Problem dve koverte

Problem dve koverte, takođe poznat kao paradoks razmene, je mozgalica, enigmatika , ili paradoks u logici, verovatnoći i rekreativnoj matematici. To je od posebnog značaja u teoriji odlučivanja, kao i za Bajesova tumačenja u teoriji verovatnoće. Istorijski, to je nastalo kao varijanta paradoksa kravate. Problem je obično uveden pri formulisanju hipotetičkog izazova u narednom tipu:

Od dve različite koverte, od kojih svaka sadrži novac, jedna sadrži duplo više nego druga. Predmet može odabrati jedan kovertu i zadržati novac koji sadrži. Pošto samovoljno izabere kovertu, pre nego što je ispita, predmet dobija šansu da uzme drugu kovertu umesto toga. Šta je optimalna racionalna strategija za uzimanje maksimalne svote novca?

Nema smisla uopšte u prebacivanju koverte jer je situacija simetrična. Međutim, u priču se sada uvodi tzv. argument prebacivanja koji pokazuje da je korisnije. Problem je da se pokaže šta nije u redu sa ovim argumentom.

Uvod

Diskusija

Razmotrimo sledeći argument. Pretpostavimo da je iznos u odabranoj koverti $ 20. Ako se u jednoj koverti desi da bude veći iznos nego u drugoj koverti ("veći", što znači onaj sa većom količinom novca, dve koverte su identične po izgledu), to bi značilo da je iznos u prvoj koverti dvostruko veći od iznosa u drugoj koverti. Dakle, u ovom slučaju iznos u drugoj koverti će biti $ 10.

Međutim, ako je izabrani koverat manji od druge koverte, to bi značilo da je iznos u drugoj koverti dvostruko veći od izabranog. U ovom slučaju iznos u drugoj koverti će biti $ 40.

Verovatnoća da se bilo koji od ovih scenarija dogodi je polovina, jer postoji šansa 50% da je izabran veći koverat i verovatnoća 50% da je izabran manji koverat. Očekivana vrednost za obračun koliko novca je u drugoj koverti će biti iznos u prvom scenariju vreme verovatnoće prvog scenarija plus iznos u drugom scenariju vreme verovatnoće drugog scenarija, koji je $ 10 × 1/2 + $ 40 × 1/2. Rezultat ovog proračuna je da očekivana vrednost, odnosno prosek, iznosa novca u drugoj koverti je $ 25. Pošto je ovo veće od iznosa u izabranoj koverti, čini se da osobe biranjem koverte kojoj daju prednost prebace koverte.

Zamislimo bilo koji drugi iznos, na primer: umesto $ 20- $ 200, što nas dovodi do istog zaključka. To znači da čak i pre nego što otvorite odabranu kovertu znate da ćete želeti da umesto tog uzmete drugi koverat, jer u proseku će dobiti pomoću prekidača. Međutim, ovo se protivi zdravom razumu.

Predložena rešenja 

Predložena su mnoga rešenja. Obično jedan autor predlaže rešenje problema kao što je navedeno, nakon čega drugi autor pokazuje da menjanje problema malo oživljava paradoks. Ovakve diskusije su proizvele porodicu blisko povezanih formulacija ovog problema, što je rezultiralo obimnoj literaturi na ovu temu.

Nijedno predloženo rešenje nije prihvaćeno kao definitivno. Uprkos tome što autori tvrde da je rešenje problema lako, čak i elementarno. Međutim, prilikom istrage ovih elementarnih rešenja mišljenja se često razlikuju od jednog do drugog autora. Od 1987. novi radovi su objavljivani svake godine. 

Problem

Osnovna postavka: Vi imate dve identične koverte, od kojih svaka sadrži pozitivnu sumu novca. Jedna koverta sadrži duplo više nego druga. Možete odabrati jednu kovertu i zadržati je, bilo koji iznos da sadrži. Nasumično možete izabrati jednu kovertu, ali pre nego što je otvorite, daje vam se šansa da izaberete drugu kovertu.

 Argument: pretpostavimo sledeće:

1. Označavam sa A ono što je u mojoj koverti
2. Verovatnoća da je A manja količina je 1/2, a da je veća je takođe 1/2
3. Druga koverta može da sadrži 2A ili A/2
4. Ako je u A manja količina, onda druga koverta sadrži 2A
5. Ako je u A veća količina, onda druga koverta sadrži A/2
6. Tako druga koverta sadrži 2A sa verovatnoćom 1/2 i A/2 sa verovatnoćom 1/2.
7. Tako očekivana vrednost novca u drugoj koverti je:

${1 \over 2}(2A)+{1 \over 2}\left({A \over 2}\right)={5 \over 4}A$

1. Ovo je veće od A, pa se dobija prosek od zamene
2. Nakon prekidanja, mogu da označim taj sadržaj sa B i razlog je potpuno isti kao što je gore.
3. Ja ću zaključiti da je najracionalnija stvar koju treba uraditi je da se ponovo vrati zameni.
4. Da budemo racionalni, ja ću na taj način završiti zamenu koverte unedogled.
5. Racionalnije izgleda da se otvori bilo koji koverat nego da se na neodređeno vreme zameni, tu imamo kontradikciju.

Zagonetka: Zagonetka je da se pronađe greška u veoma ubedljivom obrazloženju. To upravo uključuje određivanje razloga zašto i pod kojim uslovima koji korak nije tačan, kako bi bili sigurni da ne pravimo istu grešku u komplikovanijoj situaciji gde pogrešan korak ne može biti tako očigledan. Ukratko, problem je da se reši paradoks.

Prost primer

Uobičajeni način da se reši paradoks, i u popularnoj literaturi i delu akademske literature, a posebno u filozofiji, je da se pretpostavimo da je "A" u koraku 7 namenjen da bude očekivana vrednost u kovertu A i da smo nameravali da napišete formule za očekivanu vrednost u koverti V.

Korak 7 navodi da je očekivana vrednost V = 1/2 (2A + A/2)

Istaknuto je da je "A" u prvom delu formule očekivana vrednost, s obzirom da koverta A sadrži manje od koverte V, ali je "A", u drugom delu formule očekivana vrednost u, s obzirom da koverta A sadrži više od koverte V. mana u argumentu je da se isti simbol koristi u dva različita značenja u oba dela istog obračuna, ali se pretpostavlja da ima istu vrednost u oba slučaja.

Ispravan obračun bi bio:

Očekivana vrednost V = 1/2 (očekivana vrednost u A (dato A je veće od V) + Očekivana vrednost u A (dato A je manje od V) 

Ako se uzme da je iznos u jednoj koverti x onda je iznos u drugoj koverti 2x očekivani proračun vrednosti postaje:

Očekivana vrednost za V = 1/2 (x + 2x)                 

koji je jednak očekivanoj sumi A. 

which is equal to the expected sum in A.

U ne-tehničkom jeziku, šta pođe po zlu kada je zamišljeni scenario da koverta A sadrži manje od koverte V, jedni veruju da vrednosti treba da budu pregledane u odnosu na ono što su prethodni, bez te dodatne informacije. Ipak, u obračunu koji vodi do paradoksalnog rezultata po kom koverta V sadrži u proseku više nego u koverta A, autor se ponaša kao da su mu uverenja o tome šta je u koverti A potpuno ista kada je veći iznos u pitanju, kao kada to je manja količina, kada mu je takva informacija je data. Naravno, stvarni iznos u koverti je fiksan i ne menja se ako se otkriva koji koverat ima više. Poenta je da ovaj iznos, šta god da je, nije poznat za njega. To je njegovo uverenja o iznosu koji ne može biti isti ako je dao dodatne informacije o tome koji koverat ima više.

