Лијева алгебра

Лијева алгебра у теорији група је алгебра L(F) над пољем F која има особину антисиметричности и за коју важи Јакобијев индентитет:

• [x,y] = - [y,x]
• [x,[y,z]] + [y,[z,x]] + [z,[x,y]] = 0

Подела

Лијеве алгебре се деле на:

• Полупросте Лијеве алгебре

Ненулта Лијева алгебра је полупроста ако осим нултог нема других Абелових идеала. Специјално, полупроста алгебра је проста ако нема нетривијалних идеала.

• Разрешиве Лијеве алгебре

Лијева алгебра L је разрешива ако је Lⁿ=0 за неко коначно n. Специјално, разрешива алгебра је нилпотентна ако је L_m=0 за неко коначно m. Подврста нилпотентних Лијевих алгебри су Абелове Лијеве алгебре.

Картанов критеријум омогућава одређивање врсте Лијеве алгебре помоћу Килингове форме.

Леви-Маљцев теорем тврди да свака Лијева алгебра може да се представи као семидиректни збир једне полупросте и једне разрешиве Лијеве алгебре, односно да је $L=R\wedge S$, где је R разрешиви максимални идеал, а S је полупроста алгебра. Класификација свих Лијевих алгебри, међутим, није до краја изведена.