Mnogougao

Mnogougao ili poligon je figura u ravni koju čini mnogougaona linija i unutrašnja oblast određena tom linijom. Drugi naziv je poligon.

Neki poligoni različitih vrsta: otvoreni (isključujući njegovu granicu), granični (isključujući unutrašnjost), zatvoreni (uključujući i granicu i unutrašnjost) i samopresecajući.

Ako sva temena mnogougla leže u jednoj ravni, mnogougao se naziva ravan mnogougao. To je mnogougao u užem smislu. Ako sva temena mnogougla ne leže u jednoj ravni, mnogougao se naziva prostorni mnogougao. Duži koje čine mnogougaonu liniju nazivaju se stranice mnogougla. Temena izlomljene linije, krajevi stranica, nazivaju se temena mnogougla. Prema broju temena mnogougao je trougao, četvorougao, petougao, šestougao... Često se umesto mnogougla kaže i n-trougao (čita se entougao). Stranice mnogougla koje imaju zajedničko teme su susedne, a koje nemaju zajedničkih tačka su nesusedne. Ako je mnogougao homeomorfan kružnici, on se naziva prost mnogougao. Drugim rečima, prost mnogougao je mnogougao bez samopreseka, tj. kada:

1. iz svakog njegovog temena ishode samo dve stranice;
2. stranice nemaju zajedničkih tačaka (temena ne pripadaju stranicama);
3. temena ne leže na stranicama.

U elementarnoj geometriji se najčešće posmatraju prosti mnogouglovi. Mnogougao se definiše i kao deo ravni ograničen izlomljenom linijom. Mnogougao se naziva konveksnim (ispupčenim) ako ceo leži sa jedne strane svake prave na kojoj leži njegova stranica. Drugim rečima, mnogougao je konveksan ako duž koja spaja svake dve njegove tačke, cela (svim svojim tačkama) pripada tom mnogouglu. Zbir unutrašnjih uglova svakog prostog mnogougla je (n-2)180°, gde je n = 3, 4, 5,... broj njegovih stranica.

Etimologija

Reč poligon potiče od grčkog prideva πολύς (polús) „mnogo“, i γωνία (gōnía) „ugao“. Pretpostavlja se da bi γόνυ (gónu) 'koleno' moglo biti poreklo dela reči gon.

Konveksnost

Formalniji način da se proveri konveksnost zatvorenog mnogougla u ravni je da se njegova kontura posmatra kao put. Ukoliko se zamišljeni objekat kreće po tom putu i pritom menja pravac svog kretanja samo nalevo ili samo nadesno, mnogougao je konveksan. Pritom nije bitno kako su „levo“ i „desno“ orijentisani.

Površina

Površina prostog mnogougla (bez samopreseka) se može izraziti sledećom formulom:

$P={\frac {1}{2}}\left|\sum _{i=1}^{n}(x_{i}y_{(i+_{n}1)}-x_{(i+_{n}1)}y_{i})\right|={\frac {1}{2}}\left|\sum _{i=1}^{n-1}(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i})+\left(x_{n}y_{1}-x_{1}y_{n}\right)\right|$

Svojstva i formule

Podela n-gona na n − 2 trouglova

Euklidska geometrija je podrazumeva svuda.

Uglovi

Svaki poligon ima onoliko uglova koliko ima strana. Svaki ćošak ima nekoliko uglova. Dva najvažnija su:

• Unutrašnji ugao – Zbir unutrašnjih uglova jednostavnog n-gona je (n − 2)π radijana ili (n − 2) × 180 stepeni. To je zato što se svaki jednostavan n-gon (koji ima n strana) može smatrati sačinjenim od (n − 2) trouglova, od kojih svaki ima zbir uglova od π radijana ili 180 stepeni. Mera bilo kog unutrašnjeg ugla konveksnog pravilnog n-gona je $\left(1-{\tfrac {2}{n}}\right)\pi$ radijani ili $180-{\tfrac {360}{n}}$ stepeni. Unutrašnje uglove pravilnih zvezdastih poligona je prvi proučavao Poinsot, u istom radu u kojem opisuje četiri pravilna zvezdasta poliedra: za pravilan ${\tfrac {p}{q}}$-gon (p-gon sa centralnom gustinom q), svaki unutrašnji ugao je ${\tfrac {\pi (p-2q)}{p}}$ radijana ili ${\tfrac {180(p-2q)}{p}}$ stepeni.
• Spoljašnji ugao – Spoljni ugao je dopunski ugao unutrašnjem uglu. Idući oko konveksnog n-gona, „okrenuti” ugao je spoljašnji ugao. Idući oko poligona pravi se jedan pun zaokret, tako da zbir spoljašnjih uglova mora biti 360°. Ovaj argument se može generalizovati na konkavne jednostavne poligone, ako se spoljašnji uglovi koji se okreću u suprotnom smeru oduzmu od ukupnog broja okrenutih. Idući oko n-gona uopšte, zbir spoljašnjih uglova (ukupni iznos koji se rotira u vrhovima) može biti bilo koji celobroj umnožak d od 360°, npr. 720° za pentagram i 0° za ugaonu „osmicu” ili antiparalelogram, gde je d gustina ili broj zaokreta poligona. Pogledajte isto tako orbitu (dinamika).

