1 + 2 + 3 + 4 + ⋯

Beskonačan niz čiji su uslovi prirodni brojevi 1 + 2 + 3 + 4 + · · · je divergentan niz. N-ti delimični zbir niza je trougaoni broj.

Animirani dokaz za formulu koja daje zbir prvih celih brojeva 1+2+...+n.

Prve četiri parcijalne sume niza 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯. Parabola je njihova poravnata asimptota; njegov u-presek je−1/12.

$\sum _{k=1}^{n}k={\frac {n(n+1)}{2}}$,

što raste bez granica kako N ide u beskonačnost. Pošto se niz parcijalnih suma ne spaja u ograničenom roku, red nema sumu.

Iako na prvi pogled izgleda da niz nema bilo kakve smislene vrednost uopšte, može se manipulisati da bi se dobio niz matematički zanimljivih rezultata, od kojih neka imaju primenu u drugim oblastima, kao što su kompleksna analiza, kvantna teorija polja, kao i teorija struna. Mnoge metode suma se koriste u matematici za dodelu numeričke vrednosti čak i divergentnim redovima. Konkretno, metode zeta funkcije regulisanja i Ramanudžanovo sabiranje dodeljuju vrednost nizu -1/12, što je izraženo čuvenom formulom:

$1+2+3+4+\cdots =-{\frac {1}{12}}.$

U monografiji o teoriji mesečine, Teri Genon zove ovu jednačinu "jedna od najznačajnijih formula u nauci".

Parcijalne sume

Prva tri trougaona broja

Parcijalni brojevi niza 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ⋯ su 1, 3, 6, 10, 15, itd. N-ti parcijalni broj je dat formulom:

$\sum _{k=1}^{n}k={\frac {n(n+1)}{2}}.$

Ova jednačina je bila poznata Pitagorejcima u šestom veku pre nove ere. Brojevi ovog oblika koji se nazivaju trougaoni brojevi, jer može da se organizuje kao jednakostranični trougao.

Beskonačni niz trougaonih brojeva divergira do +∞, tako da definicijom, beskonačni niz 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ divergira i do +∞. Divergencija je jednostavna posledica oblika niza: uslovi ne približiti nuli, tako da red divergira terminom testa.

Sumiranje

Među klasičnim divergentnim redovima, 1 + 2 + 3 + 4 + · · · je relativno teško manipulisati u konačnoj vrednosti. Mnoge metode sumiranja se koriste za dodelu numeričkih vrednosti divergentnim redovima, neki su moćniji od drugih. Na primer, Cesaro sumiranje je poznata metoda koja sumira Grandijeve redove, blago divergentne redove 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯, do 1/2. Abel sumiranje je mnogo moćan metod koji, ne samo da sumira Grandijeve redove do 1/2, nego i sabira komplikovanije redove 1 − 2 + 3 − 4 + · · · do 1/4.

Za razliku od gornjih redova, 1 + 2 + 3 + 4 + · · · nije Cesaro sumiranje, niti Abel sumiranje. Ove metode rade na osciliranju divergentnih redova, ali oni ne mogu da proizvedu konačan odgovor za red koji je divergentan u +∞. Većina od više elementarnih definicija sumiranja divergentnih redova su stabilne i linearne, i bilo koji od metoda i stabilna i linearna ne može da sumira 1 + 2 + 3 +... do konačne vrednosti; vidi dole. Potrebne su više napredne metode, kao štoje zeta funkcija regulisanja ili Ramanudžanovo sabiranje. Takođe je moguće utvrditi za vrednost −1/12 koristeći neke grube heuristike u vezi sa ovim metodama.

Heuristika

Prolaz od Ramanudžanove prve sveske opisujući "konstantne" redove

Srinivasa Ramanudžan je predstavio dva nova izvođenja "1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ = −1/12" u poglavlju 8 svoje prve sveske. Jednostavnije, manje rigorozno izvođenje odvija se u dva koraka, kao što sledi.

Prvi ključni uvid je da je niz pozitivnih brojeva 1 + 2 + 3 + 4 + · · · liči na naizmenični niz 1 − 2 + 3 − 4 + · · ·. Ovi poslednji nizovi su takođe divergentni, ali je mnogo lakše raditi sa njima; postoji nekoliko klasičnih metoda da se dodeli vrednost, koji su ispitivani od 18. veka.

