Šurove leme

Šurove leme u teoriji grupa su naziv za dve teoreme vezane za skupove ireducibilnih operatora koji su osnove teorije ireducibilnih reprezentacija kako grupa, tako i reprezentacija drugih objekata u apstraktnoj algebri. Teoreme su dobile naziv po Fridrihu Šuru koji ih je formulisao i dokazao 1905. godine.

Prva Šurova lema

Teorema: Ako neka matrica M iz Cⁿⁿ komutira sa svim matricama neke ireducibilne reprezentacije D^(μ)(G) u prostoru Cⁿ, ona je skalarna matrica, tj. М = a I, gde je a skalar, a I jedinična matrica.

Dokaz: Matrica M ima bar jedan svojstveni vektor i odgovarajuću svojstvenu vrednost, a odgovajući svojstveni prostor je najmanje jednodimenzionalan. Iz stava da ako neki operator komutira sa drugim, onda su njegovi svojstveni potprostori invarijantni pod delovanjem onog drugog operatora, sledi da je svojstveni potprostor matrice M invarijantan na delovanje svih operatora date reprezentacije D^(μ)(G). Na kraju, kako je ta reprezentacija ireducibilna, to potprostor matrice M mora biti trivijalni potprostor, što je analogno sa tvrđenjem da je M skalarna matrica.

Druga Šurova lema

Teorema: Ako za dve neekvivalentne ireducibilne reprezentacije konačne grupe G: D^(μ)(G) i M D^(ν)(G) važi: D^(μ)(g) = D^(ν)(g) M, gde su ireducibilne reprezentacije predstavljene u matričnoj formi, onda da bi tvrđenje važilo za svako g iz G, matrica M mora biti nulta matrica tipa |μ| × |ν|.

Vidi još

• Ireducibilna reprezentacija