Linija 7 trebalo bi da bude razrađena pažljivo na sledeći način:

${\begin{aligned}\operatorname {E} (B)&=\operatorname {E} (B\mid A<B)P(A<B)+\operatorname {E} (B\mid A>B)P(A>B)\\&=\operatorname {E} (2A\mid A<B){\frac {1}{2}}+\operatorname {E} \left({\frac {1}{2}}A\mid A>B\right){\frac {1}{2}}\\&=\operatorname {E} (A\mid A<B)+{\frac {1}{4}}\operatorname {E} (A\mid A>B)\end{aligned}}$

A će biti veće kada je A veće od V, nego kada je manja od V. Zato su njene prosečne vrednosti (očekivane vrednosti) u ta dva slučaja različite. Prosečna vrednost A nije ista samoj sebi, u svakom slučaju. Dve greške se prave: autor je zaboravio da je uzimao očekivanee vrednosti, i da je uzimao očekivane vrednosti u dva različita slučaja.

Bilo bi lakše da izračuna E (V) direktno. Označavajući niži od dva iznosa od x, i uzimajući ga da se popravi (čak i ako nepoznat) smo saznali da

$\operatorname {E} (B)={\frac {1}{2}}2x+{\frac {1}{2}}x={\frac {3}{2}}x$

Saznajemo da je 1.5x očekivana vrednost u iznosu u koverti V. Istim računom takođe je očekivana vrednost u iznosu i u koverti A. Oni su isti stoga nema razloga da se daje prednost jednoj koverti u odnosu na drugu. Ovaj zaključak je očigledan; Poenta je da smo identifikovali lažni korak u argumentu za prebacivanje objašnjavajući tačno gde je proračun koji je nestao.

Takođe možemo nastaviti da je ispravna, ali je teško protumačiti rezultat razvoja u skladu sa stavkom 7:

$\operatorname {E} (B)=\operatorname {E} (A\mid A<B)+{\frac {1}{4}}\operatorname {E} (A\mid A>B)=x+{\frac {1}{4}}2x={\frac {3}{2}}x$

tako ima raznih pravaca za izračunavanje i svi daju isti odgovor.

Tsikogiannopoulos (2012) je predstavio drugačiji način da se ovo izračuna. Naravno, to je po definiciji dodeljivanje jednakih šansi za to da druga koverta sadrži dvostruku ili polovinu od iznosa u koverti A. Tako je "prebacivanje argumenta" tačno do koraka 6. Imajući u vidu da koverta igrača sadrži količinu A on razlikuje aktuelnu situaciju u dve različite igre: Prva utakmica će se igrati sa iznosima (A, 2A) a druga utakmica sa iznosima (A / 2, A). Samo jedan od njih je zapravo igrao, ali ne znamo koji. Ove dve utakmice treba da budu tretirane drugačije. Ako igrač želi da izračuna njegov/ njen očekivani povratak (dobitak ili gubitak) u slučaju razmene, on / ona treba da teži povratku izveden iz svake utakmice prosečnog iznosa u dve koverte u toj igri. U prvom slučaju  profit bi bio sa prosečnom iznosu od 3A/2, dok u drugom slučaju gubitak bi bio A/2 sa prosečnom iznosu od 3A/4. Dakle, formula očekivanog povratka u slučaju razmene, vidi kao procenat od ukupnog iznosa u dve koverte, je:

$E={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {+A}{3A/2}}+{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {-A/2}{3A/4}}=0$

Ovaj rezultat znači da igrač opet ne mora da očekuje dobitak ili gubitak razmenom njegove / njene koverte.

Nalbafova asimetrična varijanta

Kako su isticali mnogi autori, mehanizam kojim se određuju iznosi dve koverte je od ključnog značaja za odluku igrača da prebacujete ili ne njegovu / njenu kovertu. Pretpostavimo da su iznosi u dve koverte A i V ne određuje prvo fiksiranje sadržaja dve koverte E1 i E2, a zatim ih imenovanja i V slučajno (na primer, žreb fer novčića; Nikerson i Falk, 2006). Umesto toga, počinjemo odmah na početku tako što neki iznos u koverti A, a zatim popunite B na način koji zavisi kako na sreću (u bacanjem novčića) i na ono što smo stavili u A. Pretpostavimo da pre svega iznosa a u Koverti A je fiksna na ovaj ili onaj način, a zatim iznos u koverti V je fiksna, zavisi od toga šta je već u A, prema ishodu fer novčića. Ako je na novčiću okrenuta glava  onda 2a se stavlja u kovertu V, ako je na novčiću okrenuto pismo onda a/2 se stavlja u kovertu V. Ako je igrač bio svestan ovog mehanizma, i zna da oni imaju kovertu A, ali ne znaa ishod žreba, i ne zna, onda prebacivanje argumenata je ispravno i on / ona preporučuje da se prebace koverte. Ova verziju problema je uveo Nalbaf (1988) i često se naziva Ali-Baba problem. Obratite pažnju da nema potrebe gledati u kovertu A kako bi se odlučilo da li prebaciti ili ne.

Mnogo više varijanti problema su uveli. Nikerson i Falk (2006) sistematski gledano ukupno 8.

Bajesove odluke

Jednostavna odluka iznad pretpostavlja da je osoba koja je izmislio argument za prebacivanje je pokušavao da izračuna očekivanje vrednost iznosa u koverti A, mislim na dva iznosa u koverti kao fiksne (h i 2h). Jedina neizvesnost je što koverta ima manji iznos h. Međutim, mnogi matematičari i statističari tumače argumente kao pokušaj da se izračuna očekivani iznos je u koverti V, s obzirom na stvarnu ili hipotetički količinu "A" u koverti A. (Matematičari šta više vole da koriste simbol a za moguću vrednost, zadržavajući simbol A za slučajne promenljive). Ne treba da pogledamo u koverti da vidimo koliko je tamo, da bi to izračunali. Ako je rezultat obračuna savet da se prebace koverte, onda bi se da treba svakako prebaciti, bez gledanja. U tom slučaju, na korake 6, 7 i 8 obrazloženja "A" je svaka fiksna moguća vrednost iznosa novca u prvoj koverti.

Ovo tumačenje problema dve koverte pojavljuje se u prvim publikacijama u kojima je uveden paradoks u svom sadašnjem obliku,  Gardner (1989) i Nalbaf (1989). To je uobičajeno u matematičkoj literaturi  o problemu. To važi i za modifikaciju problema (koji su izgleda počeli sa Nalbafom) u kojem  vlasnik koverte A zapravo ne gleda u svoju kovertu pre nego što odluči da li da je zameni ili ne; mada Nalbaf tvrdi da nema potrebe da vlasnik koverte gleda u svoju kovertu. Ako je zamišlja da gleda u nju, i ako za bilo koji iznos koji je mogao da zamisli da ima tamo, on ima argument za promenu, onda će odlučiti u svakom slučaju da promeni. Na kraju, ovo tumačenje je takođe bilo jezgro ranijim verzijama problema dve koverte (Litlvudove, Šredingerove); vidi zaključni odeljak, o istoriji TEP.

