Википедија

Paradoks dečaka ili devojčice

Paradoks dečaka ili devojčice okružuje niz pitanja u teoriji verovatnoće koja su takođe poznata kao Tu Čajld Problem,[1] Mister Smit's čildren[2] i Misis Smit Problem. Početna formulacija pitanja datira od najmanje 1959, kada je Martin Gardner objavio jednu od prvih varijanti paradoksa u časopisu Scientific American. Naslov Problem dva deteta engl. The Two Children Problem, on je formulisao paradoks na sledeći način:

  • Gospodin Džons ima dvoje dece. Starije dete je devojčica. Koja je verovatnoća da su oba deteta devojčice?
  • Gospodin Smit ima dva deteta. Bar jedno od njih je dečak. Koja je verovatnoća da su oba deteta dečaci?

Gardner je prvobitno dao odgovore 1/2 i 1/3; ali je kasnije priznao da je drugo pitanje bilo dvosmisleno.[1] Njegov odgovor može da bude 1/2, u zavisnosti od toga kako ste saznali da je jedno dete dečak. Dvosmislenost, zavisno od tačne formulacije i mogućih pretpostavki, potvrdili su Bar-Hilel i Folk,[3] i Nikerson.[4]

Druge varijante ovog pitanja, sa različitim stepenom dvosmislenosti, su nedavno popularizovali Ask Merilin u Pered Magazin,[5] Džon Tirni u Njujork Tajms,[6] Leonard Mlodinov u Drankards Volk.[7] Jedna studija je pokazala da kada su prenete identične informacije, ali sa delimično različitim dvosmislenih sadržajem koji ističe različite tačke, da se procenat MBA studenata koji je odgovorio 1/2 promenio od 85% do 39%.[2]

Paradoks je često stimuliso mnogo kontroverzi.[4] Mnogi ljudi se slažu za obe strane sa velikom dozom samopouzdanja, ponekad pokazuju prezir prema onima koji imaju suprotni stav. Paradoks potiče od toga da li je problem podešavanja sličan za dva pitanja.[2][7] Intuitivno odgovor je 1/2.[2] Ovaj odgovor je intuitivan, ako je pitanje vodi čitaoca da veruje da postoje dve podjednako verovatne mogućnosti za pol drugog deteta (tj, dečak i devojčica),[2][8]i da je verovatnoća ovih rezultata apsolutna, a ne uslovna.

Zajedničke pretpostavke

uredi

Dva moguća odgovora dele brojne pretpostavke. Prvo, pretpostavlja se da se prostor svih mogućih događaja može lako izbrojati, pružajući ekstenzionalnu definiciju ishoda: {BB, BG, GB, GG}.[9] Ovaj podatak ukazuje na to da postoje četiri moguće kombinacije dece, nazivajući dečake B i devojčice G, i koristeći prvo slovo za predstavljanje starijeg dete. Drugo, pretpostavlja se da su ovi rezultati podjednako verovatni.[9]To podrazumeva sledeći model, Bernuli proces sa

 :
  1. Svako dete je ili muško ili žensko.
  2. Svako dete ima iste šanse da bude muško ili da bude žensko.
  3. Pol svakog deteta je nezavistan od pola drugog.

Matematički ishod bi bio isti ako su formulisani u smislu bacanja novčića.

Prvo pitanje

uredi
  • Gospodin Džons ima dva deteta. Starije dete je devojčica. Koja je verovatnoća da su oba deteta devojčice?

Pod pomenutim pretpostavkama, u ovom problemu, slučajna porodica je izabrana. U ovom uzorku prostoru, postoji četiri podjednako verovatnih događaja:

Starije dete Mlađe dete
Devojčica Devojčica
Devojčica Dečak
Dečak Devojčica
Dečak Dečak

Samo dva od ovih mogućih događaja ispunjavaju kriterijume navedene u pitanju (tj, GG, GB). Budući da obe od  dve mogućnosti u novom prostoru uzorka {GG, GB} su podjednako verovatne, a samo jedna od njih dve, G. G., uključuje dve devojčice, verovatnoća da je mlađe dete takođe devojčica je 1/2.

