Stepeni red

U matematici, stepeni red (jedne promenljive) je red oblika

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\left(x-c\right)^{n}=a_{0}+a_{1}(x-c)+a_{2}(x-c)^{2}+a_{3}(x-c)^{3}+\cdots$

gde a_n predstavlja koeficijent n-tog sabirka, c je konstanta, a x je promenljiva blizu c. Ovi redovi se često javljaju u vidu Tejlorovih redova neke date funkcije; u članku o Tejlorovim redovima se mogu naći primeri.

Jako često se uzima da je c jednako nuli, na primer, kada se razmatraju Maklorenovi redovi. U ovim slučajevima, stepeni red ima jednostavniji oblik

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+\cdots .$

Ovakvi stepeni redovi se javljaju uglavnom u analizi, ali takođe i u kombinatorici (kao generatorne funkcije) i u obradi signala.

Primeri

Svaki polinom se lako može izraziti kao stepeni red kod tačke c, mada mu je većina koeficijenata jednaka nuli. Na primer, polinom $f(x)=x^{2}+2x+3$ se može zapisati kao stepeni red oko $c=0$ oblika

$f(x)=3+2x+1x^{2}+0x^{3}+0x^{4}+\cdots \,$

ili oko centra $c=1$ kao

$f(x)=6+4(x-1)+1(x-1)^{2}+0(x-1)^{3}+0(x-1)^{4}+\cdots \,$

ili oko bilo kog drugog centra c. Stepeni redovi se mogu posmatrati kao polinomi beskonačnog reda, mada oni nisu polinomi.

Formula geometrijskog reda

${\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots ,$

koja važi za $|x|<1$, je jedna od najvažnijih primera stepenog reda, kao i formula eksponencijalne funkcije

$e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots ,$

i sinusna formula

$\sin(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots ,$

koja važi za svako realno x. Ovi stepeni redovi su takođe i primeri Tejlorovih redova. Međutim, postoje stepeni redovi koji nisu Tejlorovi redovi nijedne funkcije, na primer

$\sum _{n=0}^{\infty }n!x^{n}=1+x+2!x^{2}+3!x^{3}+\cdots .$

Negativni stepeni nisu dozvoljeni u stepenim redovima, na primer $1+x^{-1}+x^{-2}+\cdots$ se ne smatra stepenim redom (mada jeste Lorenov red). Slično, razlomljeni stepenovi, kao što je $x^{1/2}$ nisu dozvoljeni (vidi Piseov red). Koeficijenti $a_{n}$ ne smeju da zavise od $x$, stoga na primer:

$\sin(x)x+\sin(2x)x^{2}+\sin(3x)x^{3}+\cdots \,$ nije stepeni red.

Radijus konvergencije

Stepeni red sigurno konvergira za neke vrednosti promenljive x (barem za x = c) a za ostale može da divergira. Uvek postoji broj r, 0 ≤ r ≤ ∞ takav da red konvergira kad god je |x − c| < r i divergira kad god |x − c| > r. Broj r se naziva radijus konvergencije (ili stpen konvergencije) stepenog reda; u opštem slučaju, radijus konvergencije je određen izrazom

$r=\liminf _{n\to \infty }\left|a_{n}\right|^{-{\frac {1}{n}}}$

ili, ekvivalentno,

$r^{-1}=\limsup _{n\to \infty }\left|a_{n}\right|^{\frac {1}{n}}$

(vidi limes superior i limes inferior). Brz način da se izračuna je

$r^{-1}=\lim _{n\to \infty }\left|{a_{n+1} \over a_{n}}\right|$

ako ovaj limes postoji.

Red konvergira apsolutno za x - c| < r i uniformno na svakom neprekidnom podskupu {x : |x − c| < r}.

Za x - c| = r, se ne može u opštem slučaju reći da li red konvergira ili divergira. Međutim, Abelova teorema kaže da je suma reda neprekidna na x ako red konvergira na x.

Operacije sa stepenim redovima

Sabiranje i oduzimanje

Kada se dve funkcije, f i g dekomponuju u stepeni red oko istog centra c, stepeni red zbira ili razlike funkcija se može naći sabiranjem ili oduzimanjem član po član. To jest, ako:

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}$

$g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}$

onda

$f(x)\pm g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(a_{n}\pm b_{n})(x-c)^{n}$

Množenje i deljenje

Uz iste definicije kao i gore, stepeni red proizvoda ili količnika funkcija se može dobiti na sledeći način:

$f(x)g(x)=\left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}\right)$

$=\sum _{i=0}^{\infty }\sum _{j=0}^{\infty }a_{i}b_{j}(x-c)^{i+j}$

$=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}\right)(x-c)^{n}.$

Niz $m_{n}:=\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}$ je poznat kao konvolucija nizova $a_{n}$ i $b_{n}$.

Primetimo, za deljenje:

${f(x) \over g(x)}={\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n} \over \sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}}=\sum _{n=0}^{\infty }d_{n}(x-c)^{n}$

$f(x)=\left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }d_{n}(x-c)^{n}\right)$

a zatim se koriste gornji izrazi, upoređujući koeficijente.

Diferenciranje i integracija

Ako je funkcija data kao stpeeni red, ona je neprekidna gde god konvergira, i diferencijabilna je na unutrašnjosti ovog skupa. Može se diferencirati ili integraliti vrlo jednostavno, član po član:

$f^{\prime }(x)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n\left(x-c\right)^{n-1}$

$\int f(x)\,dx=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}\left(x-c\right)^{n+1}}{n+1}}+C$

Oba ova reda imaju isti radijus konvergencije kao i početni.

Analitičke funkcije

Funkcija f definisana na nekom otvorenom podskupu U od R ili C se naziva analitičkom ako je lokalno zadata stepenim redom. Ovo znači da svako a ∈ U ima otvorenu okolinu V ⊆ U, takvu da postoji stepeni red sa centrom a koji konvergira funkciji f(x) za svako x ∈ V.

Svaki stepeni red sa pozitivnim radijusom konvergencije je analitički na unutrašnjosti svoje oblasti konvergencije. Sve holomorfne funkcije su kompleksno-analitičke. Sume i proizvodi analitičkih funkcija su analitičke, kao i količnici, sve dok imenilac nije nula.

Formalni stepeni redovi

U apstraktnoj algebri, pokušava se da se izvuče suština stepenih redova, bez ograničavanja na polja realnih i kompleksnih brojeva i bez potrebe da se govori o konvergenciji. Ovo dovodi do koncepta formalnog stepenog reda. Ovaj koncept je od velikog značaja u kombinatorici.

Stepeni redovi više promenljivih

Stepeni redovi više promenljivih su definisani na sledeći način

$f(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{j_{1},\dots ,j_{n}=0}^{\infty }a_{j_{1},\dots ,j_{n}}\prod _{k=1}^{n}\left(x_{k}-c_{k}\right)^{j_{k}},$

gde je j = (j₁, ..., j_n) vektor prirodnih brojeva, koeficijenti a_(j1,...,jn) su obično realni ili kompleksni brojevi, a centar c = (c₁, ..., c_n) i argument x = (x₁, ..., x_n) su obično realni ili kompleksni vektori. Jednostavnija notacija je

$f(x)=\sum _{\alpha \in \mathbb {N} ^{n}}a_{\alpha }\left(x-c\right)^{\alpha }.$

Spoljašnje veze

• Formalni stepeni redovi na sajtu MathWorld
• Stepeni redovi na sajtu MathWorld