U matematičkoj analizi, Lopitalovo pravilo omogućava nalaženje izvesnih graničnih vrednosti sa „neodređenim oblicima“ pomoću izvoda. Primena (ili uzastopna primena) Lopitalovog pravila može pretvoriti neodređene oblike u određene oblike, omogućavajući lako računanje limesa. Pravilo je dobilo ime po 17. vekovnom francuskom matematičaru Gijomu de Lopitalu, koji je objavio pravilo u svojoj knjizi Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes (doslovno: Analiza beskonačno malog kako bi se razumele krive, 1696) što je prva knjiga o diferencijalnoj analizi.
Veruje se da je pravilo delo Johana Bernulija, pošto je Lopital, koji je bio plemić plaćao Bernuliju 300 franaka godišnje, da ga obaveštava o otkrićima na polju analize, i da mu pomogne u rešavanju problema. Među ovim problemima je bio limes neodređenih oblika. Kada je Lopital objavio knjigu, dao je zasluge Bernuliju, i ne želeći da preuzme zasluge za bilo šta u knjizi, rad je objavio anonimno. Bernuli, koji je bio vrlo ljubomoran, je tvrdio da je on stvaralac celokupnog dela, i do skora se verovalo da je tako. Pa ipak, pravilo je nazvano po Lopitalu, koji nikad nije ni tvrdio da ga je izmislio.[1]
Lopitalovo pravilo se, u osnovnom obliku, odnosi na granične vrednosti razlomka kada se i f i g bliže 0, ili se i f i g bliže beskonačnosti. Lopitalovo pravilo tvrdi da tu graničnu vrednost možemo naći računajući limes razlomka , ali naravno samo ako ovaj potonji postoji, i uz uslov da je g′ različito od nule u nekom intervalu koji sadrži tačku koja se posmatra. Ova diferencijacija može pojednostaviti razlomak ili ga pretvoriti u određeni oblik, što olakšava nalaženje limesa.
Lopitalovo pravilo.
Neka je . Neka je i neka su f i g dve funkcije diferencijabilne na nekom otvorenom intervalu (a, b) koji sadrži c (dakle sa ako ili sa ako ), izuzev, mogućno, u samoj tački c, i takve da je
ili
i da je za svako , .
Tada, ako postoji granična vrednost
,
onda je i
Lopitalovo pravilo važi i za jednostrane limese.
Osnovni neodređeni oblici na koje se Lopitalovo pravilo odnosi su:
Ostali neodređeni oblici, koji se svi mogu svesti na osnovne (vidi primere) su
Važno je imati u vidu uslov da je neophodno da limes postoji. Diferencijacija brojioca i imenioca neodređenih oblika može ove oblike da dovede do limesa koji ne postoje. U tim slučajevima, Lopitalovo pravilo se ne može primenjivati i ostavlja pitanje postojanja i vrednosti eventualne granične vrednosti potpuno otvorenim. Na primer, ako i , onda
ne postoji, dok je
U praksi se pravilo često koristi, i ako limes postoji, donosi se zaključak da je primena Lopitalovog pravila bila legitimna.
Takođe postoji uslov da izvod od g ne nestane kroz ceo interval koji sadrži tačku c. Bez takve hipoteze, zaključak je pogrešan. Stoga se Lopitalovo pravilo ne može koristiti, recimo, ni u slučajevima gde prvi izvod imenioca izrazito osciluje (menjajući pritom znak) blizu tačke gde se traži limes. Na primer ako i , tada
dok
ne postoji, jer fluktuira između e−1 i e.
Jasno, Lopitalovo pravilo se ne može primenjivati za nalaženje neodređenih graničnih vrednosti kod kojih nisu i brojilac i imenilac diferencijabilne funkcije.
Sledi primer koji se tiče sinc funkcije, koja ima oblik 0/0 :
Ovaj limes se zapravo može videti kao definicija izvoda od sin(x) u x = 0. Zapravo, on je neophodan u najčešćem dokazu da je izvod od sin(x) jednak cos(x), ali se u tom dokazu ne može koristiti Lopitalovo pravilo, jer bi tako došlo do kružnog argumenta. Vidi #Logička cirkularnost dole.
Sledi detaljniji primer koji uključuje neodređeni oblik 0/0. Jednokratna primena pravila za rezultat opet ima neodređeni oblik. U ovom slučaju, limes se može dobiti trostrukom primenom Lopitalovog pravila:
Sledi još jedan slučaj sa 0/0:
Ovde je slučaj ∞/∞:
Ovaj se tiče ∞/∞. Neka je n prirodan broj.
Ponavljati gornje sve dok eksponent ne postane 0. Tada se dobije da je limes 0. Ova granična vrednost nam govori da sve stepene funkcije rastu (divergiraju beskonačnosti) sporije od eksponencijalne.
Ovaj primer se takođe tiče ∞/∞:
Prethodni rezultat se može koristiti kod neodređenog oblika : Kako bi izračunali , zapisujemo kao i dobijamo
Ovo je impulsni odgovor izdignuto-kosinusnog filtera u elektronici:
Najčešći dokaz Lopitalovog pravila koristi Košijevu teoremu o srednjoj vrednosti. Potrebno je zasebno razmotriti četiri slučaja, već prema tome da li je ili te da li je ili . Ova razmatranja se razlikuju u detaljima ali prate slične osnovne ideje; ovde su obrađeni slučajevi kada je c konačno.
Neka . Ako predefinišemo funkcije f i g u tački c tako da je , one će biti neprekidne na zatvorenom intervalu [c, b] i diferencijabilne na (c, b). Ovo ne menja limes, jer limes (po definiciji) ne zavisi od vrednosti u datoj tački.
Ovako predefinisane funkcije f i g zadovoljavaju uslove Košijeve teoreme o srednjoj vrednosti, prema kojoj postoji tačka u takva da:
Slučaj kada je se razmatra slično. Neka je . Tada, prema Košijevoj teoremi o srednjoj vrednosti, postoji takvo da je
Zapisujemo ovo u obliku
a zatim pokazujemo da vrednosti f(x)/g(x) teže ka A puštajući limes kada i . Naime, ako je h > 0 fiksirano ali pritom podesno malo, kada biće i , kao i i stoga po želji blisko A. Puštajući potom limes kada sledi . Ovo rezonovanje se najlakše može formalizovati korišćenjem gornjeg i donjeg limesa.
Mada je Lopitalovo pravilo moćno oruđe za računanje inače teško izračunljivih limesa, ono nije uvek najlakši način. Neke limese je lakše računati korišćenjem razvoja u Tejlorove redove.
Na primer,
Da upotrebimo Lopitalovo pravilo, graničnu vrednost ovog razlomka možemo zapisati kao:
U nekim slučajevima, korišćenje Lopitalovog pravila može da dovede do kružnog zaključivanja, pri računanju limesa kao što su
Ako se izračunata vrednost gornjeg limesa koristi u svrhu dokazivanja da
,
a Lopitalovo pravilo i činjenica da
u izračunavanju limesa, argument koristi očekivani rezultat da dokaže samog sebe, i stoga je pogrešan (čak iako se ispostavi da je zaključak dokaza ipak tačan).
C. Truesdell The New Bernoulli Edition Isis, Vol. 49, No. 1. (Mar., 1958), pp. 54-62, raspravlja neobičan dogovor između Bernulija i Lopitala na stranicama 59-62.