Drugo pitanje

uredi
  • Gospodin Smit ima dva deteta. Bar jedno od njih je dečak. Koja je verovatnoća da su oba deteta dečaci?

Ovo pitanje je identično pitanju jedan, osim što je umesto navođenja da je starije dete dečak, navedeno da je bar jedno od njih dečak. U odgovoru na čitalačke kritike na pitanje koje je postavljeno 1959. godine, Gardner se složio da je precizna formulacija pitanja od ključnog značaja za dobijanje različitih odgovora na pitanje 1. i 2. Konkretno, Gardner tvrdi da bi "neuspeh preciziranja slučajne procedure " mogao navesti čitaoce da tumače pitanje na dva različita načina:

  • Od svih porodica sa dvoje dece, najmanje jedno od njih je dečak, porodica je izabrana nasumce. To bi dalo odgovor 1/3.
  • Od svih porodica sa dvoje dece, jedno dete je izabrano nasumice i pol tog deteta je naveden da je dečak. To bi dalo odgovor 1/2[3][4]

Grinsted i Snel tvrde da je pitanje dvosmisleno na isti način koji je učinio Gardner.[10]

Na primer, ako vidite decu u bašti, možete videti dečaka. Drugo dete može biti skriveno iza drveta. U tom slučaju, izjava je ekvivalentna drugoj (dete koje vidite je dečak). Prva izjava ne odgovara da je u jednom slučaju jedan dečak, jedna devojčica. Onda devojčica može biti vidljiva. (Prvo saopštenje navodi da to mogu biti oboje.)

Iako je sigurno tačno da svaki mogući gospodin Smit ima najmanje jednog dečaka (tj. uslov je potreban) nije jasno da je svaki gospodin Smit sa najmanje jednim dečakom namenjen. Problem izjave ne kaže da je imajući dečaka dovoljan uslov za gospodina Smita da se identifikuje kao da ima dečaka na ovaj način.

Komentarišući Gardnerovu verziju problema, Bar-Hilel i Folk[3] napominju da je "gospodin Smit, za razliku od čitaoca, verovatno svestan pola oba njegova deteta prilikom donošenja ove izjave", odnosno da "Imam dvoje dece i najmanje jedno od njih je dečak." Ukoliko se i dalje pretpostavlja da će gospodin Smit prijavite ovu činjenicu ako je to istina onda je tačan odgovor 1/3 kao što je Gardner smatrao.

Analiza dvosmislenost

uredi

Ako se pretpostavi da je ova informacija dobijena gledanjem oba deteta da se vidi da li postoji bar jedan dečak, uslov je neophodan i dovoljan. Tri od četiri podjednako verovatne mogućnosti za porodicu sa dva deteta u uzorku prostora iznad ispunjenog uslova, kao u ovoj tabeli:

Starije dete Mlađe dete
Devojčica Devojčica
Devojčica Dečak
Dečak Devojčica
Dečak Dečak

Stoga, ako se pretpostavi da su oba deteta razmotrena prilikom potrage za dečakom, odgovor na pitanje 2 je 1/3. Međutim, ako je prvi put izabrana porodica i onda slučajno, istinita tvrdnja je donesena o polu jednog deteta u toj porodici, bez obzira da li su oba razmotrena, ispravan način da se izračuna uslovna verovatnoća nije da računaju svi slučajevi koji uključuju dete tog pola. Umesto toga, moraju se uzeti u obzir samo verovatnoće gde će izjava biti napravljena u svakom slučaju.[10] Dakle, ako ALOB predstavlja događaj gde je izjava "najmanje jedan dečak", i ALOG predstavlja događaj gde je izjava "najmanje jedna devojčica", onda ova tabela opisuje uzorak prostora:

Starije dete Mlađe dete V(ove porodice) V(ALOB dat ovoj porodici) V(ALOG dat ovoj porodici) V(ALOB i ova porodica) V(ALOG i ova porodica)
Devojčica Devojčica 1/4 0 1 0 1/4
Devojčica Dečak 1/4 1/2 1/2 1/8 1/8
Dečak Devojčica 1/4 1/2 1/2 1/8 1/8
Dečak Dečak 1/4 1 0 1/4 0

Dakle, ako Vam je rečeno da je najmanje jedan dečak kada je činjenica slučajno izabrana, verovatnoća da su oba dečaka je P(ALOB and BB)/P(ALOB) = (1/4)/(0+1/8+1/8+1/4)=1/2.

