Slučajna promenljiva

Slučajna promenljiva, takođe poznata kao randomna promenljiva, randomni kvantitet ili stokastička promenljiva je funkcija definisana na ansamblu mogućih ishoda slučajnog procesa.^[1] Formalni matematički tretman randomne promenljive je tema teorije verovatnoće. U tom kontekstu, slučajna promenljiva se shvata kao merljiva funkcija definisana na prostoru elementarnih ishoda čiji ishodi su tipično realni brojevi.^[2]

Postoje dva osnovna tipa slučajnih promenljivih: diskretne i neprekidne. Diskretne slučajne promenljive preslikavaju ishode iz prebrojivog skupa ishoda u skup verovatnoća (većih od ili jednakih 0). Neprekidne slučajne promenljive preslikavaju neprebrojivi skup ishoda u funkciju definisanu na nekom beskonačnom domenu (obično na skupu realnih brojeva). Najčešće je verovatnoća svakog pojedinačnog ishoda neprekidne slučajne promenljive 0, dok je verovatnoća da promenljiva uzme vrednost iz nekog intervala pozitivna. Moguća je i kombinacija ova dva tipa.

Slučajna promenljiva može imati vektorsku vrednost $\scriptstyle \mathbb {R} ^{n}$ ili $\scriptstyle \mathbb {C} ^{n}$ , i u tom slučaju govorimo o vektoru ishoda: $\ \scriptstyle \ X\ :\ \omega \ \mapsto \ X(\omega )\in \mathbb {R} ^{n}$ ili $\scriptstyle \ X\ :\ \omega \ \mapsto \ X(\omega )\in \mathbb {C} ^{n}$ . Ako slučajna promenljiva uzima vrednosti iz skupa funkcija definisanih u vremenskom domenu (na primer, šum radio-signala, sekvenca loto brojeva) govorimo o stohastičkom procesu.^[3]^[4]^[5]

Igre na sreću su blisko povezane sa slučajnim ishodima (rezultat bacanja kocke, ishod bacanja novčića, okretanja ruleta...). Odnos između slučajnog ishoda i dobitka u igrama na sreću se zasniva na funkcijama teorije verovatnoće. Slučajnim promenljivima se pridružuje veličina (metrika).

Neka je $\ \scriptstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ prostor elementarnih ishoda i $\ \scriptstyle (E,{\mathcal {E}})$ metrički prostor. Slučajna promenljiva $\ \scriptstyle \Omega$ $\ \scriptstyle E$ je svaka metrička funkcija $\ \scriptstyle X\$ argumenta $\ \scriptstyle \Omega$ koja daje rezultat u prostoru $\ \scriptstyle E$ .

Uslov „merljivosti“ $\ \scriptstyle X$ obezbeđuje da slika $\ \scriptstyle X$ svakog elementa $\ \scriptstyle B$ skupa $\ \scriptstyle {\mathcal {E}}$ ima pridruženu verovatnoću i dozvoljava definisanje mere verovatnoće, koja se definiše izrazom:

\mathbb {P} _{X}(B)=\mathbb {P} \left(X^{-1}(B)\right)=\mathbb {P} \left(X\in B\right).

Funkcija $\ \scriptstyle \mathbb {P} _{X}$ se naziva raspodelom verovatnoće slučajne promenljive $\ \scriptstyle X\$ .

Definicija uredi

Slučajna promenljiva $X\colon \Omega \to E$ je merljiva funkcija iz skupa mogućih ishoda $\Omega$ do merljivog prostora $E$ . Tehnička aksiomatska definicija zahteva da $\Omega$ bude prostor mogućih ishoda trostruke verovatnoće (pogledajte teoretsku definiciju mere). Obično $X$ ima realnu vrednost (tj. $E=\mathbb {R}$ ).

Verovatnoća da $X$ poprima vrednost u merljivom skupu $S\subseteq E$ se zapisuje kao:

\operatorname {Pr} (X\in S)=P(\{\omega \in \Omega |X(\omega )\in S\})

,

gde je $P$ mera verovatnoće unutar $\Omega$ .

Standardni slučaj uredi

U mnogim slučajevima, $E=$ $\mathbb {R}$ . U nekom kontekstima, termin randomni element (pogledajte nastavke) se koristi za označavanje slučajne promenljive koja nije ovog oblika.

Kad je imidž (ili opseg) od $X$ konačan ili prebrojiv skup, slučajna promeljiva se naziva diskretnom slučajnom promeljivom^[6]^‍:399 a njena distribucija se može opisati pomoću funkcije verovatnoće koja pripisuje verovatnoću svakoj vrednosti u imidžu od $X$ . Ako je imidž neprebrojivo beskonačan onda se $X$ naziva kontinuiranom slučajnom promeljivom.^[7]^[8] U specijalnom slučaju da je ona apsolutno kontinuirana, njena raspodela se opisuje funkcijom gustine verovatnoće, koja pripisuje verovatnoće intervalima; konkretno, svaka pojedinačna tačka mora nužno imati nultu verovatnoću za apsolutno neprekidnu slučajnu promenljivu. Nisu sve kontinuirane slučajne promenljive apsolutno kontinuirane,^[9] na primer distribucija smeše. Takve slučajne promenljive se ne mogu opisati gustinom verovatnoće ili funkcijom verovatnoće.