Ova vrsta tumačenja se često naziva "Bajesova", jer pisac pretpostavlja takođe uključivanje i pre raspodele verovatnoće mogućih količina novca u dve koverte u argumentu razmene.

Jednostavna forma Bajesove odluke

Jednostavna odluka zavisi od određenog tumačenja onoga što je pisac argumenta pokušavao da izračuna: naime, pretpostavlja da je posle (bezuslovne) očekivane vrednosti onoga što je u koverti V. U matematičkoj literaturi o dve koverte, problem drugačijeg tumačenja je češći, uključujući uslovnu očekivanu vrednost (uslovno o tome šta bi moglo biti u koverti A). Da bi se rešio ovaj problem i tumačenja ili verzije problema, većina autora koristi Bajesovo tumačenje verovatnoće, što znači da verovatnoća rezonovanja ne samo primenjuje na istinski slučajne događaje poput slučajnog izbora koverte, ali i našim saznanjima (ili nedostatak znanja) o stvarima koje su fiksne, ali nepoznatih, kao i dva iznosa prvobitno postavljene u dve koverte, pre nego što se izabran nasumice i nazvao "koverta A". Štaviše, prema dugoj tradiciji da se vratimo barem do Laplasa i njegovog principa da dovoljan razlog bi trebalo dati za dodeljivanje jednakim šansama kada neko nema saznanja u vezi svih mogućih vrednosti neke količine. Tako činjenica da nismo rekli ništa o tome kako su koverte popunjavane se već može konvertovati u verovatnoće izjave o ovim iznosima. Nema informacija znači da su verovatnoće jednake.

U koraka 6 i 7. zamene argumenta, pisac zamišlja da koverta A sadrži određenu količinu vremena, a zatim izgleda da veruju da, s obzirom da informacije, drugi koverat će biti jednake verovatnoće da sadrži dve ili pola tog iznosa. Ta pretpostavka može biti samo tačna, ako pre znamo šta je u koverti A, pisac bi razmatrao sledeća dva para vrednosti za obe koverte podjednako verovatne: iznosima A/2 i; i iznosi a i 2a. (Ovo sledi iz Bajesovog pravila koje u suprotnosti formira: poslednje šanse jednake su šansama prethodnog puta faktora verovatnoće). Ali sada možemo primeniti isto obrazloženje, zamišljajući ne osim a/2 u koverti A. i slično, za 2a. Slično tome, u više navrata prepoloviti ili više puta udvostručuje onoliko puta koliko želite. (Falk i Konold, 1992).

Pretpostavimo da zarad argumenata, počinjemo zamišljajući o iznosu 32 u koverti A. U obrazloženju u koracima 6 i 7, tačna je vrednost koja se nalazi u koverti A. Mi očigledno verujemo unapred da su svi nakon deset iznosa jednako verovatno manji od dva iznosa u dvema kovertama: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512 (jednako verovatni stepeni broja 2: Falk i Konold, 1992). Ali još više ili manje količine, je "jednako verovatno" pretpostavka počinje da bude malo nerazumna. Pretpostavimo da stanemo, samo sa ovih deset jednako verovatnih mogućnosti za manjim iznosom u dve koverte. U tom slučaju, obrazloženje u koracima 6 i 7 je u potpunosti u pravu ako se desi da koverta sadrži bilo koji od iznosa 2, 4, ... 512: prebacivanje koverte bi dalo očekivani (prosek) dobitak od 25%. Ako se koverti desilo sadrži iznos 1, onda je očekivani dobitak u stvari 100%. Ali, ako se to desilo da sadrži iznos 1024, masivan gubitak od 50% bi nastao (od prilično velike količine). To se dešava samo jednom u dvadeset puta, ali to je upravo dovoljno da izbalansira očekivane rezultate u drugoj 19 od 20 puta.

Alternativno odemo ad infinitum, ali sada radimo sa veoma smešnom pretpostavkom, što podrazumeva, na primer, da beskrajno veće šanse za iznos u koverti A će biti manje od 1, i beskrajno veće šanse će biti veće od 1024, neće biti između te dve vrednosti. Ovo je tzv. nepravilno pre recenzije verovatnoće račun pokvari; očekivane vrednosti nisu ni definisane; vidi Falk i Konold i (1982).

Mnogi autori su takođe isticali da ako je maksimalna suma koja se može staviti u kovertu sa manjom količinom koja postoji, onda je vrlo lako videti da taj korak 6 zaustavljen, jer ako igrač ima više od maksimalnog iznosa koji može biti staviti u "manju" kovertu, mora držati koverat koji ima veći iznos, pa će stoga sigurno izgubiti zamenu. Ovo ne može često da se javlja, ali kada se to desi, igrač snosi težak gubitak znači da, u proseku, ne postoji prednost u prebacivanju. Neki pisci smatraju da ovo rešava sve slučajeve u praksi problema.

Uvod u dalji razvoj u vezi sa Bajesovom teorijom verovatnoće 

Prve dve rezolucije o kojima je već diskutovano (u "jednostavna rezolucija" i "Bajesova rezolucija") odgovaraju na dva moguća tumačenja o tome šta se dešava u koraku 6 argumenta. Obojica pretpostavljaju da je korak 6 zaista "loš korak". Ali opis u koraku 6 je dvosmislen. Da li je autor nakon bezuslovne (ukupne) očekivane vrednosti onoga što je u koverti V (možda - uslovno na manjem iznosu h), ili je on nakon uslovnog očekivanja o tome šta je u koverti V, s obzirom na svaki mogući iznos A koji bi bio u koverti A? Dakle, postoje dva glavna tumačenja namera kompozitora na paradoksalne argumente za prelazak, i dve glavne rezolucije.

Velika literatura se razvila u vezi varijante problema. Standardna pretpostavka o načinu koverte su postavljene tako da je suma novca u jednoj koverti, a dva puta veća suma je u drugoj koverti. Jedna od dve koverte se nasumično daje igraču (koverat A). Prvobitno je predloženo bilo problem jer nije bilo jasno kako se određuje u kojoj koverti je manja vrednost, koja vrednost bi se mogla uzeti i, posebno, da li postoji minimalni ili maksimalni iznos. Međutim, ako se koristi Bajesovo tumačenje verovatnoće, onda početi izražavanje našeg prethodnog uverenja u vezi sa manjim iznosom u dve koverte kroz distribuciju verovatnoće. Nedostatak znanja takođe mogu biti izraženi u smislu verovatnoće.

Prva varijanta u Bajesovim verzijama je da izađe sa pravilnom prethodnom raspodelom verovatnoće manjeg iznosa novca u dve koverte, tako da kada korak 6 se izvodi pravilno, savet je da se uvek preferira koverta V, šta god bilo u koverti A. Dakle, iako je specifičan obračun koji se vrši u koraku 6 netačno (ne postoji odgovarajuća prethodna distribucija takva da, s obzirom na ono što je u prvoj koverti A, druga koverta je uvek jednako verovatno bila veća ili manja) ispravan obračun, zavisno od toga šta pre se koristi, ne dovodi do rezultata $E(B|A=a)>a$ ѕa sve moguće vrednosti a.

U ovim slučajevima može se pokazati da je očekivani iznos u obe koverte beskonačan. Ne postoji dobitak, u proseku, u premeštanju.