Paradoks nastaje kada se ne zna kako je saopštenje "najmanje jedan je dečak" generisano. Ili odgovor može biti tačno, na osnovu onoga što se pretpostavlja.[11] Međutim, "1/3" odgovor se dobija samo uz pretpostavku P(ALOB|BG)=P(ALOB|GB)=1, što implicira P(ALOG|BG)=P(ALOG|GB)=0. Kao što Marks i Smit kažu, "Ova ekstremna pretpostavka nije nikada uključena u prezentaciji problema s dva deteta, međutim, sigurno nije ono što ljudi imaju na umu kada su ga predstavili."

Bajesova analiza

uredi

Sledeći argumente klasične verovatnoće, razmatramo veliki koš koji sadrži dvoje dece. Pretpostavljamo jednakom verovatnoćom da je ili dečak ili devojčica. Tri vidljiva slučaja su ova: 1. oba su devojčice (GG) — sa verovatnoćom P(GG) = 0.25, 2. oba su dečaci (BB) — sa verovatnoćom P(BB) = 0.25, i  3. jedan od svakog (G.B) — sa verovatnoćom P(G.B) = 0.50. Ovo su prethodne verovatnoće.

Sada smo dodali dodatnu pretpostavku da "najmanje jedan je dečak" = B. Pomoću Bajesove teoreme, nalazimo

P(BB|B) = P(B|BB) · P(BB) / P(B) = 1 · 1/4 / 3/4 = 1/3.

gde P(A|B) predstavlja "verovatnoća A određena B". P(B|BB) = verovatnoća najmanje jednog dečaka imajući u vidu da su obojica dečaci = 1. P(BB) = verovatnoća da su obojica dečaci = 1/4 iz prethodne distribucije. P(B) = verovatnoća najmanje jednog dečaka, koji uključuje slučajeve BB i G.B = 1/4 + 1/2 = 3/4.

Imajte na umu da, iako prirodna pretpostavka izgleda da je  verovatnoća 1/2, tako da dobijene vrednosti od 1/3 izgledaju nisko, aktuelna "normalna" vrednost za P(VV) je 1/4, tako da je 1/3 zapravo malo veća.

Paradoks nastaje zbog toga što je Druga pretpostavka donekle veštačka, a kada opisuje problem u stvarnom okruženju stvari se malo lepljiva. Koliko znamo da je "najmanje" je jedan dečak? Jedan opis problema navodi da gledamo u prozor, vidim samo jedno dete, a to je dečak. Ovo zvuči kao iste pretpostavke. Međutim, ovo je ekvivalentno "uzorkovanja" distribucije (tj uklanjanje jedno dete iz urne, utvrđivanja da je dečak, onda zamene). Nazovimo izjava "uzorak je dečak" predlog "B". Sada imamo:

P(BB|b) = P(b|BB) · P(BB) / P(b) = 1 · 1/4 / 1/2 = 1/2.

Razlika je P(b), koja je samo verovatnoća crtanja dečaka iz svih mogućih slučajeva (tj. bez "najmanje"), koja je očigledno 0.5.

Bajesova analiza lako generalizuje predmet u kome smo pretpostavili  50/50 stanovništva. Ako nemamo podatke o stanovništvu onda pretpostavimo da je "prvi stan", odnosno n P(GG) = P(BB) = P(G.B) = 1/3. U ovom slučaju pretpostavka "najmanje" daje rezultat P(BB|B) = 1/2, a pretpostavka uzorka daje P(BB|b) = 2/3, rezultat je izvodljiv iz Rul of Saksešn.