Površina

Koordinate nekonveksnog petougla.

U ovom odeljku, vrhovi poligona koji se razmatraju se uzimaju da su u redosledu $(x_{0},y_{0}),(x_{1},y_{1}),\ldots ,(x_{n-1},y_{n-1})$. Radi pogodnosti u nekim formulama, takođe će se koristiti notacija (x_n, y_n) = (x₀, y₀) will also be used.

Ako poligon nije samopresecan (to jest, ako je jednostavan), njegova površina je

$A={\frac {1}{2}}\sum _{i=0}^{n-1}(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i})\quad {\text{where }}x_{n}=x_{0}{\text{ and }}y_{n}=y_{0},$

ili, koristeći determinante

$16A^{2}=\sum _{i=0}^{n-1}\sum _{j=0}^{n-1}{\begin{vmatrix}Q_{i,j}&Q_{i,j+1}\\Q_{i+1,j}&Q_{i+1,j+1}\end{vmatrix}},$

gde je $Q_{i,j}$ rastojanje na kvadrat između $(x_{i},y_{i})$ i $(x_{j},y_{j}).$

Označena površina zavisi od redosleda vrhova i orijentacije ravni. Obično je pozitivna orijentacija definisana rotacijom (u smeru suprotnom od kazaljke na satu) koja preslikava pozitivnu x-osu na pozitivnu y-osu. Ako su vrhovi poređani u smeru suprotnom od kazaljke na satu (to jest, prema pozitivnoj orijentaciji), označena oblast je pozitivna; inače je negativna. U oba slučaja, formula površine je tačna u apsolutnoj vrednosti. Ovo se obično naziva formula pertli ili geometarska formula.

Površina A jednostavnog mnogougla se takođe može izračunati ako su poznate dužine stranica, a₁, a₂, ..., a_n i spoljašnjih uglova, θ₁, θ₂, ..., θ_n, iz:

${\begin{aligned}A={\frac {1}{2}}(a_{1}[a_{2}\sin(\theta _{1})+a_{3}\sin(\theta _{1}+\theta _{2})+\cdots +a_{n-1}\sin(\theta _{1}+\theta _{2}+\cdots +\theta _{n-2})]\\{}+a_{2}[a_{3}\sin(\theta _{2})+a_{4}\sin(\theta _{2}+\theta _{3})+\cdots +a_{n-1}\sin(\theta _{2}+\cdots +\theta _{n-2})]\\{}+\cdots +a_{n-2}[a_{n-1}\sin(\theta _{n-2})]).\end{aligned}}$

Ovu formulu je opisao Lopšic 1963. godine.

Ako se poligon može nacrtati na jednako raspoređenoj mreži tako da su svi njegovi vrhovi tačke mreže, Pikova teorema daje jednostavnu formulu za površinu poligona zasnovanu na broju unutrašnjih i graničnih tačaka mreže: prvi broj plus jedna polovina drugog broj, minus 1.

U svakom poligonu sa perimetrom p i površinom A važi izoperimetrijska nejednakost $p^{2}>4\pi A$.

Za bilo koja dva prosta poligona jednake površine, Boljaj–Gervinova teorema navodi da se prvi može iseći na poligonalne delove koji se mogu ponovo sastaviti da bi formirali drugi poligon.

Dužine stranica mnogougla ne određuju njegovu površinu. Međutim, ako je poligon jednostavan i cikličan onda strane određuju njegovu površinu. Od svih n-gona sa datim dužinama stranica, onaj sa najvećom površinom je cikličan. Od svih n-gona sa datim perimetrom, onaj sa najvećom površinom je pravilan (i stoga cikličan).

Pravilni poligoni

Mnoge specijalizovane formule primenjuju se na oblasti pravilnih poligona.

Površina pravilnog mnogougla je data u smislu poluprečnika r njegovog upisanog kruga i njegovog perimetra p sa

$A={\tfrac {1}{2}}\cdot p\cdot r.$

Ovaj poluprečnik se takođe naziva njegovom apotemom i često se predstavlja kao a.