Druga matematička varijanta 

Iako Bajesova teorema može rešiti prvi matematičko tumačenje paradoksa iznad, ispostavlja se da se primeri mogu naći u odgovarajućim raspodelama verovatnoće, tako da je očekivana vrednost iznosa u drugoj koverti s obzirom da u prvom ne prelazi iznos u prvi, šta god to može biti. Prvi takav primer je već dao Nalbaf (1989). Pogledajte takođe Kristensen i Jutitis (1992). 

Označimo ponovo iznos novca u prvoj koverti A i u drugoj sa V. Izaberimo jednu od njih nasumično. Neka je H manja od dva iznosa i Y= 2H bude što veći. Obaveštenje da kada smo fiksne raspodelu verovatnoće za H zatim zajednički raspodele verovatnoće od A, V je fiksna, od A, V = H, Y ili Y, X svaki sa verovatnoćom 1/2, nezavisno od H, Y.

Loš korak 6 u "uvek zameni" argumentu nas je dovela do E(B|A=a)>a za svako a, samim tim se menja, bez obzira da li mi znamo. Sada ispada da neko može vrlo lako izmisliti odgovarajuće raspodele verovatnoće za H, za manji od dva iznosa novca, tako da ovaj loš zaključak je još uvek istina. Jedan primer je analiziran detaljnije, u jednom trenutku.

Kao što je pomenuto ranije, to ne može biti tačno za bilo koje a, s obzirom A=a, V će verovatno biti jednako a/2 ili 2a, ali može biti tačno da šta god da je dato, s obzirom na A=a, V je već u očekivanoj vrednosti od a.

Pretpostavimo na primer da koverta sa manjom sumom sadrži 2ⁿ  dolara sa verovatnoćom 2ⁿ/3ⁿ⁺¹ gde je n = 0, 1, 2,… Ove verovatnoće sumiramo do 1, pa ih raspodelimo (za subjektiviste) i potpuno pristojnom zakonu verovatnoća frekventiste.

Zamislite šta bi moglo biti u prvoj koverti. Razumna strategija bi svakako bilo da menjate kada je prvi koverat sadrži 1, dok je drugi, onda mora da sadrži 2. Pretpostavimo, s druge strane da prva koverta sadrži 2. U tom slučaju postoje dve mogućnosti: koverta pred nama je  {1, 2} ili {2, 4}. Svi ostali parovi su nemogući. Uslovna verovatnoća da se radi sa {1, 2} parom, s obzirom da prvi koverat sadrži 2 je

${\begin{aligned}P(\{1,2\}\mid 2)&={\frac {P(\{1,2\})/2}{P(\{1,2\})/2+P(\{2,4\})/2}}\\&={\frac {P(\{1,2\})}{P(\{1,2\})+P(\{2,4\})}}\\&={\frac {1/3}{1/3+2/9}}=3/5,\end{aligned}}$

a samim tim i verovatnoća da je to {2, 4} par je 2/5, jer su to jedine dve mogućnosti. U ovom izvođenja $P(\{1,2\})/2$ je verovatnoća da je koverta par je par 1 i 2, a koverta se dešava da sadrži 2; $P(\{2,4\})/2$  je verovatnoća da je koverta par 2 i 4, i ponovo se desi da koverta sadrži 2. To su samo dva načina da koverta A može da sadrži iznos 2.

Ispostavilo se da se ove proporcije drže u celini, osim ako prva koverta sadrži 1. One se označavaju od strane količine koju zamislimo da možemo da nađemo u koverti A, ako smo otvorili tu kovertu, i pretpostavljamo da je a = 2ⁿ za neko n ≥ 1. U tom slučaju druga koverta sadrži a/2 sa verovatnoćom 3/5 i 2a sa verovatnoćom 2/5.

Dakle, ili je prva koverta sadrži 1, u tom slučaju uslovno očekivani iznos u drugoj koverti je 2 ili prvi koverat sadrži a> 1, a iako druga koverta ima veću verovatnoću da bude manja nego veća, njeno uslovno očekivanje iznosa je veće: uslovno očekivani iznos u koverti V je

${\frac {3}{5}}{\frac {a}{2}}+{\frac {2}{5}}2a={\frac {11}{10}}a$

što je više nego a. To znači da će igrač koji gleda u kovertu A odlučiti da promeni šta god tamo video. Stoga nema potrebe gledati u kovertu A da bi doneo tu odluku.

Ovaj zaključak je podjednako jasno pogrešan kao što je bio u prethodnim tumačenjima problema dve koverte. Ali, sada nedostaci navedeni u prethodnom tekstu ne važe; a u očekivanom obračunu vrednosti je je konstantna i uslovne verovatnoće u formuli su dobijene od određene i pravilno prethodne distribucije.

Predložene odluke kroz matematičku ekonomiju

Većina pisaca smatra da novi paradoks treba da bude isključen, iako rezolucija zahteva koncepte iz matematičke ekonomije. Pretpostavimo da$E(B|A=a)>a$ za svako a. Može se pokazati da je to moguće za neke distribucije verovatnoće iz H (u manjem iznosu novca u dve koverte) samo ako je$E(X)=\infty$. To jest, ako je srednja vrednost svih mogućih vrednosti novca u koverti  beskonačna. Da bismo videli zašto, uporedititi seriju koja je gore opisana u kojoj je verovatnoća da svaki H ima 2/3 veće šanse kao i prethodno H. Verovatnoća svakog H je samo 1/3 veća od šansi prethodnog H. Kada verovatnoća od svakog sledećeg termina je veći od jedne polovine verovatnoće pre njega (i svako H je dva puta veća od H do njega) srednja je beskonačna, ali kada je faktor verovatnoće manji od polovine, srednja konvergira. U slučajevima gde je faktor verovatnoće manji od polovine, $E(B|A=a)<a$ za svako a izuzev prvog, najmanjem a, a ukupna očekivana vrednost prelaska konvergira na 0. Pored toga, ukoliko stalna distribucija sa faktorom verovatnoće većoj od jedne polovine vrši konačne strane, nakon bilo kog broja termina, uspostavljanja završnog izraz sa "sve preostale verovatnoće", to jest, 1 minus verovatnoća svih prethodnih termina, očekivana vrednost prebacivanja u vezi sa verovatnoćom da je A jednako poslednjem najvećem koji će tačno negirati zbir pozitivne očekivane vrednosti koje su se pojavile pre, i ponovo ukupna očekivana vrednost zamena pada na 0 (ovo je opšti slučaj utvrđuje se jednakom verovatnoćom konačnog skupa vrednosti u kovertama koje su gore opisane). Dakle, jedine distribucije za koje se čini da ukazuju na pozitivnu očekivanu vrednost za prebacivanje su one u kojima $E(X)=\infty$. U proseku više od toga$E(B)=E(A)=\infty$ (jer A i V imaju identične distribucije verovatnoće, simetrijom, i oba A i V su veća ili jednaka H).

Ako ne gledamo u prvu kovertu, onda je jasno da nema razloga da se menja, jer bismo se razmenom jedne nepoznate sume novca (A), za čiju vrednost se očekivalo da je beskonačna, još nepoznatom količinom novca (V), sa istom raspodelom verovatnoće i beskonačne očekivana vrednosti. Međutim, ako ne gledamo u prvu kovertu, zatim za sve vrednosti posmatramo ($A=a$) želećemo da zamenimo jer je $E(B|A=a)>a$ za svako a.  Kao što je zabeleženo od strane Dejvida Čalmersa (2002), ovaj problem se može opisati kao neuspeh dominacije razmišljanja. 

