Funkcionalna jednačina

U matematici, funkcionalna jednačina je bilo koja jednačina koja određuje funkciju u implicitnom obliku. Često se jednačina odnosi na vrednost funkcije (ili funkcija) u nekom trenutku sa svojim vrednostima u drugim tačkama. Na primer, svojstva funkcija mogu se utvrditi razmatranjem vrste funkcionalnih zahteva koje oni zadovoljavaju. Termin funkcionalna jednačina obično se odnosi na jednačinu koja se ne može jednostavno svesti na algebarske jednačine.

Primeri

• Funkcionalna jednačina

$f(s)=2^{s}\pi ^{s-1}\sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\Gamma (1-s)f(1-s)$

je zadovoljena Rimanovom zeta funkcijom i označava je Gama-funkcija.

• Gama funkcija je jedinstveno rešenje za sledeći sistem od tri jednačine:

$f(x)={f(x+1) \over x}\,\!$

$f(y)f\left(y+{\frac {1}{2}}\right)={\frac {\sqrt {\pi }}{2^{2y-1}}}f(2y)$

$f(z)f(1-z)={\pi \over \sin(\pi z)}\,\!\,\,\,$       (Ojlerova formula refleksije)

• Funkcionalna jednačina

$f\left({az+b \over cz+d}\right)=(cz+d)^{k}f(z)\,\!$

gde su a, b, c, d celi brojevi koji zadovoljavaju ad − bc = 1, i.e. ${\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}$ = 1.

• Ostali primeri, uključuju standardne ili imenovane funkcije:

$f(x+y)=f(x)+f(y)\,\!$ (Koši funkcionalna jednačina)

Eksponencijalno,

$f(x+y)=f(x)f(y),\,\!$ zadovoljava Eksponencijalna funkcija

$f(xy)=f(x)+f(y)\,\!$, zadovoljava Logaritamske funkcije

$f(xy)=f(x)f(y)\,\!$, zadovoljava sve uslove

$f(x+y)+f(x-y)=2[f(x)+f(y)]\,\!$ (kvadratna jednačina za paralelogram)

$f((x+y)/2)=(f(x)+f(y))/2\,\!$ (Jensen)

$g(x+y)+g(x-y)=2[g(x)g(y)]\,\!$ (d'Alembert)

$f(h(x))=h(x+1)\,\!$ (Abelova jednačina)

$f(h(x))=cf(x)\,\!$ (Šrederova jednačina).

$f(h(x))=(f(x))^{c}\,\!$ (Bučerova jednačina).

f(h(x)) = h' (x) f (x)

$\omega (\omega (x,u),v)=\omega (x,u+v)$ (Objašnjenje jednačina)

$f(x+y)=f(x)g(y)+f(y)g(x)\,\!$ (Trigonometrijski dodatak-sinusi).

$g(x+y)=g(x)g(y)-f(y)f(x)\,\!$ (Trigonometrijski dodatak-kosinusi).

$f(xy)=\sum g_{l}(x)h_{l}(y)\,\!$ (Levi-Čivita).

• Jednostavan oblik funkcionalne jednačine je diferencna jednačina. Ovo , formalno gledano, uključuje neodređene funkcije celih brojeva i takođe pomeranje operatera s. Jedan takav primer je:

$a(n)=3a(n-1)+4a(n-2)\,\!$

U komutativnim i asocijativnim zakonima su funkcionalne jednačine. Kada je asocijativan zakon izražen u svom poznatom obliku, jedan simbol između dve varijable predstavlja binarnu operaciju,

$(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)~.$

Ali ako ƒ(a, b) napisano umesto a ○ b onda asocijativan zakon izgleda više kao funkcionalna jednačina,

$f(f(a,b),c)=f(a,f(b,c)).\,\!$

Jedna od karakteristika da su svi primeri gorenavedeni je da su, u svakom slučaju, dve ili više poznatih funkcija (ponekad množenje sa konstantom, ponekad poređenje dve varijable, ponekad funkcije identiteta) su unutar argumenta od nepoznatih funkcija koje treba rešiti.

Nekada može biti slučaj da treba primeniti uslove iz matematičke analize; Na primer, u slučaju Koši jednačine je već pomenuto, da su rešenja koja su kontinuirane funkcije "razumna", dok su druga rešenja koja su verovatna neće imati praktičnu primenu i mogu biti konstruisana (korišćenjem Hamelove osnove za realne brojeve kao vektor prostora nad racionalnim brojevima). Bor-Molerupova teorema je još jedan dobro poznati primer.

Rešavanje funkcionalnih jednačina

Rešavanje funkcionalnih jednačina može biti veoma teško, ali postoje neke zajedničke metode njihovog rešavanja. Na primer, u dinamičkom programiranju niz uzastopnih metoda aproksimacije se koriste za rešavanje Belmanove jednačine , uključujući i metode zasnovane na fiksnoj tački iteracija.

Glavni metod rešavanja elementarnih funkcionalnih jednačina je zamena. Često je korisno da se dokaže ujednačenost, ako je moguće. Takođe je korisno da pogodite moguća rešenja. Indukcija je korisna tehnika kada je funkcija definisana samo sa racionalnim ili celim vrednostima.

Diskusija o involuciji funkcija je aktuelna. Na primer, razmotrimo funkciju

$f(x)=1-x\,.$

Pisanje o f Bebidžovoj funkcionalnoj jednačini (1820),

$f(f(x))=1-(1-x)=x\,.$

Nekoliko drugih funkcija takođe zadovoljava ovu funkcionalnu jednačinu,

$f(f(x))=x~,$

uključujući, izvanf(x) = −x,

$f(x)={\frac {a}{x}}\,,$

i

$f(x)={\frac {b-x}{1+cx}}~,$

koji uključuje prethodne tri i posebne slučajeve granica.

Primer 1. Naći sve funkcije f koje zadovoljavaju

$f(x+y)^{2}=f(x)^{2}+f(y)^{2}\,$

za sve x,y ∈ ℝ, pod pretpostavkom da je ƒ je funkcija stvarne vrednosti.

1. 1. 3## = y = 0,

$f(0)^{2}=f(0)^{2}+f(0)^{2}.\,$

Prema tome ƒ(0)² = 0 and ƒ(0) = 0.

Neka sada y = −x,

$f(x-x)^{2}=f(x)^{2}+f(-x)^{2}\,$

$f(0)^{2}=f(x)^{2}+f(-x)^{2}\,$

$0=f(x)^{2}+f(-x)^{2}~.$

Kvadrat prvog broja je nenegativan, a zbir nenegativnih brojeva je nula akko su oba broja 0.

Prema tome ƒ(x)² = 0 za sve x i ƒ(x) = 0 je jedno rešenje.

Vidi još

• Dinamičko programiranje