Red (matematika)

Red je zbir matematičkih objekata $a_{i}$ tj. $a_{1}+a_{2}+...+a_{n}+...$.

Objekti $a_{1},a_{2},...,a_{n},...,$ koji se nazivaju članovi reda, mogu označavati brojeve, ili funkcije, ili vektore, ili matrice, itd. Već prema tome šta su mu članovi, red može biti numerički red, funkcionalni red, red vektora, red matrice. Umesto navedenog, razvijenog zapisa reda, često se navodi skraćeni zapis $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k},$ ili, ponekad, još kraće $\sum a_{k}.$ Za red kažemo da je konvergentan, ako postoji konačna granična vrednost $\lim _{n\to \infty }S_{n}=S,$ gde je $S_{n}=a_{1}+a_{2}+...+a_{n}$. $S$ se naziva suma reda a $S_{n}$ n-ta parcijalna suma reda. Ako red nije konvergentan, onda kažemo da je divergentan. Red može imati i oblik

$\sum _{k=-\infty }^{+\infty }a_{k}=...+a_{-n}+...+a_{-1}+a_{0}+a_{1}+...+a_{n}+...,$ (npr. Loranov red) ali i oblik

$\sum _{i,j=1}^{\infty }a_{ik}=(a_{11}+a_{12}+...+a_{1n}+...)+(a_{21}+a_{22}+...+a_{2n}+...)+...+(a_{n1}+a_{n2}+...+a_{nn}+...),$

Neki tipovi redova

• Geometrijski red je red kod koga se uzastopni članovi dobijaju množenjem prethodnih konstantnim brojem. Na primer:

$1+{1 \over 2}+{1 \over 4}+{1 \over 8}+{1 \over 16}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{1 \over 2^{n}}.$

U opštem slučaju, geometrijski red

$\sum _{n=0}^{\infty }z^{n}$

konvergira akko |z| < 1.

• Harmonijski red je red

$1+{1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 4}+{1 \over 5}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over n}.$

Harmonijski red divergira.

• Alternirajući red je red kod koga uzastopni članovi imaju suprotne znake. Na primer:

$1-{1 \over 2}+{1 \over 3}-{1 \over 4}+{1 \over 5}-\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{1 \over n}.$

• Red

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{r}}}$

konvergira ako r > 1 a divergira za r ≤ 1, što se može pokazati integralnim kriterijumom za konvergenciju redova. Kao funkcija od r, suma ovog reda je Rimanova zeta funkcija.

• Teleskopski red

$\sum _{n=1}^{\infty }(b_{n}-b_{n+1})$

konvergira ako niz b_n konvergira limesu L kada n teži beskonačnosti. Tada je vrednost reda b₁ − L.

Apsolutna konvergencija

Glavni članak: apsolutna konvergencija

Za red

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$

se kaže da apsolutno konvergira ako red apsolutnih vrednosti

$\sum _{n=0}^{\infty }\left|a_{n}\right|$

konvergira. U ovom slučaju, početni red, i sva njegova preuređenja, konvergiraju, i konvergiraju ka istoj sumi.

Po Rimanovoj teoremi o redovima, ako red uslovno konvergira, uvek može da se nađe preuređenje članova reda tako da preuređeni red divergira. Štaviše, ako su a_n realni, i S je bilo koji realan broj, može se naći preuređenje koje će da konvergira ka S.

Generalizacije

Asimptotski red

Asimptotski redovi, inače asimptotske ekspanzije, su beskonačni redovi čiji parcijalne sumi postaju dobre aproksimacije u granici neke tačke domena. Uopšteno govoreći, oni ne konvergiraju, ali su korisni kao redovi aproksimacija, od kojih svaki daje vrednost blisku željenom odgovoru za konačan broj pojmova. Razlika je u tome što se asimptotski red ne može napraviti da proizvede odgovor onoliko tačan koliko se želi, na način na koji to može konvergentni red. Zapravo, nakon određenog broja članova, tipičan asimptotski red dostiže svoju najbolju aproksimaciju; ako se uključi više pojmova, većina takvih serija će dati lošije odgovore.

Divergentni redovi

Glavni članak: Divergentni redovi

U mnogim okolnostima, poželjno je dodeliti limit redu koji ne uspeva da konvergira u uobičajenom smislu. Metod sumabilnosti je takvo dodeljivanje limita podskupu skupa divergentnih redova koji pravilno proširuje klasični pojam konvergencije. Metode sabiranja uključuju Čezarovo sumiranje, (C,k) sumiranje, Abelovo sumiranje i Borelovo sumiranje, u rastućem redosledu uopštenosti (i stoga primenljivo na sve divergentnije serije).

Poznato je mnoštvo opštih rezultata u vezi sa mogućim metodama sabiranja. Silverman–Toplicova teorema karakteriše metode sabiranja matrice, koje su metode za sabiranje divergentnog reda primenom beskonačne matrice na vektor koeficijenata. Najopštiji metod za sabiranje divergentnog niza je nekonstruktivan i odnosi se na Banahove limite.