U obrazloženju dominacije, činjenica da smo strogo radije A do V za sve moguće vrednosti posmatranih a treba da ukazuju na to da se striktno radije A do tačke V; Međutim, kao što je već pokazano,  to nije istina, jer je $E(B)=E(A)=\infty$ spašava dominacije obrazloženja dopuštajući$E(B)=E(A)=\infty$,  jedan bi morao da zameni očekivanu vrednost kao kriterijum za donošenje, čime zapošljava sofisticiraniji argument iz matematičke ekonomije. 

Na primer, možemo pretpostaviti da donosilac odluke je očekivana korisnost makimizera sa početnim bogatstvom W čija funkcija korisnosti, $E(u(W+B)|A=a)<u(W+a)$ za neke vrednosti a (držeći se $A=a$  striktno je  preferirana zamena V za a) To svakako nije tačno za bilo koju funkciju, to će biti tačno ako  $u(w)$ ima gornju granicu, $\beta <\infty$, kao w povećana ka beskonačnosti (zajednička pretpostavka u matematičkoj ekonomiji i teoriji odlučivanja). Majkl R. Pauers (2015) pruža neophodne i dovoljne uslove za značajnu funkciju da reši paradoks, i napominje da $u(w)<\beta$  $E(u(W+A))=E(u(W+B))<\infty$ nije obavezno.

Neki pisci bi radije da tvrde da stvarnoe situacije, $u(W+A)$ i $u(W+B)$ su samo ograničene jer se količina novca u koverti graniči sa ukupnom količinom novca u svetu (M), što znači  $u(W+A)\leq u(W+M)$ i $u(W+B)\leq u(W+M)$. Iz ove perspektive, drugi paradoks je rešen, jer se pretpostavka distribucije verovatnoće za X (sa$E(X)=\infty$) ne može pojaviti u stvarnoj situaciji. Slični argumenti se često koriste za rešavanje Sanktpeterburškog paradoksa.

Polemika među filozofima 

Kao što je već pomenuto, svako distribuiranje ove varijante paradoksa mora da ima beskonačno značenje. Dakle, pre nego što igrač otvara kovertu očekivani dobitak od prebacivanja je "∞ - ∞", i nije definisan. Po rečima Dejvida Čalmersa (2002), ovo je "samo još jedan primer poznatog fenomena, čudno ponašanje beskonačnosti" Čalmers ukazuje na to da teorija odluka uglavnom se razbija kada se suoče sa igrama koje imaju različita očekivanja, i to poredi sa situacijom klasičnog Sanktpetersburškog paradoksa.

Međutim, Klark i Šakl tvrde da je za sve to krivo  "čudno ponašanje beskonačnosti" koje ne rešava paradoks uopšte; ni u običnom slučaju niti u prosečnom slučaju. Oni pružaju jednostavan primer par slučajnih promenljivih i imaju beskrajnu značenje, ali gde je očigledno razumno vole jedan do drugog, i uslovno i u proseku. Oni tvrde da teorija odluka treba da se proširi tako da omogući beskonačno očekivanje vrednosti u nekim situacijama.

Smulijanova nemoguća varijanta

Logičar Rejmond Smulijan postavlja pitanje da li paradoks ima ikakve veze sa verovatnoćama. On je to učinio iznoseći problem na način koji ne uključuje verovatnoće. Sledeći jasno logičke argumente došao je do konfliktnih zaključaka:

1. Neka se iznosi u koverti po izboru igrača bude A, igrač može dobiti A ili izgubiti A/2. Tako je potencijalni dobitak strogo veći od potencijalnog gubitka.
2. Neka iznosi u kovertama se H i 2H. Sada zamenom, igrač može dobiti H ili izgubiti H. Tako je potencijalni dobitak jednak potencijalnom gubitku.

Predložene rezolucije 

Jedan broj rešenja je iznet. Pažljivo su učinjene analize od strane nekih logičara. Iako se rešenja razlikuju, svi oni se mogu odrediti semantičkim pitanjima koja se tiču protivčinjeničnih obrazloženja. Želimo da se uporedi iznos koji bismo stekli prelaskom ako bismo prebacili, sa iznosom koji ćemo izgubiti prelaskom ako se zaista gubi prelaskom. Međutim, ne možemo i dobiti i izgubiti prelaskom u isto vreme. Od nas se traži da se uporede dve nespojive situacije. Samo jedna od njih faktički može doći u obzir, druga situacija je protivčinjenični-nekako imaginarna. Da bismo ih uporedili uopšte, moramo nekako da izjednačimo dve situacije, pružajući neke određene zajedničke tačke.

Džejms Čejs (2002) tvrdi da je drugi argument tačan, jer ne odgovara načinu usklađivanja dve situacije (jedna u kojoj smo dobili, a druga u kojoj smo izgubili), što poželjno ukazuje opisom problema. Takođe Bernard Kac i Doris Olin (2007) se slažu sa ovim. U drugom argumentu, posmatramo na iznose novca u obe koverte kao da su fiksni; Zato što proizvoljnim izborom, protivčinjeničnog sveta u kojem igrač, uzima drugu kovertu sa onim što mu je zapravo dato, to je veoma značajno za protivčinjenični svet a samim tim i poređenje između dobitaka i gubitaka u dva sveta ima smisla. Ovo poređenje je jedinstveno navedeno u opisu problema, u kojoj su dve količine novca prvo stavljene u dve koverte, a tek nakon što je jedan odabran proizvoljno i dat igraču. U prvom argumentu, međutim, smatramo da je prvi iznos novca u koverti dat igraču kao fiksni i razmatra se situacija šta sadrži druga koverta, polovinu ili dupli iznos. To bi samo mogli biti razumno protivčinjeničnom svetu ako bi u stvarnosti koverta bila ispunjena na sledeći način: prvo, neki iznos novca se nalazi u specifičnoj koverti koja se daje igraču; i drugo, procesom arbitraže, druga koverta je ispunjena (samovoljno ili slučajno) ili sa duplim ili polovinom tog iznosa novca.

Bajong-Uk Ji (2009), s druge strane, tvrdi da u odnosu na iznos koji bismo dobili, ako bi se dobio prelaskom sa sume koju bismo izgubili ako bismo izgubili zbog prebacivanja besmisleno je vežbati iz početka. Prema njegovoj analizi, sve tri implikacije (promena, ravnodušnost, bez promene) su pogrešne. On analizira Smulijanove argumente u detalje, pokazuje da su prelazni koraci koji su preduzeti, i ukazuje upravo tamo gde je pogrešan zaključak u skladu sa njegovim formalizacijama protivčinjeničnih zaključivanja. Bitna razlika sa Čejsovom analizom  je da on ne uzima u obzir deo priče da je potpuno nasumice odlučeno da se koverta zove koverta A. Tako Čejs vraća verovatnoću nazad u opisu problema kako bi se zaključilo da su argumenti 1 i 3 netačni, Argument 2 je ispravan, a Ji drži "dve koverte problema bez verovatnoće" potpuno slobodne verovatnoće, i dolazi do zaključka da nema razloga da se preferira bilo kakva akcija. To odgovara Albersovom mišljenju, bez postojanja verovatnoće, ne postoji način da se tvrdi da je jedna akcija bolja od druge.