Da bi se transformisao niz 1 + 2 + 3 + 4 + · · · u 1 − 2 + 3 − 4 + · · ·, jedan može oduzeti 4 od drugog izraza, 8 od četvrtog izraza, 12 od šesti izraza, i tako dalje. Ukupan iznos koji se oduzima je 4 + 8 + 12 + 16 + · · ·, koji je 4 puta originalnog niza. Ovi odnosi mogu biti izraženi uz malo algebre. Kakva god da "suma" niza može biti, nazovimo to c = 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯. Zatim pomnožimo ove jednačine sa 4 i oduzmemo drugu jednačinu od prve:

${\begin{alignedat}{7}c&{}={}&1+2&&{}+3+4&&{}+5+6+\cdots \\4c&{}={}&4&&{}+8&&{}+12+\cdots \\*3c&{}={}&1-2&&{}+3-4&&{}+5-6+\cdots \\\end{alignedat}}$

Drugi ključni uvid je da je naizmenični red 1 − 2 + 3 − 4 + · · · formalna snaga ekspanzije redova funkcije 1/(1 + x)² ali je sa x definisan kao 1. Shodno tome, Ramanudžan piše:

$-3c=1-2+3-4+\cdots ={\frac {1}{(1+1)^{2}}}={\frac {1}{4}}$

Deljenjem obe strane sa −3, jedna dobija c = −1/12.

Uopšteno govoreći, opasno je manipulisati beskonačnim nizom kao da je konačan zbir, a to je posebno opasno za divergentne redove. Ako su nule ubačene u arbitrarne pozicije divergentnih redova, moguće je doći do rezultata koji nisu samousaglašeni, a kamoli u skladu sa drugim metodama. Konkretno, korak 4c = 0 + 4 + 0 + 8 + · · · nije opravdan zakonom aditivnog identiteta. Za ekstreman primer, dodavanje jedne nule do prednjeg dela niza može dovesti do nekonzistentnog rezultata.

Jedan od načina da se popravi ovu situacija, i da se ograniče mesta na kojima se mogu stavljati nule, je da se prati svaki izraz u nizu povezivanjem sa zavisnošću od neke funkcije. U nizu 1 + 2 + 3 + 4 + · · ·, svaki izraz n je samo broj. Ukoliko je izraz n unapređen na funkciju n^−s, gde je ѕ kompleksna varijabla, onda jedan može osigurati da su samo kao uslovi dodati. Dobijenim nizom može da se manipuliše na više rigorozan način, a varijabla ѕ može da se podesi na -1 kasnije. Implementacija ove strategije se naziva Zeta funkcija regulisanja.

Zeta funkcija regulisanja

Parcela ζ(s). Za s > 1, niz konvergira i ζ(s) > 1. Analitički nastavak oko stuba za s = 1 dovodi do regiona negativne vrednosti, uključujući ζ(−1) = −1/12

U zeta funkciji regulisanja, niz je zamenjen nizom $\sum _{n=1}^{\infty }n^{-s}$. Ovaj poslednji niz je primer Dirikletovog niza. Kada je realni deo ѕ je veći od 1, Dirikletov niz konvergira, a njegov iznos je Rimanova zeta funkcija ζ(s). S druge strane, Dirikletov niz divergira kada je realni deo ѕ manji ili jednak 1, pa, posebno, niz 1 + 2 + 3 + 4 + · · · koji rezultuje iz s = –1 ne konvergira. Korist od uvođenja Rimanove zeta funkcije je što se mogu definisati i druge vrednosti ѕ analitičkim nastavkom. Tada se može definisati da zeta-regulisan zbir 1 + 2 + 3 + 4 + · · · bude ζ(−1).

