Nešov ekvilibrijum

U teoriji igara, Nešov ekvilibrijum (po Džonu Forbsu Nešu, koji ga je izložio) je koncept rešenja igre koja uključuje dva ili više igrača, kod kog se podrazumeva da svaki igrač zna strategije ekvilibrijuma ostalih igrača, i nijedan igrač ništa ne može da dobije tako što samo on promeni svoju strategiju (jednostrano je promeni). Ako je svaki igrač izabrao strategiju, i nijedan igrač ne može da profitira promenom svoje strategije pod pretpostavkom da ostali igrači ne promene svoje strategije, onda trenutni skup izabranih strategija, i odgovarajućih dobitaka predstavlja Nešov ekvilibrijum. Drugim rečima, da bi postojao Nešov ekvilibrijum, svaki igrač mora odrično da odgovori na pitanje: Znajući strategije ostalih igrača, i pretpostavljajući da ih oni neće promeniti, da li ja mogu da profitiram promenom svoje strategije?

Prosto rečeno, dva igrača su u Nešovom ekvilibrijumu ako je svaki doneo najbolju moguću odluku, uzevši u obzir odluku protivnika. Slično, više igrača je u Nešovom ekvilibrijumu ako je svaki od njih doneo najbolju moguću odluku uzevši u obzir odluke svih ostalih igrača. Međutim, važno je imati u vidu da Nešov ekvilibrijum ne mora da znači najveću zbirnu dobit za sve igrače; čest je slučaj da svi igrači mogu da povećaju svoju dobit ako bi nekako mogli da se dogovore oko simultane promene svojih strategija. Na primer, konkurentni trgovci mogu da formiraju kartel kako bi povećali svoje profite.

Istorija

Koncept Nešovog ekvilibrijuma u čistim strategijama je prvi razvio Antuan Kurno u svojoj teoriji oligopola (1838). Preduzeća biraju količinu proizvoda koje će da puste na tržište kako bi maksimizovale svoj profit. Međutim, najbolja količina proizvoda jedne firme zavisi od količine proizvoda ostalih. Kurnoov ekvilibrijum se dešava kada svako preduzeće maksimizuje svoj profit za datu količinu proizvoda ostalih preduzeća, što je Nešov ekvilibrijum za čiste strategije. Međutim, moderni koncept Nešovog ekvilibrijuma u teoriji igara je definisan u terminima mešovitih strategija, gde igrači biraju raspodelu verovatnoća nad mogućim akcijama. Koncept Nešovog ekvilibrijuma za mešovite strategije su uveli Džon fon Nojman i Oskar Morgenstern u svojoj knjizi objavljenoj 1944, Teorija igara i ekonomskog ponašanja. Međutim, njihova analiza je bila ograničena na vrlo specifičan slučaj igara sa nultom sumom. Oni su pokazali da Nešov ekvilibrijum za mešovite strategije postoji za sve igre sa nultom sumom koje imaju konačan skup akcija. Doprinos koji je Džon Forbs Neš 1951. dao u svom članku Nekooperativne igre je bio u definisanju Nešovog ekvilibrijuma za mešovite strategije za sve igre sa konačnim skupom akcija, i dokazao da najmanje jedan Nešov ekvilibrijum za mešovite strategije mora da postoji.

Definicije

Neformalna definicija

Neformalno, skup strategija je Nešov ekvilibrijum ako nijedan igrač ne može da prođe bolje ako unilateralno promeni svoju strategiju. Kao heuristika, može da se zamisli da su svakom igraču otkrivene strategije ostalih igrača. Ako postoji igrač koji bi poželeo da promeni svoju strategiju nakon što je saznao protivničke strategije, onda dati skup strategija nije Nešov ekvilibrijum. Ako sa druge strane nijedan igrač ne želi da promeni strategiju (ili je indiferentan u odnosu na promenu strategije), onda dati skup strategija jeste Nešov ekvilibrijum.

Nešov ekvilibrijum ponekad posmatraču sa strane može da izgleda neracionalno. Ovo je zbog toga što može da se desi da Nešvo ekvilibrijum nije Pareto optimalan.

Nešov ekvilibrijum može da ima neracionalne posledice i u uzastopnim igrama, jer igrači mogu da prete drugim igračima koristeći neracionalne poteze. Za takve igre, savršeni ekvilibrijum podigre može da bude smislenije sredstvo za analizu.

Formalna definicija

Neka je $(S,f)$ igra, gde je $S$ skup profila strategija, a $f$ je skup profila dobitaka. Neka je $x_{-i}$ profil strategija svih igrača izuzev igrača $i$. Kada svaki igrač $i\in \{1,...,n\}$ bira strategiju $x_{i}$, što rezultuje profilom strategija $x=(x_{1},...,x_{n})$ onda igrač $i$ ima dobitak $f_{i}(x)$. Valja uočiti da dobitak zavisi od izabranog profila strategija, to jest od strategije koju je izabrao igrač $i$, kao i od strategija koje su izabrali svi ostali igrači. Profil strategija $x^{*}\in S$ je Nešov ekvilibrijum (NE) ako nijedno unilateralna promena strategije bilo kog pojedinačnog igrača nije profitabilna za tog igrača, to jest

$\forall i,f_{i}(x_{i}^{*},x_{-i}^{*})\geq f_{i}(x_{i},x_{-i}^{*}).$

Igra može da ima NE čiste strategije ili NE u svom proširenju u prostor mešovitih strategija (biranje čiste strategije stohastički sa fiksnom frekvencijom). Neš je dokazao da, ako se dopuste mešovite strategije (igrači biraju strategije na slučajan način preko unapred dodeljenih verovatnoća), onda svaka игра са n играча u kojoj svaki igrač vrši izbor od konačno mnogo strategija, ima najmanje jedan Nešov ekvilibrijum.

Kada gornja nejednakost važi strogo ($>$ umesto $\geq$) za sve igrače i za sve izvodljive alternativne strategije, onda se ekvilibrijum naziva strogim Nešovim ekvilibrijumom. Ako sa druge strane, za nekog igrača postoji jednakost između $x_{i}^{*}$ i neke druge strategije u skupu $S$, onda se ekvilibrijum naziva slabim Nešovim ekvilibrijumom.