Helmholcova teorema
Helmholcova teorema ili Helmholcova dekompozicija predstavlja jednu od teorema vektorskoga računa. Prema toj teoremi ako su divergencija i rotor za trodimenzionalno vektorsko polje određeni u svakoj tački konačne oblasti, tada unutar nje vektorsko polje može da se rastavi na dve komponente, jednu irotacionu (čiji rotor je jednak nuli) i drugu solenoidnu. Helmolcova teorema je dobila ime po Hermanu fon Helmholcu.
Teorem
urediAko su divergencija i rotor za trodimenzionalno vektorsko polje određeni u svakoj tački konačne oblasti, tada se unutar te oblasti to vektorsko polje može da se rastavi na dve komponente, jednu irotacionu (čiji rotor je jednak nuli) i drugu solenoidnu, tj:
gde je:
- i
To zapravo znači da se takvo vektorsko polje može generirati sa dva potencijala, jednim skalarnim i drugim vektorskim .
Potencijali
urediPošto je:
Onda se te dve funkcije dadu izraziti preko skalarnoga potencijala i vektorskoga potencijala tj:
odnosno:
Pri tome je:
Ako opada dovoljno brzo u beskonačnosti, tada druga komponenta teži nuli, pa vredi:
Longitudinalna i transverzalna polja
urediČesto se u fizici te dve komponente vektorskoga polja pominju kao longitudinalna i transverzalna komponenta. Takva terminologija nastala je kada se Furijeovom transformacijom od polja dobije polje , koje se onda u svakoj tački k dekomponira u dve komponente, od kojih je longitudinalan u smeru k, a transverzalna vertikalna na k. Tada imamo:
Inverznom Furijerovom transformacijom dobijamo:
što predstavlja Helmholcovu dekompoziciju.
Literatura
uredi- Helmholcova teorema
- George B. Arfken and Hans J. Weber, Mathematical Methods for Physicists, 4th edition, Academic Press: San Diego (1995)