Teorema Jegorova

U matematici, teorema Jegorova tvrdi da niz merljivih funkcija koji konvergira skoro svuda zapravo konvergira ravnomerno na nekom podskupu mere po želji bliske meri celog prostora.

Ovaj važan iskaz teorije mere nazvan je u čast ruskog matematičara Dmitrija Fjodoroviča Jegorova. Koristi se u dokazu teoreme Luzina (Luzin je bio Jegorovljev učenik).

Iskaz

Neka je (X, Σ, μ) merljiv prostor konačne mere (μ(X) < ∞) i f_n niz merljivih funkcija koji konvergira μ-skoro svuda ka f. Tada za svako ε > 0 možemo naći podskup X_ε ⊂ X takav da je μ(X_ε) < ε i da niz f_n konvergira ravnomerno ka f na X \ X_ε.

Drugim rečima, konvergencija skoro svuda povlači bitno jaču ravnomernu konvergenciju van skupa prozvoljno male mere. Ova vrsta konvergencije naziva se skoro ravnomerna konvergencija.

Dokaz

Označimo $X_{i,j}=\{x\in X:|f_{j}(x)-f(x)|<1/i$. Kako $f_{n}\to f$ skoro svuda, to postoji skup X₀ mere nula takav da je za svako i

$X\setminus X_{0}\subset \bigcup _{m\in {\mathbb {N} }}\bigcap _{n>m}X_{i,n}$,

odnosno, primenom de Morganovih pravila,

$\bigcap _{m\in {\mathbb {N} }}\bigcup _{n>m}(X\setminus X_{i,n})\subset X_{0}$.

Skupovi $X_{m}^{(i)}:=\cup _{n>m}(X\setminus X_{i,n})$ čine opadajući niz ($\cdots \supset X_{m}^{(i)}\supset X_{m+1}^{(i)}\supset \cdots$) skupova konačne mere čiji je presek prema prethodnoj jednačini mere nula, te je prema neprekidnosti mere odozgo $\lim _{m\to \infty }\mu (X_{m}^{(i)})=0$. Posebno, možemo izabrati m_i tako da je

$\mu (X_{m_{i}}^{(i)})<\epsilon /2^{i}$.

Neka je

$X_{\epsilon }=\bigcup _{i\in {\mathbb {N} }}X_{m_{i}}^{(i)}$.

Prema konstrukciji i prebrojivoj subaditivnosti mere je $\mu (X_{\epsilon })\leq \sum _{i=1}^{\infty }\mu (X_{m_{i}}^{(i)})\leq \sum _{i=1}^{\infty }\epsilon /2^{i}=\epsilon$.

f_n konvergira ka f ravnomerno na X_ε. I zaista, za dato δ > 0 možemo naći i₀ tako da je 1 / i₀ < δ; tada za svako

$x\in X\setminus X_{\epsilon }=\bigcap _{i\in {\mathbb {N} }}\bigcap _{n>m_{i}}X_{i,n}$

vredi $|f_{n}(x)-f(x)|<1/i_{0}<\delta$ za sve n > m_i, dakle $|f_{n}-f|<\delta$ na $X\setminus X_{\epsilon }$, kako je i trebalo dokazati.

Uslov da je prostor konačne mere je neophodan. Na primer, na skupu realnih brojeva sa Lebegovom merom (na bilo algebri Borel- ili Lebeg-merljivih skupova), ako je f_n karakteristična funkcija intervala [n, n+1], niz f_n konvergira svuda (tačka-po-tačka) ka nuli, ali ne postoji nijedan skup konačne mere van kojeg je ova konvergencija ravnomerna.