Površinski integral

Površinski integral u matematici predstavlja generalizaciju višestrukih integrala za integraciju preko površina. Može se smatrati kao dvostruki integral analogno krivolinijskom integralu. S obzirom na površinu, može se integrisati preko njenih skalarnih polja (tj. funkcija koje vraćaju skalare kao vrednosti) i vektorskih polja (tj. funkcija koje vraćaju vektore kao vrednosti).

Površinski integrali imaju primenu u fizici, delom sa teorijama klasičnog elektromagnetizma.

Površinski integral skalarnih polja

Kako bi se pronašla eksplicitna formula za površinski integral, potrebno je parametrizovati površinu interesa, S, smatrajući sistem krivolinijskih koordinata na S, kao i geografsku širinu i dužinu na sferi. Neka takva parametrizacija bude $x$ (s, t), gde (s, t) varira u nekoj oblasti T u ravni. Zatim, površinski integral je dat

\iint \limits _{S}f\,\mathrm {d} \Sigma =\iint \limits _{T}f(\mathbf {x} (s,t))\left\|{\partial \mathbf {x}  \over \partial s}\times {\partial \mathbf {x}  \over \partial t}\right\|\mathrm {d} s\,\mathrm {d} t

gde je izraz između linija na desnoj strani veličina unakrsnog proizvoda parcijalnih izvoda $x$ (s, t) i poznat je kao površinski element. Površinski integral se takođe može izraziti u ekvivalentnom obliku

$\iint \limits _{S}f\,\mathrm {d} \Sigma =\iint \limits _{T}f(\mathbf {x} (s,t)){\sqrt {g}}\,\mathrm {d} s\,\mathrm {d} t$

gde je g determinanta prvog fundamentalnog oblika površinskog preslikavanja $x$ (s, t).^[1]^[2]

Na primer, ako želimo da nađemo površinu grafa neke skalarne funkcije, recimo $z=f(x,y)$ , imamo

${\displaystyle A=\iint \limits _{S}\,\mathrm {d} \Sigma =\iint \limits _{T}\left\|{\partial \mathbf {r} \over \partial x}\times {\partial \mathbf {r} \over \partial y}\right\|\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y}$

gde je ${\displaystyle \mathbf {r} =(x,y,z)=(x,y,f(x,y))}\mathbf {r} =(x,y,z)=(x,y,f(x,y))$ . Tako da ${\partial \mathbf {r} \over \partial x}=(1,0,f_{x}(x,y))$ i ${\partial \mathbf {r} \over \partial y}=(0,1,f_{y}(x,y))$ sledi

${\displaystyle {\begin{aligned}A&{}=\iint \limits _{T}\left\|\left(1,0,{\partial f \over \partial x}\right)\times \left(0,1,{\partial f \over \partial y}\right)\right\|\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\\&{}=\iint \limits _{T}\left\|\left(-{\partial f \over \partial x},-{\partial f \over \partial y},1\right)\right\|\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\\&{}=\iint \limits _{T}{\sqrt {\left({\partial f \over \partial x}\right)^{2}+\left({\partial f \over \partial y}\right)^{2}+1}}\,\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\end{aligned}}}$

što je standardna formula za površinu površine opisane na ovaj način. Vektor se može prepoznati u drugom redu iznad kao normalan vektor na površinu.

Treba imati na umu da, zbog prisustva unakrsnog proizvoda, gorenavedene formule vrede samo za površine ugrađene u trodimenzionalni prostor.

Vidi još

Reference

^ Edwards, C. Henry (Charles Henry), (1994). Advanced calculus of several variables. New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-68336-2. OCLC 31331742.
^ Encyclopaedia of mathematics : an updated and annotated translation of the Soviet "Mathematical encyclopaedia". Hazewinkel, Michieldž. Dordrecht: Reidel. 1988—1994. ISBN 978-1-55608-010-4. OCLC 16755499.

Spoljašnje veze

[1] Edwards, C. Henry (Charles Henry), (1994). Advanced calculus of several variables. New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-68336-2. OCLC 31331742.

[2] Encyclopaedia of mathematics : an updated and annotated translation of the Soviet "Mathematical encyclopaedia". Hazewinkel, Michieldž. Dordrecht: Reidel. 1988—1994. ISBN 978-1-55608-010-4. OCLC 16755499.

[1]

[2]