Sumacije nad proizvoljnim skupovima indeksa

Definicije se mogu dati za sume nad proizvoljnim indeksnim skupom $I.$ Postoje dve glavne razlike u odnosu na uobičajeni pojam serije: prvo, ne postoji određeni redosled na skupu $I$; drugo, ovaj skup $I$ može biti nebrojiv. Pojam konvergencije treba ojačati, jer koncept uslovne konvergencije zavisi od uređenja indeksnog skupa.

Ako je $a:I\mapsto G$ funkcija iz indeksnog skupa $I$ do skupa $G,$ onda je „serija” povezana sa $a$ formalni zbir elemenata $a(x)\in G$ preko indeksnih elemenata $x\in I$ označeno sa

$$\sum _{x\in I}a(x).$$

Kada se indeksni skup sastoji od prirodnih brojeva $I=\mathbb {N} ,$ funkcija $a:\mathbb {N} \mapsto G$ je niz označen sa $a(n)=a_{n}.$ Red indeksiran prirodnim brojevima je uređena formalna suma i zato se ${\textstyle \sum _{n\in \mathbb {N} }}$ može zapisati kao ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }}$ da bi se naglasio redosled indukovan prirodnim brojevima. Tako se dobija uobičajena notacija za red indeksiran prirodnim brojevima

$$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots .$$

Porodice nenegativnih brojeva

Prilikom sabiranja porodice $\left\{a_{i}:i\in I\right\}$ nenegativnih realnih brojeva, definiše se

$$\sum _{i\in I}a_{i}=\sup \left\{\sum _{i\in A}a_{i}\,:A\subseteq I,A{\text{ коначно }}\right\}\in [0,+\infty ].$$

Kada je supremum konačan onda se skup $i\in I$ takav da je $a_{i}>0$ može prebrojati. Zaista, za svako $n\geq 1,$ kardinalnost $\left|A_{n}\right|$ skupa $A_{n}=\left\{i\in I:a_{i}>1/n\right\}$ je konačna, jer

$${\frac {1}{n}}\,\left|A_{n}\right|=\sum _{i\in A_{n}}{\frac {1}{n}}\leq \sum _{i\in A_{n}}a_{i}\leq \sum _{i\in I}a_{i}<\infty .$$

Ako je $I$ prebrojivo beskonačno i nabrojano kao $I=\left\{i_{0},i_{1},\ldots \right\}$ onda gore definisani zbir zadovoljava

$$\sum _{i\in I}a_{i}=\sum _{k=0}^{+\infty }a_{i_{k}},$$

pod uslovom da je vrednost $\infty$ dozvoljena za zbir serije.

Svaki zbir nad nenegativnim realnim vrednostima može se shvatiti kao integral nenegativne funkcije u odnosu na meru brojanja, što objašnjava mnoge sličnosti između ove dve konstrukcije.

Abelove topološke grupe

Neka je $a:I\to X$ mapa, takođe označena sa $\left(a_{i}\right)_{i\in I},$ iz nekog nepraznog skupa $I$ i $X$ je Hausdorfova abelova topološka grupa. Neka je $\operatorname {Finite} (I)$ kolekcija svih konačnih podskupova $I,$ sa konačnim ⁡$\operatorname {Finite} (I)$ posmatrano kao usmeren skup, uređen prema uključivanju $\,\subseteq \,$ sa unijom kao spojem. Za porodicu $\left(a_{i}\right)_{i\in I},$ se kaže da se bezuslovno sabira ako je sledeća granica, koja je označena sa $\sum _{i\in I}a_{i}$ i naziva se zbir $\left(a_{i}\right)_{i\in I},$ koji postoji u $X:$

$$\sum _{i\in I}a_{i}:=\lim _{A\in \operatorname {Finite} (I)}\ \sum _{i\in A}a_{i}=\lim \left\{\sum _{i\in A}a_{i}\,:A\subseteq I,A{\text{ коначно }}\right\}$$

Uzimajući da je zbir $S:=\sum _{i\in I}a_{i}$ limit konačnih parcijalnih suma znači da za svaku okolinu $V$ izvora u $X,$ postoji konačan podskup $A_{0}$ od $I$ tako da

$$S-\sum _{i\in A}a_{i}\in V\qquad {\text{ за сваки коначни суперскуп }}\;A\supseteq A_{0}.$$

Pošto $\operatorname {Finite} (I)$ nije potpuno uređeno, ovo nije limit reda parcijalnih suma, već neto vrednost.

