. B. Meltzer, with a comprehensive introduction by Richard Braithwaite. Dover reprint of the 1962 Basic Books edition.
• Kurt Gödel, 2000. On Formally Undecidable Propositions Of Principia Mathematica And Related Systems, tr. Martin Hirzel
• Jean van Heijenoort, 1967. A Source Book in Mathematical Logic, 1879–1931. Harvard Univ. Press.
  • 1930. "The completeness of the axioms of the functional calculus of logic," 582–91.
  • 1930. "Some metamathematical results on completeness and consistency," 595–96. Abstract to (1931).
  • 1931. "On formally undecidable propositions of Principia Mathematica and related systems," 596–616.
  • 1931a. "On completeness and consistency," 616–17.
• Collected Works: Oxford University Press: New York. Editor-in-chief: Solomon Feferman.
  • Volume I: Publications 1929–1936 . ISBN 978-0-19-503964-1.  / Paperback: Gödel, Kurt (5. 7. 2001). Kurt Gödel: Collected Works: Volume I: Publications 1929-1936. Oup USA. ISBN 978-0-19-514720-9.  CS1 održavanje: Format datuma (veza),
  • Volume II: Publications 1938–1974 . ISBN 978-0-19-503972-6.  / Paperback: . ISBN 978-0-19-514721-6.  ,
  • Volume III: Unpublished Essays and Lectures . ISBN 978-0-19-507255-6.  / Paperback: Gödel, Kurt (28. 6. 2001). Kurt Gödel: Collected Works: Volume III: Unpublished Essays and Lectures. Oup USA. ISBN 978-0-19-514722-3.  CS1 održavanje: Format datuma (veza),
  • Volume IV: Correspondence, A–G . ISBN 978-0-19-850073-5.  ,
  • Volume V: Correspondence, H–Z . ISBN 978-0-19-850075-9.  .
• Philosophische Notizbücher / Philosophical Notebooks: De Gruyter: Berlin/München/Boston. Editor: de.
  • Volume 1: Philosophie I Maximen 0 / Philosophy I Maxims 0 Gödel, Kurt (2019). Philosophie I Maximen 0: Philosophy I maxims 0. De Gruyter. ISBN 978-3-11-058374-8.  .
  • Volume 2: Zeiteinteilung (Maximen) I und II / Time Management (Maxims) I and II. ISBN 978-3-11-067409-5.
  • Volume 3: Maximen III / Maxims III. ISBN 978-3-11-075325-7.