Pretpostavimo da ste opkladili da je gospodin Smit imao dva dečaka, a dobila fer šanse. Platili ste 1$ i dobićete 4$ ako ima dva sina. Mi gledamo na vaše opklade kao na investiciju koja će povećati vrednosti kao kada dobra vest stiže. Koji dokazi bi Vas učinili srećnijim zbog vaše investicije? Učenje da je najmanje jedno dete od dva deteta dečak, ili učenje da je najmanje jedno dete od jednog dečak?

Pismo je unapred manje verovatno, a samim tim bolje su vesti. To je razlog zašto dva odgovora ne mogu biti ista.

Sada za brojeve. Ako se kladimo na jedno dete i pobedimo, vrednost investicije je udvostručena. Mora se ponovo udvostručiti do 4$, tako da su šanse 1 i 2.

S druge strane, ako smo saznali da je najmanje jedno od dvoje dece dečak, naša investicija se povećava, kao da smo zaradili na ovom pitanju. Naš jedan dolar sada vredi 4/3$. Da bismo došli do 4$ ipak moramo da povećamo naše bogatstvo trostruko. Dakle, odgovor je 1 u 3.

Kombinacije pitanja

uredi

Nakon popularizacije Gardnerovog paradoksa on je predstavljen i diskutovan u različitim oblicima. Prva varijanta predstavljena od strane  Bar-Hilela i Folka[3] glasi:

  • Gospodin Smit je otac dvoje dece. Srećemo ga kako hoda ulicom sa dečakom koga sa ponosom predstavlja kao svog sina. Kolika je verovatnoća da je gdrugo dete ospodina Smita takođe dečak?

Bar-Hilel i Folk koriste ovu varijantu da istaknu značaj s obzirom na osnovne pretpostavke. Intuitivno odgovor je 1/2 i, prilikom donošenja najprirodnije pretpostavke, to je tačno. Međutim, neko može tvrditi da "... pre nego što je gospodin Smit identifikuje dečaka kao svog sina, znamo samo da je ili otac dva dečaka, BB, ili dve devojčice, GG, ili jednog od svakog po bilo redosledu rođenja, tj. BG ili GB. Pod pretpostavkom ponovne nezavisnosti, počinjemo sa verovatnoćom od 1/4 da je Smit otac dva dečaka. Otkrivanje da ima najmanje jednog dečaka isključuje događaja GG. Obzirom da su ostala tri događaja nezavisna, dobijamo verovatnoću 1/3 za BB.[3]

Prirodna pretpostavka je da gospodin Smit izabrao dete saputnika nasumice. Ako je tako, kako kombinacija BB ima dvostruku verovatnoću ili BG ili GB koji su doveli do toga da je dečak pratilac (i kombinacija GG ima nultu verovatnoću), sindikat događaja BG i GB postaje nezavistan od događaja BB, tako da je šansa da je drugo dete takođe dečak 1/2. Bar-Hilel i Folk, međutim, ukazuju na alternativni scenario. Oni zamišljaju kulturu u kojoj su dečaci uvek izabrani nad devojčicama kao pratioci. U tom slučaju, kombinacije BB, BG i GB su pretpostavljene kao podjednako verovatne da rezultiraju iz dečaka saputnika, a samim tim i verovatnoća da je drugo dete takođe dečak je 1/3.

Godine 1991, Merilin vos Savant odgovorila je na pitanje čitaocu koji ju je zamolio da odgovori na varijantu paradoksa dečaka ili devojčice koji je uključivao biglove.[5] Godine 1996, ona je objavila pitanje ponovo u drugačijem obliku. Pitanja 1991. i 1996. godine su formulisana:

  • Trgovac kaže da ona ima dve nove bebe da Vam pokaže, ali ona ne zna da li su muško, žensko, ili par. Vi joj kažete da želite samo muško, a ona telefonira kolegi koji ih kupa. "Da li je najmanje jedan muško?" ona ga pita. "Da!" ona Vas obaveštava sa osmehom. Kolika je verovatnoća da je i drugo muško?
  • Recimo da žena i muškarac (koji nemaju veze) imaju po dvoje dece. Znamo da je najmanje jedno od ženine dece dečak i da je čovekovo najstarije dete dečak. Možete li da objasnite zašto šanse da žena ima dva dečaka nisu jednake šansi da čovek ima dva dečaka?