Vidi još

• Dvostruki red
• Stepeni red
• Furijeov red
• Tejlorov red

Literatura

• Bromwich, T. J. An Introduction to the Theory of Infinite Series MacMillan & Co. 1908, revised 1926, reprinted 1939, 1942, 1949, 1955, 1959, 1965.
• Dvoretzky, Aryeh; Rogers, C. Ambrose (1950). „Absolute and unconditional convergence in normed linear spaces”. Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. 36 (3): 192—197. Bibcode:1950PNAS...36..192D. PMC 1063182 . PMID 16588972. doi:10.1073/pnas.36.3.192 . 
• Swokowski, Earl W. (1983), Calculus with analytic geometry (Alternate izd.), Boston: Prindle, Weber & Schmidt, ISBN 978-0-87150-341-1 
• Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis (McGraw-Hill: New York, 1964).
• Pietsch, Albrecht (1972). Nuclear locally convex spaces. Berlin,New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-05644-0. OCLC 539541. 
• Robertson, A. P. (1973). Topological vector spaces. Cambridge England: University Press. ISBN 0-521-29882-2. OCLC 589250. 
• Ryan, Raymond (2002). Introduction to tensor products of Banach spaces. London New York: Springer. ISBN 1-85233-437-1. OCLC 48092184. 
• Wong (1979). Schwartz spaces, nuclear spaces, and tensor products. Berlin New York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-09513-6. OCLC 5126158. 

MR0033975

• Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, p. 10, 1972.
• Andrews, George E. (1998). „The geometric series in calculus”. The American Mathematical Monthly. Mathematical Association of America. 105 (1): 36—40. JSTOR 2589524. doi:10.2307/2589524. 
• Arfken, G. Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 278–279, 1985.
• Beyer, W. H. CRC Standard Mathematical Tables, 28th ed. Boca Raton, FL: CRC Press, p. 8, 1987.
• Courant, R. and Robbins, H. "The Geometric Progression." §1.2.3 in What Is Mathematics?: An Elementary Approach to Ideas and Methods, 2nd ed. Oxford, England: Oxford University Press, pp. 13–14, 1996.
• James Stewart (2002). Calculus, 5th ed., Brooks Cole. ISBN 978-0-534-39339-7
• Larson, Hostetler, and Edwards (2005). Calculus with Analytic Geometry, 8th ed., Houghton Mifflin Company. ISBN 978-0-618-50298-1
• Moise, Edwin E. (1967), Calculus: Complete, Reading: Addison-Wesley 
• Pappas, T. "Perimeter, Area & the Infinite Series." The Joy of Mathematics. San Carlos, CA: Wide World Publ./Tetra, pp. 134–135, 1989.
• Protter, Murray H.; Morrey, Charles B. Jr. (1970), College Calculus with Analytic Geometry (2nd izd.), Reading: Addison-Wesley, LCCN 76087042 
• Roger B. Nelsen (1997). Proofs without Words: Exercises in Visual Thinking, The Mathematical Association of America. ISBN 978-0-88385-700-7
• C. H. Edwards Jr. (1994). The Historical Development of the Calculus, 3rd ed., Springer. ISBN 978-0-387-94313-8.
• Swain, Gordon and Thomas Dence (april 1998). „Archimedes' Quadrature of the Parabola Revisited”. Mathematics Magazine. 71 (2): 123—30. JSTOR 2691014. doi:10.2307/2691014. CS1 održavanje: Format datuma (veza)
• Eli Maor (1991). To Infinity and Beyond: A Cultural History of the Infinite, Princeton University Press. ISBN 978-0-691-02511-7
• Morr Lazerowitz (2000). The Structure of Metaphysics (International Library of Philosophy), Routledge. ISBN 978-0-415-22526-7
• Carl P. Simon and Lawrence Blume (1994). Mathematics for Economists, W. W. Norton & Company. ISBN 978-0-393-95733-4
• Mike Rosser (2003). Basic Mathematics for Economists, 2nd ed., Routledge. ISBN 978-0-415-26784-7
• Edward Batschelet (1992). Introduction to Mathematics for Life Scientists, 3rd ed., Springer. ISBN 978-0-387-09648-3
• Richard F. Burton (1998). Biology by Numbers: An Encouragement to Quantitative Thinking, Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-57698-7
• John Rast Hubbard (2000). Schaum's Outline of Theory and Problems of Data Structures With Java, McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-137870-3
• Oresme, Nicole (c. 1360). Quaestiones super Geometriam Euclidis [Questions concerning Euclid's Geometry]. 
• Mengoli, Pietro (1650). „Praefatio [Preface]”. Novae quadraturae arithmeticae, seu De additione fractionum [New arithmetic quadrature (i.e., integration), or On the addition of fractions]. Bologna: Giacomo Monti. 
• Bernoulli, Johann (1742). „Corollary III of De seriebus varia”. Opera Omnia. Lausanne & Basel: Marc-Michel Bousquet & Co. str. 8. 
• Bernoulli, Jacob (1689). Propositiones arithmeticae de seriebus infinitis earumque summa finita [Arithmetical propositions about infinite series and their finite sums]. Basel: J. Conrad. 
• Bernoulli, Jacob (1713). Ars conjectandi, opus posthumum. Accedit Tractatus de seriebus infinitis [Theory of inference, posthumous work. With the Treatise on infinite series…]. Basel: Thurneysen. str. 250—251. 

Spoljašnje veze

• Hazewinkel Michiel, ur. (2001). „Series”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. 
• Infinite Series Tutorial
• „Series-TheBasics”. Paul's Online Math Notes.