Slučajni eksperimenti i slučajni događaji

Uvod

Dugo su, kroz istoriju, fizičke pojave shvatane deterministički i naučni zakoni su iskazivani na način da ostvarivanje određenih uslova dovodi jednoznačno do određenih rezultata. Međutim, ostvarivanje određenih uslova ne mora uvek dovoditi do istih rezultata, što znači da postoje i nedeterminističke - slučajne pojave i slučajni događaji. Teorija verovatnoća je matematička disciplina koja se bavi proučavanjem zakonitosti slučajnih pojava. Teorija verovatnoća se počela razvijati u 16. veku, kada su poznati matematičari tog vremena pokušavali da reše neke probleme u vezi sa igrama na sreću kod kojih se slučajnost se jasno odražavala, pa su zato bile pogodne za izučavanje slučajnih pojava. U 17. veku nastaje razvoj Teorije verovatnoća kao nauke, kad ovom teorijom počinju da se bave i najveći matematičari tog vremena: Paskal, Ferma i Hajgens. Savremeni period razvoja Teorije verovatnoća počinje sa uvođenjem aksiomatizacije u 20. veku, kada je ruski matematičar Kolmogorov, uveo aksiome teorije verovatnoća. Teorija verovatnoća ima široku primenu u svim oblastima savremene nauke: fizici, hemiji, biologiji, medicini, ekonomiji itd. Posebno treba istaći matematičku statistiku koja u celini koristi aparat teorije verovatnoća i čije se metode koriste u mnogim drugim naukama.

Slučajni događaji

Za proučavanje zakonitosti slučajnih pojava u Teoriji verovatnoća formiraju se matematički, preciznije, verovatnosni modeli slučajnih pojava, odnosno, slučajnog eksperimenta u kome se ispituje određena pojava. Pojam ”eksperiment” se obično shvata kao niz radnji - postupaka da bi se došlo do nekih zaključaka. To su i situacije u kojima se ne obavlja nikakav stvarni eksperiment, već samo posmatranje.

Slučajan ili stohastički eksperiment je eksperiment koji ima sledeće osobine:

1. unapred je precizirano šta se registruje u eksperimentu i poznat je skup svih mogućih ishoda eksperimenta;
2. ishod svakog pojedinačnog eksperimenta nije unapred poznat;
3. eksperiment se može ponavljati proizvoljan broj puta u neizmenjenim uslovima.

Tipičan primer eksperimenta su bacanje novčića sa dva ishoda - pismo, grb i bacanje kocke za igru, čije su strane numerisane brojevima od 1 do 6, i u kome se registruje broj koji se pri bacanju pojavio na gornjoj strani kocke.

Kocka za igru

Skup svih mogućih ishoda ili rezultata nekog slučajnog eksperimenta naziva se prostor elementarnih događaja ili prostor ishoda i označava se sa Ω, a njegovi elementi, tj. pojedini elementarni događaji ili ishodi sa ω. Skup Ω može biti konačan i beskonačan (prebrojiv ili neprebrojiv). Kaže se da je prostor ishoda diskretan ako sadrži najviše prebrojivo mnogo elemenata. Prostor ishoda je neprekidan ako sadrži neprebrojivo mnogo elemenata, na primer, skup svih tačaka nekog intervala, skup svih tačaka u ravni.

Slučajan događaj se definiše kao podskup skupa Ω. Slučajni događaji se označavaju velikim slovima A, B, C...

Događaj A se realizuje ili ostvaruje ako se realizuje neki ishod koji pripada podskupu A. Ceo skup Ω je događaj koji se realizuje uvek i naziva se izvestan ili siguran događaj. Prazan skup ∅ je nemoguć događaj jer se nikada ne realizuje.

Primeri

1. Baca se kocka i registruje broj koji se pojavio na gornjoj strani. Skup svih mogućih ishoda je Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Događaj A - pojavio se broj deljiv sa tri, je A = {3, 6}.

2. Novčić se baca četiri puta i registruje se broj pojavljivanja pisama. Ovde je Ω = {0, 1, 2, 3, 4}, a A = {0} događaj - nijednom nije palo pismo.

3. Novčić se baca četiri puta i registruje se niz dobijenih pisama P i grbova G. Ovde su ishodi nizovi dužine četiri sastavljeni od slova P i G, pa je Ω = {PPPP, PPPG,...,GGGG} . Ovaj skup ima 2⁴ = 16 elemenata (broj varijacija četvrte klase od dva elementa). Neka je A = {PPPP, PPPG, PPGP, PGPP, GPPP}, to je događaj koji znači da se kod četiri bacanja novčića pismo pojavilo veći broj puta od grba

4. Artikli se proizvode dok se ne proizvede 10 ispravnih. Registruje se broj proizvedenih artikala. Prostor ishoda Ω = {10, 11, 12,...} je prebrojiv skup.

Događaji - relacije i operacije

Definisanje događaja kao podskupova skupa Ω omogućava da se poznate osnovne relacije i operacije među skupovima tumače u terminima realizacije događaja. Događaj A implicira događaj B ako realizacija događaja A povlači realizaciju događaja B, tj. svaki ishod događaja A je ishod i događaja B. Sa gledišta Teorije skupova to znači da je A podskup od B. Za proizvoljan događaj A ispunjeno je ∅ ⊂ A, A ⊂ Ω. Ako je A ⊂ B i B ⊂ A kažemo da su događaji A i B jednaki ili ekvivalentni i pišemo A = B. Svakom događaju A odgovara suprotan ili komplementaran događaj A^C koji se realizuje ako i samo ako se događaj A ne realizuje, tj. A^C je skup onih ishoda iz Ω koji ne pripadaju događaju A. Siguran i nemoguć događaj su komplementarni događaji , tj. ∅^C = Ω i Ω^C = ∅.

Presek ili proizvod dva događaja A i B je događaj C koji se realizuje ako i samo ako se realizuju i događaj A i događaj B i označava se sa C = A ∩ B = AB.

Ako je A ∩ B = ∅ , tj. ako događaji A i B ne mogu da se realizuju istovremeno, kažemo da su A i B disjunktni događaji ili da se međusobno isključuju.

Unija dva događaja A i B je događaj C = A ∪ B koji se realizuje ako i samo ako se realizuje bar jedan od događaja A i B. Uniju disjunktnih događaja A i B označavamo sa A + B.

Operacije preseka i unije jednostavno se proširuju za proizvoljan broj događaja.

Razlika događaja A i B je događaj koji se realizuje ako se realizuje događaj A, a ne realizuje događaj B. Označava se sa A \ B. Jasno je da važi A \ B = AB^C. Kako relaciji implikacije i operacijama komplementiranja, preseka i unije među događajima odgovaraju relacija inkluzije i operacije komplementiranja, preseka i unije među skupovima, važe i dobro poznate njihove veze, kao na primer, uzajamna distributivnost preseka i unije, de Morganovi obrasci itd.

Za slučajan događaj A je važno odrediti verovatnoću koja izražava stepen mogućnosti njegove realizacije u posmatranom stohastičkom eksperimentu. Verovatnoća događaja je broj P(A) i može se definisati na više načina.

Literatura

1. Mladenović P., Elementaran uvod u verovatnoću i statistiku, Društvo matematičara Srbije, Beograd 1998.

2. Petrović Lj., Teorija verovatnoća, Ekonomski fakultet, Beograd, 2011.

3. Pitman J., Probability, Springer - Verlag, New York, 1997.