Što se tiče druge formulacije vos Savanta je dala klasični odgovor da su šanse da žena ima dva dečaka oko 1/3, dok su šanse da čovek ima dva dečaka oko 1/2. U odgovoru na pitanje čitaoca koji je zatražio od vos Vasante da sprovede anketu čitalaca sa tačno dvoje dece, od kojih je najmanje jedno dečak. Od 17,946 odgovora, 35,9% je prijavilo dva dečaka.[9]

O vos Savantinim člancima govorili su Čarlton i Stansfild[9] 2005.u  članku u Amerikan Statistikan-u. Autori nisu razgovarali o mogućoj dvosmislenosti u pitanju i zaključuju da je njen odgovor tačan sa matematičke tačke gledišta, imajući u vidu pretpostavke da je verovatnoća da dete bude dečak ili devojčica jednaka, a da je pol drugog deteta nezavisan od prvog. Što se tiče njenog istraživanja kažu da je "najmanje potvrđena ispravna tvrdnja vos Savante da su" šanse "postavljene u prvobitno pitanje, iako slično zvuče, ipak su različite, a da je prva verovatnoća sigurno bliža 1 u 3 nego 1 u 2. "

Čarlton i Stansfild su nastavili da razgovaraju o zajedničkim pretpostavkama paradoksa dečaka i devojčice. Oni pokazuju da su u stvarnosti muška deca zapravo češća nego ženska deca, te da pol drugog deteta nije nezavisan od pola prvog. Autori zaključuju da, iako su pretpostavke pitanja uzete u obzir sa suprotnim zapažanjima, paradoks i dalje ima pedagošku vrednost, jer "ilustruje jedan od najinteresantnijih aplikacija uslovne verovatnoće."[9] Naravno, stvarna verovatnoća vrednosti nije bitna; svrha paradoksa je da pokaže naizgled kontradiktornu logiku, a ne stvarne stope nataliteta.

Informacije o detetu

uredi

Pretpostavimo da smo rekli ne samo da gospodin Smit ima dvoje dece, a jedan od njih je dečak, ali i da je dečak rođen u utorak: da li to menja naše prethodne analize? Opet, odgovor zavisi od toga kako ova informacija dolazi do nas - kakav proces selekcije nam je donelo ovo znanje.

Nakon tradicije problema, pretpostavimo da tamo u populaciji porodice dva deteta, je pol dvoje dece nezavisan jedan od drugog, podjednako verovatno dečak ili devojčica, a da je datum rođenja svakog deteta nezavisan od drugog deteta. Šansa rođenja na bilo koji dan u nedelji je 1/7.

Znamo iz Bajesove teoreme da je verovatnoća dva dečaka, obzirom da je jedan dečak rođen u utorak je dao:

 

Pretpostavimo da je verovatnoća rođenja u utorak  ε (mi ćemo priključiti 1/7 po dolasku u opšte rešenje). Prvi pojam u brojiocu je stoga verovatnoća najmanje jednog dečaka rođenog u utorak, s obzirom da porodica ima dva dečaka, ili   (jedan minus verovatnoća da nijedan dečak nije rođen u utorak). Drugi termin u brojiocu je jednostavno 1/4, verovatnoća da postoje dva dečaka. Imenilac je triker; želimo verovatnoću da ima najmanje jedan dečak rođen u utorak u celom našem uzorku prostora (porodice dva deteta). Tu imamo 4 slučajeva da razmatramo: BB, BG, GB, GG. Svaki od ovih javlja sa verovatnoćom 1/4.  je 0, nema dečaka.   i   je ε, postoji jedan i samo jedan dečak, pa postoje ε šanse rođenja u utorak.   je  . To je šansa da jedan dečak rođen u utorak, plus šansa da je drugi dečak rođen u utorak, minus šansa da su obojica (ovaj termin proizilazi iz činjenice da je P(A or B) P(A)+P(B) - P(A)P(B), pretpostavljajući da su A i B nezavisni. Dakle, puna jednačina je:

 

Ako sada priključite 1/7 za ε, nalazimo da je verovatnoća 13/27, ili oko 0.48. U stvari, kako ε teži 0, ukupna verovatnoća ide na 1/2, što je odgovor koji očekujemo kada se uzorkuje jedno dete (npr. najstarije dete je dečak) i na taj način uklonjen iz bazena moguće dece.

Verovatnoća da se porodica sa dva deteta sastoji od dečaka i devojčica, dečaka rođenog u utorak, jednako 2 (dečak-devojčica ili devojčica-dečak) puta 1/4 (dva navedena pola) puta 1/7 (dečak rođen u utorak) = 1/14. Dakle, među svim porodicama sa dva deteta sa najmanje jednim dečakom rođenim u utorak, udeo porodica u kojima je drugo dete devojčica 1/14 podeljen zbirom 1/14 plus 13/196 = 0.5185185.

Čini se da smo uveli sasvim nebitne informacije, ali verovatnoća pola drugog deteta se dramatično promenila od onoga što je bilo pre (šansu da je drugo dete bila devojčica je 2/3, kad nismo znali da je dečak rođen je u utorak).

Ovo je još uvek malo veće od polovine, ali blizu! Nije teško proveriti da se kako smo naveli sve više i više detalja o detetu dečaku (na primer: rođen 1. januara), šansa da je drugo dete devojčica priibližava polovini.

Međutim, da li je zaista moguće da naša porodica sa decom sa bar jednim dečakom rođenim u utorak nam je dostavljena birajući samo jednu nasumično od toliko takvih porodica? Mnogo je lakše zamisliti sledeći scenario. Znamo da gospodin Smit ima dvoje dece. Mi smo kucali na njegova vrata i dečak dolazi i otvara vrata. Pitamo dečaka na koji je dan u nedelji je rođen. Pretpostavimo da je dete koje otvori vrata određeno slučajno! Tada je postupak bio (1) odaberi porodicu sa dva deteta nasumice iz svih porodica sa dva deteta (2) odabrati jedno od dvoje dece nasumice, (3) vidi da li je dečak i pitaj ga na koji dan je rođen. Šansa drugo dete devojčica je 1/2. Ovo je veoma drugačija procedura od (1) biranje porodice sa dva deteta nasumice od svih porodica sa dvoje dece, najmanje jedan je dečak, rođen u utorak. Šansa da se  porodica se sastoji od dečaka i devojčice je 0.5185815. ..

Ova varijanta paradoksa dečaka ili devojčice se diskutuje u mnogim internet blogovima i predmetima rada od strane Ruma Folka. Pouka priče je da ove verovatnoće ne zavise samo od informacija koje imamo pred sobom, već i od toga kako smo došli do te informacije.

Psihološko istraživanje

uredi

Iz pozicije statističke analize relevantno pitanje je često nejasno i na kao takvo ne postoji "tačan" odgovor. Međutim, to ne iscrpljuje paradoks dečak ili devojčica  jer nije nužna dvosmislenost koja objašnjava kako je izvedena intuitivna verovatnoća. Istraživanje kao što vos Savanta sugeriše da većina ljudi usvoji razumevanje Gardnerovog problema da ako su usklađeni to bi ih moglo dovesti do 1/3 verovatnoće odgovora, ali u velikoj meri ljudi intuitivno dolaze do 1/2 verovatnoće odgovora. Ne uzimajući dvosmislenost u obzir, ovo čini problem interesa psiholoških istraživača koji pokušavaju da razumeju kako ljudi procenjuju verovatnoću.