U 2012. godini u radu na temu Blis tvrdi da je izvor paradoksa da kada neko greškom veruje u mogućnost većeg novca koji, u stvari, ne postoji. Ako, na primer, koverta sadrži $ 5.00 i $ 10.00, respektivno, igrač koji je otvorio $ 10.00 kovertu bi mogao očekivati moguću isplatu od $ 20.00 koja jednostavno ne postoji. Da li igrač umesto da otvoriti $ 5.00 koverat, on veruje u mogućnost od $ 2.50 isplate, što predstavlja manje odstupanje od prave vrednosti; ovo je rezultat u paradoksu neslaganja. 

Albers, Koi, i Šafma (2005) smatraju da bez dodavanja verovatnoće (ili druge) sastojke za problem, Smulijanovi argumenti ne daju nikakav razlog za menjanje ili ne menjanje, u svakom slučaju. Stoga, ne postoji paradoks. Ovo odbacujući stav je vrlo čest među piscima iz verovatnoće i ekonomije: Smulijanov paradoks nastaje upravo zato što ne uzima u obzir verovatnoće ili korisnosti.

Dodaci problemu

Pošto je problem dve koverte postao popularan, mnogi autori su proučavali problem u dubinu situacije u kojoj igrač ima prethodno raspodeljene verovatnoće od vrednosti u dve koverte, a ne gledajući u kovertu A. Jedna od najnovijih takvih publikacija je po Makdonelu i Daglasu (2009), koji je takođe razmatraju još neke generalizacije.

Ako prethodno znamo da je iznos u manjoj koverti ceo broj od nekih novčanih jedinica, onda je problem određen, kao koliko teorija verovatnoće je u pitanju, je verovatnoća mase  $p(x)$  opisuje naše prethodne stavove da su manji iznosi bilo koji broj h = 1,2, ...; suma preko svih vrednosti h je jednaka 1. Iz toga sledi da s obzirom na količinu A u koverti A, iznos u koverti V je svakako 2a ako je neparan broj. Međutim, ako je tada iznos u koverti V 2a sa verovatnoćom $p(a)/(p(a/2)+p(a))$, i a/2 sa verovatnoćom $p(a/2)/(p(a/2)+p(a))$. Ako želite da prebacite koverte ukoliko je očekivana vrednost onoga što je u drugoj veća nego što imamo u našoj, onda jednostavna računica pokazuje da bi trebalo prebaciti ako $p(a/2)<2p(a)$, zadržati kovertu A ako $p(a/2)>2p(a)$.

Ako s druge strane manji iznos novca može da varira u kontinuitetu, a mi predstavljamo naša prethodna uverenja o tome sa gustinom verovatnoće $f(x)$, Tako je funkcija koja integriše u jednu kada smo se integralili preko h od nule do beskonačnosti, a zatim s obzirom na količinu A u koverti A, druga koverta sadrži 2a sa verovatnoćom $2f(a)/(f(a/2)+2f(a))$, i a/2 sa verovatnoćom$f(a/2)/(f(a/2)+2f(a))$. Ako opet odlučimo da zamenimo ili ne, prema očekivanju vrednosti onoga što je u drugoj koverti, kao kriterijum za prebacivanje sada postaje $f(a/2)<4f(a)$.

Razlika između rezultata za diskretne i kontinuale promenljive može iznenaditi mnoge čitaoce. Govoreći intuitivno, to je objašnjeno kako sledi. Neka je h mala količina i zamislite da iznos novca koji vidimo kada gledamo u kovertu A se zaokružuje na takav način da razlike manje od h nisu primetne, iako zapravo stalno varira. Verovatnoća da se manji iznos novca je u intervalu oko dužine h, i koverte A koja sadrži manji iznos oko $f(a)\cdot h\cdot (1/2)$. Verovatnoća da je veća količina novca u intervalu oko jedne dužine h odgovara manjem iznosu koji se nalazi u intervalu od dužine h/2 oko a/2. Otuda verovatnoća da veća količina novca  u malom intervalu oko dužine h i koverte A sadrži veći iznos oko $f(a/2)\cdot (h/2)\cdot (1/2)$. Prema tome, s obzirom da koverta sadrži količinu približno jednaku, verovatnoća da je to manja od dva je približno$f(a)\cdot h\cdot (1/2)/(f(a)\cdot h\cdot (1/2)+f(a/2)\cdot (h/2)\cdot (1/2))=2f(a)/(2f(a)+f(a/2))$.

Ako igrač želi samo da završiti sa većom količinom novca, a nije mu stalo do očekivanih iznosa, a zatim u diskretnom slučaju on treba prebaciti ako je neparan broj, ili ako je a paran i $p(a/2)<p(a)$. U kontinuiranom slučaju bi trebalo promeniti ako  $f(a/2)<2f(a)$.

Neki autori više vole da misle o verovatnoći u frekventist smislu. Ako igrač zna raspodelu verovatnoće korišćenu od strane organizatora da utvrdi manju od dve vrednosti, onda se analiza nastavlja kao u slučaju kada r ili f predstavlja subjektivno prethodno verovanje. Međutim, šta ako uzmemo frekuentist tačku gledišta, ali igrač ne zna koja raspodela se koristi od strane organizatora da  popravi iznose novca u jednom primeru? Razmišljanje o aranžeru igre i igraču, kao dve strane u dve igre, stavlja problem u raspon teorije igara. Strategija aranžer se sastoji od izbora verovatnoće raspodele h, manje od dva iznosa. Dozvoliti igraču, takođe koristiti slučajnost u donošenju svoje odluke, njegova strategija određuje njegov izbor verovatnoće prelaska h (a) za svaku moguću količinu novca on može da vidi u koverti A. U ovom odeljku smo do sada diskutovali samo o fiksnim strategijama, to je strategija za koju K uzima samo vrednosti 0 i 1, i videli smo da je igrač u redu sa fiksnom strategijom, ako zna strategiju organizatora. U sledećem delu ćemo videti da randomizirane strategije mogu biti korisne kada strategija organizatora nije poznata.

Nasumična rešenja

Pretpostavimo kao u prethodnom delu koji igrač je dozvolio da gledaju u prvu kovertu pre nego što odluče da li da promene ili da ostanu. Mi ćemo misliti o sadržaju dve koverte kao dva pozitivna broja, a ne nužno dve svote novca. Igrač je bilo dozvoljeno da zadrži broj u koverti A, ili da promeni i da uzme broj u koverti V. Mi ćemo pretpostaviti da je jedan broj tačno dva puta veći od drugog, samo ćemo pretpostaviti da su drugačiji i pozitivni . S druge strane, umesto da pokušava da poveća očekivane vrednosti, samo ćemo pokušati da povećamo šansu da smo završili sa većim brojem.

U ovom odeljku postavimo pitanje, da li je moguće da igrač pravi takav izbor na način da on ide kući sa većim brojem i verovatnoćom većom od polovine, iako je organizator ispunio obe koverte?

Nama se ne daju nikakve informacije o dva broja u dve koverte, osim da su drugačiji, i strogo veći od nule. Brojevi su zapisani na ceduljama od strane organizatora, stavljeni u dve koverte. Koverte su zatim izmešane, igrač bira jednu, naziva je koverta A i otvara je.