Svaka slučajna promenljiva može se opisati njenom kumulativnom raspodelom verovatnoće,^[10]^[11]^[12] koja opisuje verovatnoću da će slučajna promeljiva biti manja ili jednaka od određene vrednosti.

Reference uredi

^ Blitzstein & Hwang 2014
^ Steigerwald, Douglas G. „Economics 245A – Introduction to Measure Theory” (PDF). University of California, Santa Barbara. Pristupljeno 26. 4. 2013.
^ Joseph L. Doob (1990). Stochastic processes. Wiley. str. 46, 47.
^ Emanuel Parzen (2015). Stochastic Processes. Courier Dover Publications. str. 7, 8. ISBN 978-0-486-79688-8.
^ Iosif Ilyich Gikhman; Anatoly Vladimirovich Skorokhod (1969). Introduction to the Theory of Random Processes. Courier Corporation. str. 1. ISBN 978-0-486-69387-3.
^ Yates, Daniel S.; Moore, David S; Starnes, Daren S. (2003). The Practice of Statistics (2nd izd.). New York: Freeman. ISBN 978-0-7167-4773-4. Arhivirano iz originala 9. 02. 2005. g.
^ „Random Variables”. www.stat.yale.edu. Pristupljeno 2020-08-21.
^ Dekking, Frederik Michel; Kraaikamp, Cornelis; Lopuhaä, Hendrik Paul; Meester, Ludolf Erwin (2005). „A Modern Introduction to Probability and Statistics”. Springer Texts in Statistics (na jeziku: engleski). ISBN 978-1-85233-896-1. ISSN 1431-875X. doi:10.1007/1-84628-168-7.
^ Castañeda, L.; V. Arunachalam & Dharmaraja, S. (2012). Introduction to Probability and Stochastic Processes with Applications. Wiley. str. 67.
^ Deisenroth, Marc Peter; Faisal, A. Aldo; Ong, Cheng Soon (2020). Mathematics for Machine Learning. Cambridge University Press. str. 181. ISBN 9781108455145.
^ Park, Kun Il (2018). Fundamentals of Probability and Stochastic Processes with Applications to Communications. Springer. ISBN 978-3-319-68074-3.
^ Montgomery, Douglas C.; Runger, George C. (2003). Applied Statistics and Probability for Engineers (PDF). John Wiley & Sons, Inc. str. 104. ISBN 0-471-20454-4. Arhivirano (PDF) iz originala 2012-07-30. g.

