1 + 2 + 4 + 8 + ⋯

U matematici, 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + … je beskonačan niz čiji su članovi uzastopna stepen dvojke. Kao geometrijske nizove, karakteriše ih prvi član, 1, i njihov zajednički odnos, 2. Kao niz realnih brojeva divergira u beskonačnost, tako da u uobičajenom smislu da nema sumu. U mnogo širem smislu, niz je povezan sa drugim vrednostima osim sa ∞, odnosno −1.

Zbir

Parcijalne sume 1 + 2 + 4 + 8 + … su 1, 3, 7, 15, …; kako ovo divergira do beskonačnosti, divergira i niz. Zbog toga svaki potpuno regularan način sumiranja daje zbir beskonačnosti, uključujući Cesaro zbir i Abel zbir.^[1] S druge strane, postoji najmanje jedan generalno korinjćen metod koji sumira 1 + 2 + 4 + 8 + ... do konačne vrednosti -1. Povezana stepen nizova

f(x)=1+2x+4x^{2}+8x^{3}+\cdots +2^{n}{}x^{n}+\cdots ={\frac {1}{1-2x}}

ima radijus konvergencije oko 0 od samo ¹/₂, tako da ne konvergira na x = 1. Ipak, tako definisana funkcija f ima jedinstveni analitički nastavak na kompleksnoj ravni sa tačke x = ¹/₂ izbrisano, a dato je istim pravilom f(x) = 1/(1 − 2x). Kako je f(1) = −1, za originalan niz 1 + 2 + 4 + 8 + … se kaže da ga je moguće sabrati (E) do −1, i −1 je (E) zbir niza. (Izraz je nastao zahvaljujući G. H. Hardiju u odnosu na pristup divergentnim redovima Leonarda Ojlera).^[2]

Gotovo identičan pristup (jedan od strane Ojlera samog) je da se razmotri stepen niza čiji koeficijenti su svi 1, odnosno

1+y+y^{2}+y^{3}+\cdots ={\frac {1}{1-y}}

i povezani sa y = 2. Naravno, ova dva niza su povezana zamenom y = 2x.

Činjenica dat (E) zbir daje konačnu vrednost 1 + 2 + 4 + 8 + … pokazuje da opšti metod nije potpuno regularan. Sa druge strane, poseduje neke druge poželjne kvalitete za metod sumiranja, uključujući stabilnost i linearnost. Ova dva aksioma zapravo primoravaju zbir da bude −1, jer oni čine sledeću manipulaciju validnom:

{\begin{array}{rcl}s&=&\displaystyle 1+2+4+8+\cdots \\[1em]&=&\displaystyle 1+2(1+2+4+8+\cdots )\\[1em]&=&\displaystyle 1+2s\end{array}}

U korisnom smislu, s = ∞ je koren jednačine s = 1 + 2s. (Na primer, ∞ je jedna od dve fiksne tačke Mebijusove transformacije z → 1 + 2z na Rimanovoj sferi). Ako je za neki metod sumiranja poznato da vraća običan broj za s, odnosno ne ∞, tada je to lako utvrditi. U ovom slučaju s se mogže oduzeti od obe strane jednačine, dajući 0 = 1 + s, tako da je s= −1.^[3]

Navedena manipulacja može biti pozvana da proizvede −1 van konteksta dovoljno moćnog sumiranja procedure. Za najpoznatije i jednostavne koncepte zbira, uključujući fundamentalno konvergentni, apsurdno je da niz pozitivnih članova ima negativnu vrednost. Sličan fenomen se javlja kod divergentnih geometrijskih redova 1 − 1 + 1 − 1 + · · · , gde se pojavljuje red celih brojeva koji imaju ne-ceo zbir ¹⁄₂. Ovi primeri ilustruju potencijalnu opasnost u primeni sličnih argumenata na redove implicirane takvim ponavljanjem decimala kao što je 0.111… i pre svega 0.999…. Argumenti su na kraju opravdani za ove konvergentne redove, uključujući da je 0.111… = ¹⁄₉0.111… = ¹⁄₉ i 0.999… = 1, ali su u osnovi dokazi zahtevaju pažljivo razmišljanje o tumačenju beskonačnih suma.^[4]

Takođe je moguće videti ove nizove kao konvergentne u velikom broju sistema različitih od stvarnog broja, naime, 2-adik brojevi. Kako niz 2-adik brojeva konvergira do iste sume, -1, kao što je izvedena pre pomoću analitičkog nastavka.^[5]

Vidi još

1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + · · ·
1 − 2 + 3 − 4 + · · ·
Komplement dvojke, konvencija podataka za predstavljanje negativnih brojeva u kojima je -1 predstavljen kao da je $1+2+4+\ldots +2^{n-1}$ .

Reference

^ Hardy 1949, str. 10.
^ Hardy 1949, str. 8, 10.
^ The two roots of s = 1 + 2s are briefly touched on by Hardy pp. 19.
^ Gardiner 2002, str. 93–99; the argument on pp. 95 for 1 + 2 + 4 + 8 + … is slightly different but has the same spirit.
^ Koblitz, Neal (1984). p-adic Numbers, p-adic Analysis, and Zeta-Functions. Graduate Texts in Mathematics, vol. 58. Springer-Verlag. str. chapter I, exercise 16. pp. 20. ISBN 978-0-387-96017-3.

Literatura

Gardiner, A. (2002) [1982]. Understanding infinity: the mathematics of infinite processes (Dover izd.). Dover. ISBN 0-486-42538-X.
Hardy, G. H. (1949). Divergent Series. Clarendon Press. LCC QA295 .H29 1967.
Barbeau, E. J. & Leah, P. J. (maj 1976). „Euler's 1760 paper on divergent series”. Historia Mathematica. 3 (2): 141—160. doi:10.1016/0315-0860(76)90030-6.
Ferraro, Giovanni (2002). „Convergence and Formal Manipulation of Series from the Origins of Calculus to About 1730”. Annals of Science. 59: 179—199. doi:10.1080/00033790010028179.
Kline, Morris (novembar 1983). „Euler and Infinite Series”. Mathematics Magazine. 56 (5): 307—314. JSTOR 2690371. doi:10.2307/2690371.
Sandifer, Ed (jun 2006). „Divergent series” (PDF). How Euler Did It. MAA Online. Arhivirano iz originala (PDF) 20. 03. 2013. g. Pristupljeno 16. 01. 2016. Arhivirano na sajtu Wayback Machine (20. mart 2013)
Sierpińska, Anna (novembar 1987). „Humanities students and epistemological obstacles related to limits”. Educational Studies in Mathematics. 18 (4): 371—396. JSTOR 3482354. doi:10.1007/BF00240986.

[FOOTNOTEHardy194910-1] Hardy 1949, str. 10.

[FOOTNOTEHardy19498,_10-2] Hardy 1949, str. 8, 10.

[3] The two roots of s = 1 + 2s are briefly touched on by Hardy pp. 19.

[4] Gardiner 2002, str. 93–99; the argument on pp. 95 for 1 + 2 + 4 + 8 + … is slightly different but has the same spirit.

[5] Koblitz, Neal (1984). p-adic Numbers, p-adic Analysis, and Zeta-Functions. Graduate Texts in Mathematics, vol. 58. Springer-Verlag. str. chapter I, exercise 16. pp. 20. ISBN 978-0-387-96017-3.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]