Površina pravilnog n-gona u smislu poluprečnika R njegovog opisanog kruga može se trigonometrijski izraziti kao:

$A=R^{2}\cdot {\frac {n}{2}}\cdot \sin {\frac {2\pi }{n}}=R^{2}\cdot n\cdot \sin {\frac {\pi }{n}}\cdot \cos {\frac {\pi }{n}}$

Površina pravilnog n-gona upisanog u krug jediničnog poluprečnika, sa stranicom s i unutrašnjim uglom $\alpha ,$ takođe se može trigonometrijski izraziti kao:

$A={\frac {ns^{2}}{4}}\cot {\frac {\pi }{n}}={\frac {ns^{2}}{4}}\cot {\frac {\alpha }{n-2}}=n\cdot \sin {\frac {\alpha }{n-2}}\cdot \cos {\frac {\alpha }{n-2}}.$

Samopresecanje

Površina samopresecajućeg poligona može se definisati na dva različita načina, dajući različite odgovore:

• Koristeći formule za jednostavne poligone, dozvoljava se da određena područja unutar poligona mogu imati svoju površinu pomnoženu faktorom koji se naziva gustinom regiona. Na primer, centralni konveksni petougao u centru pentagrama ima gustinu 2. Dve trouglaste oblasti ukrštenog četvorougla (poput slike 8) imaju gustine suprotnog znaka, a sabiranje njihovih površina može dati ukupnu površinu od nule za celu figuru.
• Smatrajući zatvorene regione kao skupove tačaka, može se pronaći površinu zatvorenog skupa tačaka. Ovo odgovara površini ravni koju pokriva poligon ili površini jednog ili više jednostavnih poligona koji imaju isti obris kao i onaj koji se samoseče. U slučaju unakrsnog četvorougla, on se tretira kao dva prosta trougla.

Centroid

Koristeći istu konvenciju za koordinate temena kao u prethodnom odeljku, koordinate centroida čvrstog jednostavnog mnogougla su

$C_{x}={\frac {1}{6A}}\sum _{i=0}^{n-1}(x_{i}+x_{i+1})(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}),$

$C_{y}={\frac {1}{6A}}\sum _{i=0}^{n-1}(y_{i}+y_{i+1})(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}).$

U ovim formulama mora se koristiti označena vrednost površine $A$.

Za trouglove (n = 3), centroidi vrhova i čvrstog oblika su isti, ali, generalno, to ne važi za n > 3. Centroid skupa vrhova mnogougla sa n vrhova ima koordinate

$c_{x}={\frac {1}{n}}\sum _{i=0}^{n-1}x_{i},$

$c_{y}={\frac {1}{n}}\sum _{i=0}^{n-1}y_{i}.$

Pravilni mnogougao

Mnogougao čije su sve stranice jednake i svi uglovi jednaki naziva se pravilan mnogougao.

Za sve pravilne mnogouglove važi da ukoliko je broj stranica n onda se centralni ugao računa kao α=360/n, spoljašnji kao β=360/n, a unutrašnji γ=180-β.

Računarska grafika

Reč „poligon“ se u računarskoj grafici koristi isključivo za trougao, koji je osnovni grafički primitiv za predstavljanje trodimenzionih objekata. Svaki trodimenzioni objekat je predstavljen skupom trouglova koji sem koordinata svojih tačaka mogu imati i druga svojstva poput boje, teksture kojom su popunjeni, osvetljenosti i dr. Mnogouglovi koji nisu trouglovi se po pravilu razlažu na trouglove.

Vidi još

• Geometrija
• Planimetrija
• Deljenje kruga
• Pravilni mnogougao

Literatura

• Coxeter, H.S.M.; Regular Polytopes, Methuen and Co., 1948 (3rd Edition, Dover, 1973).
• Cromwell, P.; Polyhedra, CUP hbk (1997), pbk. (1999).
• Grünbaum, B.; Are your polyhedra the same as my polyhedra? Discrete and comput. geom: the Goodman-Pollack festschrift, ed. Aronov et al. Springer (2003) pp. 461–488. (pdf Arhivirano na sajtu Wayback Machine (3. avgust 2016))

Spoljašnje veze

• Weisstein, Eric W. „Polygon”. MathWorld. 
• What Are Polyhedra?, with Greek Numerical Prefixes
• Polygons, types of polygons, and polygon properties, with interactive animation
• How to draw monochrome orthogonal polygons on screens, by Herbert Glarner
• comp.graphics.algorithms Frequently Asked Questions, solutions to mathematical problems computing 2D and 3D polygons
• Comparison of the different algorithms for Polygon Boolean operations, compares capabilities, speed and numerical robustness
• Interior angle sum of polygons: a general formula, Provides an interactive Java investigation that extends the interior angle sum formula for simple closed polygons to include crossed (complex) polygons