Nije nam rečena nikakva zajednička raspodela verovatnoće dva broja. Mi ne tražimo subjektivistička rešenja. Moramo misliti na dva broja u koverti kao što je izabrano od strane aranžer igre prema nekom slučajnom postupku, potpuno nepoznato za nas, i fiksirano. Mislite o svakoj koverti kako jednostavno sadrži pozitivan broj, tako da dva broja nisu ista. Posao igrača je da završi sa kovertom sa većim brojem. Ova varijanta problema, kao i njegovo rešenje, se pripisuje Makdonelu i Ebotu, kao i ranijim autorima, do informacija teoretičara Tomasa M. Kavera.

Intuitivnim brojanjem, postoji način da igrač može da odluči da li da promeni ili da ostavi, tako da on ima veće šanse od 1/2 da završi sa većim brojem, međutim, dva broja su izabrana od strane aranžera igre. Međutim, to je moguće samo sa tzv. randomizovanjem algoritma: igrač mora biti u stanju da stvori svoje slučajne brojeve. Pretpostavimo da je u stanju da proizvede slučajan broj, nazovimo ga Z., tako da je verovatnoća da je Z veće od bilo koje količine Z je ehr (-Z). Imajte na umu da ehr (-Z) počinje kao jednako 1 na Z = 0 i smanjuje se ka nuli i kontinuirano raste kao Z, sa tendencijom ka nuli kako Z teži do beskonačnosti. Dakle, šansa je 0  da je Z upravo jednako svakom konkretnom broju, a tu je i pozitivna verovatnoća da Z leži između bilo koja dva pojedina različita broja. Igrač poredi svoj Z sa brojem u koverti A. Ako je Z manje drži koverat. Ako je Z veće pređe na drugu kovertu.

Razmislite o dva broja u koverti kao da su fiksni (iako su, naravno, nepoznati igraču). Razmislite o Z koji je igrač slučajno izabrao kao probi sa kojom on može da odluči da li je broj u koverti A mali ili veliki. Ako je mali u poređenju sa Z promeniće, ako je veći od Z, ostaje.

Ako su oba broja manja od Z koje ima igrač, njegova strategija mu neće pomoći. On završava sa kovertom V, što je jednako verovatno da će biti veće ili manje od ta dva. Ako su oba broja veći od Z njegova strategija mu takođe neće pomoći, on završava sa prvom kovertom A, što je opet jednako verovatno da će biti veća ili manja od te dve. Međutim ako se desi da bude između dva broja, onda njegova strategija ga navodi da zadrži kovertu A ako je njen sadržaj veći od onog u V, ali da se prebaci na kovertu V ako je A ima manjeg sadržaja od V. Sve u svemu, to znači da on može da završi sa kovertom sa većim brojem sa verovatnoćom strogo većom od 1/2. Da budemo precizni, verovatnoća da završi sa "pobedničkom kovertom" je 1/2 + P(Z pada između dva broja)/2.

U praksi  broj Z smo opisali kao da može biti određe neophodnim stepenom tačnosti kao što sledi. Baciti pravično novčić mnogo puta, i pretvoriti niz glava i pisma u binarnu zastupljenost određenog broja U između 0 i 1: na primer, HTHHTH ... postaje binarna zastupljenost od u = 0,101101. .. Na ovaj način, možemo generisati slučajni broj U, ravnomerno raspoređen između 0 i 1. Zatim definiše Z = - U (U), gde se "U"  zalaže za prirodni logaritam, odnosno, logaritam sa bazom e. Imajte na umu da samo treba da bacite novčić dovoljno puta da proverite da li je Z  manje ili veće od broja a u prvoj koverti -ne moramo ići na zauvek. Samo treba da bacite novčić konačan (iako slučajni) broj puta: u nekom trenutku možemo biti sigurni da rezultati daljih bacanja novčića neće promeniti ishod.

Poseban zakon verovatnoće (tzv. standardna eksponencijalna distribucija) koji se koristi za generisanje slučajnih brojeva Z za ovaj problem nije od presudnog značaja. Bilo koja distribucija verovatnoće preko pozitivnih realnih brojeva koje dodeljujemo pozitivnom verovatnoćom na bilo kom intervalu od pozitivne dužine radi svoj posao.

Ovaj problem se može posmatrati sa stanovišta teorije igara, gde snimamo igru dve osobe sa rezultatima pobedi ili izgubi, u zavisnosti od toga da li igrač završava sa većim ili manjim iznosom novca. Organizator bira zajedničku distribuciju količine novca u obe koverte, a igrač bira distribuciju Z. igra nema "rešenje"  u smislu teorije igara. Ovo je beskonačna igra i Njumanova Minimaks teorema ne važi.

Istorija paradoksa

Paradoks koverte datira bar od 1953. godine, kada je belgijski matematičar Moris Kraičik predložio enigmu u svojoj knjizi Rekreaciona matematika koja se tiče dva podjednako bogata čoveka koji se sreću i upoređuju svoje lepe kravate, predstavljene od njihovih supruga, pitajući se koja kravata više košta. On  takođe uvodi varijantu u kojoj dvojica upoređuu sadržaj svojih torbi. On pretpostavlja da je u svakoj tašni jednako verovatno da sadrži od 1 do nekog velikog broja h penija, od ukupnog broja penija kovanog do danas. Ljudi ne gledaju u svoje tašne ali svaki ima razlog zbog kog treba da promeni torbu. On ne objašnjava šta je greška u obrazloženju. Nije jasno da li se zagonetka već pojavila u ranijem izdanju knjige 1942. godine. Takođe se pominje 1953. u knjizi o osnovnoj matematici i matematičkoj enigmi od strane matematičara Džona Edensor Litlvuda, koji je na račun fizičara Ervina Šredingera, gde se gleda špil karata, svaka karta ima dva broja ispisan na sebi, igrač dobija da vidi slučajnu stranu slučajne karte, a pitanje je da li treba predati kartu. Litlvudov špil karata je beskrajno veliki i njegov paradoks je paradoks nepravilnih prethodnih distribucija.

Martin Gardner popularizovao je Krajčikovu eigmu u svojoj knjizi iz 1982. godine Aha! Razumem, u formi igre novčanika:

Dvoje ljudi, jednako bogati, sastaju se kako bi uporedili sadržaj svojih novčanika. Svaki je neznalica sadržaja novčanika. Igra je sledeća: ko ima najmanje novca prima sadržaj novčanika drugog (u slučaju kada su iznosi jednaki, ništa se ne dešava). Jedan od njih dvojice može rezonovati:.. "Imam iznos A u mom novčaniku. To je maksimum koji mogu da izgubim Ako ja pobedim (verovatnoća 0.5), iznos koji ću imati u svom posedu na kraju utakmice će biti više nego 2A. Zbog toga je igra povoljna za mene." Drugi čovek može da razmišlja na isti način. U stvari, simetrično, igra je fer. Gde je greška u obrazloženju svakog čoveka?