Od ove tačke, postoji nekoliko načina da dokažemo da je ζ(−1) = −1/12. Jedna od metoda, na liniji Ojlerovog rezonovanja, koristi odnos između Rimanove zeta funkcije i Dirikletove eta funkcije η(s). Zeta funkcija je definisana nizovima za naizmenični Dirikletov niz, tako da je ovaj metod paralelan ranijim heuristicima. Gde oba Dirikletova niza konvergiraju, jedan ima identitet:

${\begin{alignedat}{7}\zeta (s)&{}={}&1^{-s}+2^{-s}&&{}+3^{-s}+4^{-s}&&{}+5^{-s}+6^{-s}+\cdots &\\2\cdot 2^{-s}\zeta (s)&{}={}&2\cdot 2^{-s}&&{}+2\cdot 4^{-s}&&{}+2\cdot 6^{-s}+\cdots &\\\left(1-2^{1-s}\right)\zeta (s)&{}={}&1^{-s}-2^{-s}&&{}+3^{-s}-4^{-s}&&{}+5^{-s}-6^{-s}+\cdots &=\eta (s)\\\end{alignedat}}$

Identitet $(1-2^{1-s})\zeta (s)=\eta (s)$ zadržava kada su obe funkcije produžene analitičkim nastavkom da uključe vrednosti ѕ za koje oba niza divergiraju. Zamenom s = −1, jedan je −3ζ(−1)=η(−1). Sada, računajući da je  η(−1) lakši zadatak, kako je eta funkcija jednaka Abelovom zbiru njegovih definisanja nizova, koja je jednostrana granica:

$-3\zeta (-1)=\eta (-1)=\lim _{x\to 1^{-}}\left(1-2x+3x^{2}-4x^{3}+\cdots \right)=\lim _{x\to 1^{-}}{\frac {1}{(1+x)^{2}}}={\frac {1}{4}}$

Deljenjem obe strane sa −3, dobijamo da je ζ(−1) = −1/12.

Kutof regularizacija

Red 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯

Posle izravnanja

Asimptotsko ponašanje izavnanja. U-presretanje parabole je −1/12.

Način regulisanja pomoću kutof funkcije mogu "izravnati" niz da stigne na -1/12. Izravnanje je konceptualni most između zeta funkcije regulisanja, sa oslanjanjem na kompleksne analize, i Ramanujanove sumacije, sa njegovom prečicom do Ojler-Maklorenove formule. Umesto toga, postupak radi direktno na konzervativnim transformacijama nizova, korišćenjem metoda realne analize.

Ideja je da se zameni loše ponašanje diskretnog niza$\sum _{n=0}^{N}n$ poravnatim nizom $\sum _{n=0}^{\infty }nf(n/N)$, gde je f  granična funkcija sa odgovarajućim svojstvima. Granična funkcija mora biti normalizovana do f(0) = 1; ovo je drugačija normalizacija od one koja se koristi u diferencijalnim jednačinama. Granična funkcija treba da ima dovoljno ograničenja da poravna od bore u nizu a trebalo bi da padne na 0 brže nego što niz raste. Radi lakšeg snalaženja, može zahtevati da je f glatka, ograničena, i kompaktno podržana. Tada se može dokazati da je ova poravnata suma asimptotska do −1/12 + CN², gde je C konstanta koja zavisi od f. Konstantni izrazi asimptotskog širenja ne zavise od f: neophodno je da ista vrednost daje analitički nastavak, −1/12.

Ramanudžanovo sabiranje

Ramanudžanovo sabiranje 1 + 2 + 3 + 4 + · · · je takođe −1/12. Ramanudžan je napisao u svom drugom pismu G. H. Hardi,  27. februar 1913.:

"Dragi gospodine, ja sam veoma zadovoljan na proučavanju Vašeg pisma iz 8. februara 1913. Očekivao sam Vaš odgovor sličan onom koji je profesor matematike u Londonu napisao pitajući me da pažljivo proučim Bromvičev beskonačan niz, i da ne padnem u zamke divergentnih redova. ... Rekao sam mu da je zbir beskonačnog broja izraza niza: 1 + 2 + 3 + 4 + · · · = −1/12 po mojoj teoriji. Ako Vam kažem ovo Vi ćete odmah istaći ludnicu kao moj cilj. Ja sam odgovorio na ovo jednostavno da Vas ubedim da nećete moći da pratite moje metode dokazivanja ako ja ukažem linije na kojima sam nastavio u jednom pismu. …"

Ramanudžanova suma je metod da se izoluje stalni termin u Ojler-Maklorenovoj formuli za parcijalne sume niza. Za neku funkciju f, klasičan Ramanudžanov zbir niza je $\sum _{k=1}^{\infty }f(k)$  definisan kao

