Unakrsno množenje

Unakrsno množenje je matematička operacija, posebno primjenjiva u osnovnoj aritmetici i elementarnoj algebri, za jednačine između dva razlomka ili racionlanih izraza, korištena u cilju da bi se pojednostavila jednačina ili odredila vrednost promenljive.

Primeri

Data je jednačina:

${\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$

(gde b i d nisu nula), unakrsno množenje daje:

$ad=bc\qquad \mathrm {or} \qquad a={\frac {bc}{d}}.$

U Euklidovoj geometriji isti rezultat se može postići korišćenjem odnosa slično kao kod trougla.

Postupak

U praksi, metod unakrsnog množenja znači da pomnožimo brojilac svake (ili jedne) strane sa stranom imenioca druge strane, ukrštanjem:

${\frac {a}{b}}\nwarrow {\frac {c}{d}}\quad {\frac {a}{b}}\nearrow {\frac {c}{d}}.$

Matematičko opravdanje za metodu je iz sledećeg matematičkog postupka. Ako počnnemo sa osnovnom jednačinom:

${\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$

možemo pomnožiti uslove na svakoj strani sa istim brojem, i uslovi će ostati isti. Dakle, ako pomnožimo razlomak na vakoj strani sa - bd - dobijamo:

${\frac {a}{b}}\times bd={\frac {c}{d}}\times bd.$

Možemo skratiti razlomak, jer se dve pojave $b$ na lvoj strani mogu skratiti, kao i dva ponavljanja d na desnoj strani, ostaje:

$ad=bc$

i možemo da podelimo obe strane jednačine sa bilo kojim elementom - u ovom slučaju ćemo uzeti d - dobijamo:

$a={\frac {bc}{d}}.$

Drugo opravdanje unakrsnog množenja je sledeće. Uzmimo datu jednačinu:

${\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$

pomnožimo sa d/d = 1 na levoj i sa b/b = 1 na desnoj, dobijamo:

${\frac {a}{b}}\times {\frac {d}{d}}={\frac {c}{d}}\times {\frac {b}{b}}$

i tako:

${\frac {ad}{bd}}={\frac {cb}{db}}.$

Uklanjanjem zajedničkih imenilaca bd = db, ostaje nam:

$ad=cb.$

Svaki korak u ovim postupcima zasnovan je na jedinstvenom, osnovnom svojstvu jednačina. Unakrsno množenje je prečica, lako razumljiva procedura koju uče učenici.

Upotreba

To je uobičajena procedura u matematici, korišćena da skrati razlomke ili izračuna vrednost promenljive u razlomku. Ako imamo jednačinu, gde je x promenljiva

${\frac {x}{b}}={\frac {c}{d}}$

možemo da koristimo unakrsno množenje za određivanje:

$x={\frac {bc}{d}}.$

Na primer, recimo da želimo da znamo koliko će automobil preći za 7 sati, ako znamo da je njegova brzina konstantna i da je već putovao 90 kilometar u poslednja 3 sata. Pretvaranjem problema u proporciju dobijamo:

${\frac {x}{7\ \mathrm {h} }}={\frac {90\ \mathrm {km} }{3\ \mathrm {h} }}.$

Unakrsnim množenjem dobijamo:

$x={\frac {7\ \mathrm {h} \times 90\ \mathrm {km} }{3\ \mathrm {h} }}$

i tako:

$x=210\ \mathrm {km} .$

I jednostavnije jednačine, kao što su:

$a={\frac {x}{d}}$

se rešavaju korišćenjem unakrsnog množenja, nedostaje b član koji je implicitno jednak 1:

${\frac {a}{1}}={\frac {x}{d}}.$

Bilo koja jednačina koja sadrži razlomke ili racionalne izraze može se pojednostaviti množenjem obe strane sa najmanjim zajedničkim sadržaocem. Ovaj korak se zove čišćenje razlomaka.

Pravilo Trojke

Pravilo Trojke je skraćena verzija za određeni oblik unakrsnog množenja, koji učenici uče napamet. U Francuskom nastavnom planu u programu za srednje obrazovanje.

Za jednačine oblika:

${\frac {a}{b}}={\frac {c}{x}}$

gde je promenljiva koja se izračunava desni imenilac, stanje Pravila Trojke je:

$x={\frac {bc}{a}}.$

U tom kontekstu, a se naziva krajnja proporcija, a b i c se nazvaju sredstva.

Ovo pravilo je već poznato Jevrejima od 15. veka p. n. e. kao i poseban slučaj Kal va-chomer (קל וחומר). Takođe je poznato po Indijskom (Vedic) matematičaru u 6. veku p. n. e. i Kineski matematičar pre u 7. veku n.e., iako se u Evropi koristi mnogo kasnije. Pravilo Trojke je steklo popularnost zato što ga je teško objasniti: pogledati Cocker's Arithmetick.

Na primer, Cocker's Arithmetick uvodi svoju diskusiju o Pravilu Trojke sa problemom "Ako je 4 jardi tkanine koštalo 12 šilika, koliko će koštati 6 jardi u toj stopi?" Pravilo Trojke daje odgovore na ovo pitanje direktno; dok u modernoj matematici, mi bismo ga rešili uvođenjem promenljive x za 6 metara platna, zapisuje se jednačina:

${\frac {4\ \mathrm {yards} }{12\ \mathrm {shillings} }}={\frac {6\ \mathrm {yards} }{x}}$

a zatim pomoću unakrsnog množenja izračunavamo x:

$x={\frac {12\ \mathrm {shillings} \times 6\ \mathrm {yards} }{4\ \mathrm {yards} }}=18\ \mathrm {shillings} .$

Literatura

• Cocker, Edward (1702). Cocker's Arithmetick. London: John Hawkins. str. 103. 
• Kangshen, Shen; Crossley, John N.; Anthony W.-C. Lun (1999). The Nine Chapters on the Mathematical Art: Companion and Commentary. Oxford: Oxford University Press.