Gardner je priznao da, kao Kraičik, mogao je dati zvučnu analizu koja vodi do pravog odgovora (nema smisla u prebacivanju), nije mogao jasno staviti prst na šta nije u redu sa obrazloženjem za prebacivanje i Kraičik nije dao pomoć u tom pravcu.. Tomas Bras naprotiv nije video nikakvo opravdanje da se govori o paradoksu (iako nije razmatrao interese drugih aspekata problema), tvrdeći da je ključni argument očekivano prikazuje paradoks pogrešno. U A (2A) (A/ 2) - verzija očekivanog argumenta bi bila potrebna merljivosti tri slučajne promenljive iste verovatnoće prostora, što ovde nije kompatibilno za dva ishoda. U verziji novčanika, greška je pretpostaviti da je, nezavisno od njene vrednosti, podjednako  verovatno manja količina A i B, samo zato što se pretpostavlja da su oba igrača bila jednako bogata.

U 1988. i 1989., Beri Nalba predstavio je dva različita problema dve koverte, od kojih svaka koverta sadrži dva puta ono što je u drugoj, i svaka se svodi na očekivanje 5A/4. Prvi rad samo predstavlja dva problema, drugi rad razmatra mnoga rešenja za oba. Druga njegova dva problema su danas najčešći, a predstavljeni su u ovom članku. Prema ovoj verziji, dve koverte su prvo ispunjene, onda je izabrana nasumce i pozvana je koverta A. Martin Gardner nezavisno pominje ovu verziju u svojoj knjizi Penrose Tiles to Trapdoor Ciphers and the Return of Dr Matrix 1989. Beri Nalbafova asimetrična varijanta, često poznat kao Ali Baba problem, ima jednu kovertu ispunjenu prvo, zove je koverta A i data je Aliju. Zatim je fer bačena kovanica da odluči da li koverte V treba da sadrže polovinu ili dva puta taj iznos, pa je tek onda data Babi.

Vidi još

• Paradoks dečaka ili devojčice
• Montiholov paradoks
• Problem uspavane lepotice 

Literatura

• Markosian, Ned (2011). "A Simple Solution to the Two Envelope Problem". Logos & Episteme II (3): 347–57.
• McDonnell, Mark D.; Grant, Alex J.; Land, Ingmar; Vellambi, Badri N.; Abbott, Derek; Lever, Ken (2011). „Gain from the two-envelope problem via information asymmetry: On the suboptimality of randomized switching”. Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. 467 (2134): 2825—2851. Bibcode:2011RSPSA.467.2825M. S2CID 43930358. doi:10.1098/rspa.2010.0541. 
• Falk, Ruma (2008). „The Unrelenting Exchange Paradox”. Teaching Statistics. 30 (3): 86—88. S2CID 120397860. doi:10.1111/j.1467-9639.2008.00318.x. 
• Schwitzgebe, Eric; Dever, Josh (2008), "The Two Envelope Paradox and Using Variables Within the Expectation Formula Arhivirano na sajtu Wayback Machine (20. februar 2017)" (PDF), Sorites: 135–140
• Tsikogiannopoulos, Panagiotis (2012). "Παραλλαγές του προβλήματος της ανταλλαγής φακέλων" [Variations on the Two Envelopes Problem] (PDF). Mathematical Review (in Greek) (Hellenic Mathematical Society).
• Priest, Graham; Restall, Greg (2007), "Envelopes and Indiference" (PDF), Dialogues, Logics and Other Strange Things (College Publications): 135–140
• Nalebuff, Barry (1989). „Puzzles: The Other Person's Envelope is Always Greener”. Journal of Economic Perspectives. 3: 171—181. doi:10.1257/jep.3.1.171. 
• „Letters to the Editor”. The American Statistician. 50: 98—99. 1996. doi:10.1080/00031305.1996.10473551. 
• Albers, Casper (March 2003), "2. Trying to resolve the two-envelope problem", Distributional Inference: The Limits of Reason (thesis).
• Albers, Casper J; Kooi, Barteld P; Schaafsma, Willem (2005), "Trying to resolve the two-envelope problem", Synthese 145 (1): 91.
• Falk, Ruma; Nickerson, Raymond S. (2009). „An Inside Look at the Two Envelopes Paradox”. Teaching Statistics. 31 (2): 39—41. S2CID 122078010. doi:10.1111/j.1467-9639.2009.00346.x. 
• Chen, Jeff, The Puzzle of the Two-Envelope Puzzle—a Logical Approach (online ed.). str. 274.
• Broome, J. (1995). „The two-envelope paradox”. Analysis. 55: 6—11. doi:10.1093/analys/55.1.6. 
• Christensen, Ronald; Utts, Jessica (1992). „Bayesian Resolution of the "Exchange Paradox"”. The American Statistician. 46 (4): 274—276. doi:10.1080/00031305.1992.10475902. 
• Newton, H. Joseph (1991). „New Developments in Statistical Computing”. The American Statistician. 45 (2): 154—160. doi:10.1080/00031305.1991.10475791. 
• „Letters to the Editor”. The American Statistician. 48 (3): 267—269. 1994. doi:10.1080/00031305.1994.10476075. 
• „Letters to the Editor”. The American Statistician. 50: 98—99. 1996. doi:10.1080/00031305.1996.10473551. 
• Broome, J. (1995). „The two-envelope paradox”. Analysis. 55: 6—11. doi:10.1093/analys/55.1.6. . A famous example of a proper probability distribution of the amounts of money in the two envelopes, for which E(B|A=a)>a for all a.
• „Letters to the Editor”. The American Statistician. 47 (2): 157—163. 1993. doi:10.1080/00031305.1993.10475966. . Comment on Christensen and Utts (1992)
• Chalmers, D. J. (2002). „The St. Petersburg two-envelope paradox”. Analysis. 62 (2): 155—157. doi:10.1093/analys/62.2.155. 
• Powers, Michael (2015). „Paradox-Proof Utility Functions for Heavy-Tailed Payoffs: Two Instructive Two-Envelope Problems”. Risks. 3: 26—34. doi:10.3390/risks3010026 . 
• Clark, M. (2000). „The two-envelope paradox”. Mind. 109 (435): 415—442. doi:10.1093/mind/109.435.415. .
• Smullyan, Raymond (1992). Satan, Cantor, and infinity and other mind-boggling puzzles. Alfred A. Knopf. str. 189–192. ISBN 978-0-679-40688-4. 
• Chase, J. (2002). „The non-probabilistic two envelope paradox”. Analysis. 62 (2): 157—160. doi:10.1093/analys/62.2.157. 
• Katz, Bernard D.; Olin, Doris (2007). „A Tale of Two Envelopes”. Mind. 116 (464): 903—926. doi:10.1093/mind/fzm903. 
• Byeong-Uk Yi (2009). "The Two-envelope Paradox With No Probability" (PDF).
• Bliss (2012). "A Concise Resolution to the Two Envelope Paradox".
• McDonnell, Mark D.; Abbott, Derek (2009). „Randomized switching in the two-envelope problem”. Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. 465 (2111): 3309—3322. Bibcode:2009RSPSA.465.3309M. S2CID 17875498. doi:10.1098/rspa.2009.0312. 
• Cover, Thomas M (1987). "Pick the largest number". In Cover, T; Gopinath, B. Open Problems in Communication and Computation. Springer-Verlag.
• Martinian, Emin, The Two Envelope Problem, archived from the original on 2007-11-14.
• Bruss, F. Thomas (1996). „The fallacy of the two-envelope problem”. Mathematical Scientist. 21 (2): 112—119. .