$c=-{\frac {1}{2}}f(0)-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}f^{(2k-1)}(0),$

gde f^(2k−1) je (2k−1)-ti izvod f i B_2k je 2k-ti Bernulijevi broj: B₂ = 1/6, B₄ = −1/30, i tako dalje. Stavljanje f(x) = x, prvi izvod f je 1, i svaki drugi izraz nestaje, tako da je:

$c=-{\frac {1}{6}}\cdot {\frac {1}{2!}}=-{\frac {1}{12}}.$

Da bi se izbegle nedoslednosti, moderna teorija Ramanudžanovog zbira zahteva da je f  "redovno" u smislu da izvodi višeg reda f propadaju dovoljno brzo za ostale izrare u Ojler-Maklaurinovoj formuli da imaju tendenciju 0. Ramanudžan prećutno pretpostavlja nekretninu. Zahtev regularnosti sprečava korišćenje Ramandžanovog sumiranja po razmaknutim nizovima kao što su 0 + 2 + 0 + 4 + · · ·, jer nijedna redovna funkcija ne uzima te vrednosti. Umesto toga, takav niz se mora tumačiti zeta funkcijom regulisanja. Iz tog razloga, Hardi preporučuje "veliki oprez" prilikom primene Ramanudžanovog sumiranja poznatog niza da se pronađu iznosi povezanog reda.

Neuspeh stabilnih linearnih metoda sumiranja

Metod sumiranja koji je linearan i stabilan ne može sumirati niz 1 + 2 + 3 + ... do konačne vrednosti. (Stabilno znači da dodavanje termina početku niza povećava iznos za isti iznos.) Ovo se može posmatrati na sledeći način. Ako je

1 + 2 + 3 + ... = x

zatim dodavanje 0 obema stranama daje

0 + 1 + 2 + ... = 0 + x = x stabilnošću.

Linearnošću, može se oduzeti druga jednačina od prve da se dobije

1 + 1 + 1 + ... = x – x = 0.

Dodavanje 0 na obema stranama opet daje

0 + 1 + 1 + 1 + ... = 0,

i oduzimanjem poslednja dva niza daje

1 + 0 + 0 + ... = 0 kontradiktorne stabilnost.

Metoda korišćene iznad da sumiraju 1 + 2 + 3 + ... ili nisu stabilne ili nisu linearne. Na primer, postoje dve različite metode zvane zeta funkcija regulisanja. Prva, koji definiše zbir a + b + c + ... skupa brojeva da bude vrednost analitičkog nastavka 1/a^s + 1/b^s + 1/c^s + ... za s = –1 (ako postoji), je stabilna, ali ne linearna. Druga, koja definiše zbir a + b + c + ... od niza brojeva da bude vrednost analitičkog nastavka a/1^s + b/2^s + c/3^s + ... za s = 0 (ako postoji), je linearna, ali ne stabilna. (Obe metode dodeljuju nizu 1 + 2 + 3 + ... vrednost ζ(–1) = –1/12.)

Fizika

U bozonskoj teoriji struna, je pokušaj da se izračunaju mogući energetski nivoi niza, posebno najniži nivo energije. Govoreći nezvanično, svaka harmonija niza može se posmatrati kao kolekcija $D-2$ nezavisni kvantni harmonijski oscilatori, jedan za svaki transverzalni talas, gde je $D$ je dimenzija prostornog vremena. Ako je osnovna frekvencija oscilacije $\omega$onda je energija u oscilatoru koja doprinosi n-toj harmoniji  $n\hbar \omega /2$. Dakle, koristeći divergentne redove, suma preko svih harmonija je $-\hbar \omega (D-2)/24$. Na kraju je ta činjenica, u kombinaciji sa Godard-Tornovom teoremom, što dovodi do toga da bosonik teorija struna nije uspela da bude dosledna u dimenzijama, osim 26.

Regularizacija 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ je takođe uključena u izračunavanje Kazimirove snage za skalarno polje u jednoj dimenziji. Da eksponencijalna granična funkcija dovoljno ublažava niz, predstavlja činjenica da proizvoljno visoko-energetski režim nije blokiran od strane sprovodnih ploča. Prostorna simetrija problema je odgovorna za otkazivanje kvadratnog izraza ekspanzije. Sve što je ostalo je konstantan izraz -1/12, a negativan znak ovog rezultata odražava činjenicu da je Kazimirova snaga atraktivna.