Literatura uredi

Blitzstein, Joe; Hwang, Jessica (2014). Introduction to Probability. CRC Press. ISBN 9781466575592.
Fristedt, Bert; Gray, Lawrence (1996). A modern approach to probability theory. Boston: Birkhäuser. ISBN 978-3-7643-3807-7.
Kallenberg, Olav (1986). Random Measures (4th izd.). Berlin: Akademie Verlag. ISBN 978-0-12-394960-8. MR 0854102.
Kallenberg, Olav (2001). Foundations of Modern Probability (2nd izd.). Berlin: Springer Verlag. ISBN 978-0-387-95313-7.
Yates, Daniel S.; Moore, David S; Starnes, Daren S. (2003). The Practice of Statistics (2nd izd.). New York: Freeman. ISBN 978-0-7167-4773-4. Arhivirano iz originala 9. 02. 2005. g.
Papoulis, Athanasios (1965). Probability, Random Variables, and Stochastic Processes (9th izd.). Tokyo: McGraw–Hill. ISBN 978-0-07-119981-0.
Bressloff, Paul C. (2014). Stochastic Processes in Cell Biology. Springer. ISBN 978-3-319-08488-6.
Van Kampen, N. G. (2011). Stochastic Processes in Physics and Chemistry. Elsevier. ISBN 978-0-08-047536-3.
Lande, Russell; Engen, Steinar; Sæther, Bernt-Erik (2003). Stochastic Population Dynamics in Ecology and Conservation. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-852525-7.
Laing, Carlo; Lord, Gabriel J. (2010). Stochastic Methods in Neuroscience. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-923507-0.
Paul, Wolfgang; Baschnagel, Jörg (2013). Stochastic Processes: From Physics to Finance. Springer Science+Business Media. ISBN 978-3-319-00327-6.
Dougherty, Edward R. (1999). Random processes for image and signal processing. SPIE Optical Engineering Press. ISBN 978-0-8194-2513-3.
Bertsekas, Dimitri P. (1996). Stochastic Optimal Control: The Discrete-Time Case. Athena Scientific. ISBN 1-886529-03-5. Arhivirano iz originala 08. 06. 2023. g. Pristupljeno 26. 06. 2023.
Thomas M. Cover; Joy A. Thomas (2012). Elements of Information Theory. John Wiley & Sons. str. 71. ISBN 978-1-118-58577-1.
Baron, Michael (2015). Probability and Statistics for Computer Scientists (2nd izd.). CRC Press. str. 131. ISBN 978-1-4987-6060-7.
Katz, Jonathan; Lindell, Yehuda (2007). Introduction to Modern Cryptography: Principles and Protocols. CRC Press. str. 26. ISBN 978-1-58488-586-3.
Baccelli, François; Blaszczyszyn, Bartlomiej (2009). Stochastic Geometry and Wireless Networks. Now Publishers Inc. ISBN 978-1-60198-264-3.
Steele, J. Michael (2001). Stochastic Calculus and Financial Applications. Springer Science+Business Media. ISBN 978-0-387-95016-7.
Musiela, Marek; Rutkowski, Marek (2006). Martingale Methods in Financial Modelling. Springer Science+Business Media. ISBN 978-3-540-26653-2.
Shreve, Steven E. (2004). Stochastic Calculus for Finance II: Continuous-Time Models. Springer Science+Business Media. ISBN 978-0-387-40101-0.
Iosif Ilyich Gikhman; Anatoly Vladimirovich Skorokhod (1969). Introduction to the Theory of Random Processes. Courier Corporation. ISBN 978-0-486-69387-3.
Murray Rosenblatt (1962). Random Processes . Oxford University Press.
Jarrow, Robert; Protter, Philip (2004). „A short history of stochastic integration and mathematical finance: the early years, 1880–1970”. A Festschrift for Herman Rubin. Institute of Mathematical Statistics Lecture Notes - Monograph Series. str. 75–80. CiteSeerX 10.1.1.114.632  . ISBN 978-0-940600-61-4. ISSN 0749-2170. doi:10.1214/lnms/1196285381.
Stirzaker, David (2000). „Advice to Hedgehogs, or, Constants Can Vary”. The Mathematical Gazette. 84 (500): 197—210. ISSN 0025-5572. JSTOR 3621649. S2CID 125163415. doi:10.2307/3621649.
Donald L. Snyder; Michael I. Miller (2012). Random Point Processes in Time and Space. Springer Science & Business Media. str. 32. ISBN 978-1-4612-3166-0.
Guttorp, Peter; Thorarinsdottir, Thordis L. (2012). „What Happened to Discrete Chaos, the Quenouille Process, and the Sharp Markov Property? Some History of Stochastic Point Processes”. International Statistical Review. 80 (2): 253—268. ISSN 0306-7734. S2CID 80836. doi:10.1111/j.1751-5823.2012.00181.x.

Spoljašnje veze uredi

Hazewinkel Michiel, ur. (2001). „Random variable”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104.
Zukerman, Moshe (2014), Introduction to Queueing Theory and Stochastic Teletraffic Models (PDF)
Zukerman, Moshe (2014), Basic Probability Topics (PDF)

[1] Blitzstein & Hwang 2014

[UCSB-2] Steigerwald, Douglas G. „Economics 245A – Introduction to Measure Theory” (PDF). University of California, Santa Barbara. Pristupljeno 26. 4. 2013.

[doob1953stochasticP46to47-3] Joseph L. Doob (1990). Stochastic processes. Wiley. str. 46, 47.

[Parzen1999-4] Emanuel Parzen (2015). Stochastic Processes. Courier Dover Publications. str. 7, 8. ISBN 978-0-486-79688-8.

[GikhmanSkorokhod1969page1-5] Iosif Ilyich Gikhman; Anatoly Vladimirovich Skorokhod (1969). Introduction to the Theory of Random Processes. Courier Corporation. str. 1. ISBN 978-0-486-69387-3.

[Yates-6] Yates, Daniel S.; Moore, David S; Starnes, Daren S. (2003). The Practice of Statistics (2nd izd.). New York: Freeman. ISBN 978-0-7167-4773-4. Arhivirano iz originala 9. 02. 2005. g.

[7] „Random Variables”. www.stat.yale.edu. Pristupljeno 2020-08-21.

[8] Dekking, Frederik Michel; Kraaikamp, Cornelis; Lopuhaä, Hendrik Paul; Meester, Ludolf Erwin (2005). „A Modern Introduction to Probability and Statistics”. Springer Texts in Statistics (na jeziku: engleski). ISBN 978-1-85233-896-1. ISSN 1431-875X. doi:10.1007/1-84628-168-7.

[9] Castañeda, L.; V. Arunachalam & Dharmaraja, S. (2012). Introduction to Probability and Stochastic Processes with Applications. Wiley. str. 67.

[10] Deisenroth, Marc Peter; Faisal, A. Aldo; Ong, Cheng Soon (2020). Mathematics for Machine Learning. Cambridge University Press. str. 181. ISBN 9781108455145.

[KunIlPark-11] Park, Kun Il (2018). Fundamentals of Probability and Stochastic Processes with Applications to Communications. Springer. ISBN 978-3-319-68074-3.

[12] Montgomery, Douglas C.; Runger, George C. (2003). Applied Statistics and Probability for Engineers (PDF). John Wiley & Sons, Inc. str. 104. ISBN 0-471-20454-4. Arhivirano (PDF) iz originala 2012-07-30. g.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]