Foks i Levav (2004) su koristili problem (koji se naziva gospodin Smit problema, pripisan Gardneru, ali ne glasi isto kao Gardnerova verzija) za testiranje teorije o tome kako ljudi procenjuju uslovne verovatnoće.[2] U ovoj studiji, paradoks je postavljen učesnicima na dva načina:

  • "Gospodin Smit kaže: 'Imam dvoje dece i bar jedno od njih je dečak.' Znajući ovu informaciju, koja je verovatnoća da je drugo dete dečak?"
  • "Gospodin Smit kaže: 'Imam dvoje dece i nije slučaj da su obe devojčice.'Znajući ovu informaciju. koja je verovatnoća da su oba deteta dečaci?"

Autori tvrde da prva formulacija daje čitaocu pogrešan utisak da postoje dva moguća ishoda za "drugo dete",[2] dok druga formulacija daje čitaocu utisak da postoje četiri moguća ishoda, od kojih je jedan odbačen (proističe 1/3 kao verovatnoća da su oba deteta dečaci,  jer postoje 3 preostala moguća ishoda, samo jedan od njih je da su oba deteta dečaci). Studija je pokazala da je 85% ispitanika odgovorilo 1/2 za prvu formulaciju, dok je samo 39% odgovorilo na taj način u drugoj formulaciji. Autori tvrde da je razlog zbog kog ljudi različito reaguju na svako pitanje (zajedno sa drugim sličnim problemima, kao što su Montiholov paradoks i paradoks Bertrandove kutije)upotreba naivnih heuristika koji ne uspevaju da pravilno definišu broj mogućih ishoda.[2]

Vidi još

uredi

Reference

uredi
  1. ^ a b Gardner 1954
  2. ^ a b v g d đ e ž Fox, Craig R.; Levav, Jonathan (2004). „Partition–Edit–Count: Naive Extensional Reasoning in Judgment of Conditional Probability”. Journal of Experimental Psychology. 133 (4): 626—642. PMID 15584810. doi:10.1037/0096-3445.133.4.626. 
  3. ^ a b v g d Maya Bar-Hillel and Ruma Falk (1982). „Some teasers concerning conditional probabilities”. Cognition. 11 (2): 109—122. PMID 7198956. doi:10.1016/0010-0277(82)90021-X. 
  4. ^ a b v Raymond S. Nickerson (2004). Cognition and Chance: The Psychology of Probabilistic Reasoning. Psychology Press. ISBN 978-0-8058-4899-1. 
  5. ^ a b „Ask Marilyn”. Parade Magazine. 13. 10. 1991 [January 5, 1992; May 26, 1996; December 1, 1996; March 30, 1997; July 27, 1997; October 19, 1997]. 
  6. ^ Tierney, John (10. 4. 2008). „The psychology of getting suckered”. The New York Times. Pristupljeno 24. 2. 2009. 
  7. ^ a b Leonard Mlodinow (2008). The Drunkard's Walk: How Randomness Rules our Lives. Pantheon. ISBN 978-0-375-42404-5. 
  8. ^ Oza, Nikunj C. (1993). „On The Confusion in Some Popular Probability Problems”. CiteSeerX: 10.1.1.44.2448. 
  9. ^ a b v g d Carlton, Matthew A.; Stansfield, William D. (2005). „Making Babies by the Flip of a Coin?”. The American Statistician. 59: 180—182. doi:10.1198/000313005x42813. 
  10. ^ a b Grinstead, Charles M.; J. Laurie Snell. „Grinstead and Snell's Introduction to Probability” (PDF). The CHANCE Project. 
  11. ^ Stephen Marks and Gary Smith (2011). „The Two-Child Paradox Reborn?” (PDF). Chance (Magazine of the American Statistical Association). 24: 54—9. doi:10.1007/s00144-011-0010-0. Arhivirano iz originala (PDF) 04. 03. 2016. g. Pristupljeno 10. 11. 2015. 

Literatura

uredi

Spoljašnje veze

uredi
Preuzeto iz „https://sr.wikipedia.org/w/index.php?title=Парадокс_дечака_или_девојчице&oldid=27754524”