Sličan obračun je uključen u tri dimenzije, koristeći Epsteinovu zeta-funkciju na mestu Rimanove zeta funkcija.

Istorija

Nejasno je da li Leonard Ojler sumirao nizove do -1/12. Prema Morisu Klajnu, Ojlerov rani rad na divergentnim redovima oslanjao se na funkciji proširenja, od kojih je zaključio 1 + 2 + 3 + 4 + · · · = ∞. Prema Rejmondu Ajoubu, činjenica da je divergentni zeta niz nije Abel sumirajući sprečio je Ojlera da koristi zeta funkciju slobodno kao eta funkciju, a on "nije mogao priložiti značenje" niza. Drugi autori su spojili Ojlera sa sumom, sugerišući da bi Ojler povećao odnos između zeta i eta funkcije na negativne cele brojeve. U osnovnoj literaturi, niz 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ se pominje u Ojlerovoj publikaciji iz 1760. De seriebus divergentibus uz divergentnan geometrijski niz 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯. Ojler nagoveštava da nizovi ovog tipa imaju kraj, negativne sume, a on objašnjava šta to znači za geometrijski niz, ali se ne vraća na diskusiju 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯. U istoj publikaciji, Ojler piše da je suma 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯ beskonačna.

Popularni mediji

Roman Dejvida Leavita je 2007.  D Indian Klerk sadrži scenu u kojoj Hardi i Litlvud diskutuju o značenju ovog niza. Oni zaključuju da je Ramanudžan ponovo otkrio ζ(−1), a oni koriste liniju "duševne bolnice" u svom drugom pismu, kao znak da se Ramanudžan poigrava sa njima.

Simon MekBurnei je 2007 odigrao Disapering Nambr fokusirajući na niz na uvodnu scenu. Glavni lik, Rut, ulazi u amfiteatar i uvodi ideju divergentne serije pre proglašenja, "Ja ću da ti pokažem nešto zaista uzbudljivo", naime 1 + 2 + 3 + 4 + · · · = −1/12. Kako Rut lansira u izvođenje funkcionalne jednačine zeta funkcije, još jedan glumac se obraća publici, priznajući da su oni glumci: "Ali matematika je stvarna. To je zastrašujuće, ali to je stvarno."

Januara 2014, Numberfil je postavio JuTjub video niza, koja je okupila više od 1,5 miliona pregleda prvog meseca. 8-minutni video govori Toni Padila, fizičar na Univerzitetu u Notingemu. Padila počinje sa  1 − 1 + 1 − 1 + · · · i 1 − 2 + 3 − 4 + · · · i dovodi u vezu sa 1 + 2 + 3 + 4 + · · · koristeći izraz-po-izraz oduzimanja sličan Ramanudžanovom argumentu. Numberfil je takođe objavio i 21-minutnu verziju spota u kom glavnu ulogu ima Notingem fizičar Ed Kopelend, koji opisuje detaljno kako 1 − 2 + 3 − 4 + · · · = 1/4 kao Abelovo sumiranje i 1 + 2 + 3 + 4 + · · · = −1/12 kao ζ(−1). Nakon prijema žalbe o nedostatku strogosti u prvom videu, Padila je takođe napisao objašnjenje na svojoj internet stranici u vezi sa manipulacijom u videu i identifikovanju između analitičkog nastavljanja niza relevantnog Dirikletovom nizu.

U Njujork Tajms pokrivenosti Numberfilovog videa, matematičar Edvard Frenkel je prokomentarisao: "Ovaj proračun je jedna od najbolje čuvanih tajni u matematici. Niko spolja ne zna o tome.."