Vidi još

• Gedelova teorema o potpunosti
• Gedelove teoreme o nepotpunosti

Literatura

• Kleene, Stephen (1980). Introduction to Metamathematics. North Holland. ISBN 978-0-7204-2103-3.  (Ishi Press paperback. 2009. ISBN 978-0-923891-57-2..)
• Procházka, Jiří, 2006, 2006, 2008, 2008, 2010. Kurt Gödel: 1906–1978: Genealogie. ITEM, Brno. Volume I. Brno. 2006. ISBN 978-80-902297-9-2... In Ger., Engl. Volume II. Brno. 2006. ISBN 978-80-903476-0-1... In Germ., Engl. Volume III. Brno. 2008. ISBN 978-80-903476-4-9... In Germ., Engl. Volume IV. Brno. . Princeton. 2008. ISBN 978-80-903476-5-6.  . In Germ., Engl. Volume V,Brno,Princeton. 2010. ISBN 978-80-903476-9-4... In Germ., Engl.
• Procházka, Jiří, "Kurt Gödel: 1906-1978: Historie". ITEM,Brno, Wien, Princeton. Volume I. 2012. ISBN 978-80-903476-2-5.. In Ger., Engl.
• Olga Taussky-Todd, 1983. Remembrances of Kurt Gödel. Engineering & Science, Winter 1988.
• Dawson, John W (1997), Logical dilemmas: The life and work of Kurt Gödel, Wellesley, MA: AK Peters .
• Goldstein, Rebecca (2005), Incompleteness: The Proof and Paradox of Kurt Gödel, New York: W.W. Norton & Co, ISBN 978-0-393-32760-1 .
• Wang, Hao (1987), Reflections on Kurt Gödel, Cambridge: MIT Press, ISBN 0-262-73087-1 
• Wang, Hao (1996), A Logical Journey: From Gödel to Philosophy, Cambridge: MIT Press, ISBN 0-262-23189-1 
• Stephen Budiansky, 2021. Journey to the Edge of Reason: The Life of Kurt Gödel. W.W. Norton & Company.
• Casti, John L; DePauli, Werner (2000), Gödel: A Life of Logic, Cambridge, MA: Basic Books (Perseus Books Group), ISBN 978-0-7382-0518-2 .
• Dawson, John W, Jr (1996), Logical Dilemmas: The Life and Work of Kurt Gödel, AK Peters .
• Dawson, John W, Jr (1999), „Gödel and the Limits of Logic”, Scientific American, 280 (6): 76—81, Bibcode:1999SciAm.280f..76D, PMID 10048234, doi:10.1038/scientificamerican0699-76 .
• Franzén, Torkel (2005), Gödel's Theorem: An Incomplete Guide to Its Use and Abuse, Wellesley, MA: AK Peters .
• Ivor Grattan-Guinness, 2000. The Search for Mathematical Roots 1870–1940. Princeton Univ. Press.
• Hämeen-Anttila, Maria (2020). Gödel on Intuitionism and Constructive Foundations of Mathematics (Ph.D. thesis). Helsinki: University of Helsinki. ISBN 978-951-51-5922-9. 
• Jaakko Hintikka, 2000. On Gödel. Wadsworth.
• Douglas Hofstadter, 1980. Gödel, Escher, Bach. Vintage.
• Stephen Kleene, 1967. Mathematical Logic. Dover paperback reprint c. 2001.
• J.R. Lucas, 1970. The Freedom of the Will. Clarendon Press, Oxford.
• Ernest Nagel and Newman, James R., 1958. Gödel's Proof. New York Univ. Press.
• Ed Regis, 1987. Who Got Einstein's Office? Addison-Wesley Publishing Company, Inc.
• Raymond Smullyan, 1992. Godel's Incompleteness Theorems. Oxford University Press.
• Gödel, Alois, 2006. Brünn 1679–1684. ITEM, Brno 2006, edited by Jiří Procházka. ISBN 80-902297-8-6.
• Procházka, Jiří 2017. "Kurt Gödel: 1906–1978: Curriculum vitae". ITEM, Brno, Wien, Princeton 2017. Volume I. (ISBN 978-80-903476-9-4). In German, English.
• Procházka, Jiří 2019. "Kurt Gödel 1906-1978: Curriculum vitae". ITEM, Brno, Wien, Princeton 2019. Volume II. (ISBN 978-80-903476-1-8). In German, English.
• Procházka, Jiří 2O2O. "Kurt Gödel: 19O6-1978. Curriculum vitae". ITEM, Brno, Wien, Princeton 2020. Volume III. (ISBN 978-80-905148-1-2). In German, English. 223 Pages.
• Yourgrau, Palle, 1999. Gödel Meets Einstein: Time Travel in the Gödel Universe. Chicago: Open Court.
• Yourgrau, Palle, 2004. A World Without Time: The Forgotten Legacy of Gödel and Einstein. Basic Books. ISBN 978-0-465-09293-2. Reviewed by John Stachel in the Notices of the American Mathematical Society (54 (7), pp. 861–68).

Dodatna literatura

• Guerra-Pujol, Enrique (2013). „Gödel's Loophole”. Capital University Law Review. University of Central Florida; Pontifical Catholic University of Puerto Rico. 41: 637—673. SSRN 2010183 . 

Spoljašnje veze

• Weisstein, Eric W. (ur.). „Gödel, Kurt (1906–1978)”. ScienceWorld. 
• Kennedy, Juliette. „Kurt Gödel”. Ur.: Zalta, Edward N. Stanford Encyclopedia of Philosophy. 
• Time Bandits: an article about the relationship between Gödel and Einstein by Jim Holt
• "Gödel and the limits of logic" by John W Dawson Jr. (June 2006)
• Notices of the AMS, April 2006,. „Notices :: Issue Table of Contents”. 53 (4). april 2006. CS1 održavanje: Format datuma (veza) Kurt Gödel Centenary Issue
• Paul Davies and Freeman Dyson discuss Kurt Godel
• "Gödel and the Nature of Mathematical Truth" Edge: A Talk with Rebecca Goldstein on Kurt Gödel.
• It's Not All In The Numbers: Gregory Chaitin Explains Gödel's Mathematical Complexities.
• Gödel photo gallery.
• Kurt Gedel na sajtu Find a Grave (jezik: engleski)
• National Academy of Sciences Biographical Memoir
• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. „Kurt Gedel”. MacTutor History of Mathematics archive. University of St Andrews.