Izraz - po - izraz sumiranja korišćen u Numberfilovom videu
S	=	1	+  2	+  3	+  4	+  5	+    6	+  7	+  8	+  …	=  ?
S1	=	1	−  1	+  1	−  1	+  1	−    1	+  1	−  1	+  …	= 1/2
S2	=	1	−  2	+  3	−  4	+  5	−    6	+  7	−  8	+  …
2S2	=	1	−  2	+  3	−  4	+  5	−    6	+  7	−  8	+  …
+  1	−  2	+  3	−  4	+    5	−  6	+  7	+  …
=	1	−  1	+  1	−  1	+  1	−    1	+  1	−  1	+  …	= 1/2
S2	= 1/4
S  −	S2	=	1	+  2	+  3	+  4	+  5	+    6	+  7	+  8	+  …
−	1	+  2	−  3	+  4	−  5	+    6	−  7	+  8	+  …
=	0	+  4	+  0	+  8	+  0	+  12	+  0	+  16	+  …	= 4S
S – 1/4 = 4S   ⇒   S = – 1/12

Literatura

• Aiyangar, Srinivasa Ramanujan (1995). Ramanujan: Letters and Commentary. str. 53. ISBN 9780821891254. 
• Berndt, Bruce C.; Srinivasa Ramanujan Aiyangar; Robert A. Rankin (1995). Ramanujan: letters and commentary. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-0287-8. 
• Gannon, Terry (2010). Moonshine Beyond the Monster: The Bridge Connecting Algebra, Modular Forms and Physics. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-14188-8. 
• McBurney, Simon (21. 6. 2012). A Disappearing Number. Oberon Books. ISBN 978-1-84943-299-3. 
• Hardy, G.H. (1949). Divergent Series. Clarendon Press. 
• Pengelley, David J. (2002). Otto Bekken, ur. The bridge between the continuous and the discrete via original sources. Sweden: National Center for Mathematics Education, University of Gothenburg. ISBN 978-91-85143-00-9. 
• Stopple, Jeffrey (2003). A Primer of Analytic Number Theory: From Pythagoras to Riemann. str. 202. ISBN 0-521-81309-3. 
• Zee, A. (2003). Quantum field theory in a nutshell. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-01019-9. 
• Zeidler, Eberhard (2007). Quantum Field Theory I: Basics in Mathematics and Physics: A Bridge between Mathematicians and Physicists. Springer Science & Business Media. str. 305—306. ISBN 978-3-540-34764-4. 

Dodatna literatura

• Lepowsky, James (1999). "Vertex operator algebras and the zeta function". Contemporary Mathematics 248: 327–340. arXiv:math/9909178. Lepowsky, J. (1999). „Vertex operator algebras and the zeta function”. Recent Developments in Quantum Affine Algebras and Related Topics. Contemporary Mathematics. 248. str. 327—340. ISBN 9780821811993. S2CID 14876412. doi:10.1090/conm/248/03829. .
• Zwiebach, Barton (2004). A First Course in String Theory. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-83143-7. 
• Elizalde, Emilio (2004). "Cosmology: Techniques and Applications". Proceedings of the II International Conference on Fundamental Interactions. arXiv:gr-qc/0409076.
• Watson, G. N. (1929). „Theorems stated by Ramanujan (VIII): Theorems on Divergent Series”. Journal of the London Mathematical Society (2): 82—86. doi:10.1112/jlms/s1-4.14.82. 

Spoljašnje veze

• Lamb E. (2014), "Does 1+2+3… Really Equal -1/12?", Scientific American Blogs.
• This Week's Finds in Mathematical Physics (Week 124), (Week 126), (Week 147), (Week 213)
  • Euler’s Proof That 1 + 2 + 3 + · · · = −1/12 - By John Baez
  • García Moreta, José Javier http://prespacetime.com/index.php/pst/article/view/498 The Application of Zeta Regularization Method to the Calculation of Certain Divergent Series and Integrals Refined Higgs, CMB from Planck, Departures in Logic, and GR Issues & Solutions vol 4 Nº 3 prespacetime journal http://prespacetime.com/index.php/pst/issue/view/41/showToc
  • John Baez (September 19, 2008). "My Favorite Numbers: 24" (PDF).
• The Euler-Maclaurin formula, Bernoulli numbers, the zeta function, and real-variable analytic continuation by Terence Tao
• A recursive evaluation of zeta of negative integers by Luboš Motl
• Link to Numberphile video 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... = -1/12
  • Sum of Natural Numbers (second proof and extra footage) includes demonstration of Euler's method.
  • What do we get if we sum all the natural numbers? response to comments about video by Tony Padilla
  • Related article from New York Times
  • Why -1/12 is a gold nugget follow-up Numberphile video with Edward Frenkel
• Divergent Series: why 1 + 2 + 3 + · · · = −1/12 by Brydon Cais from University of Arizona