Основе математике

Основе математике је наука проучавања филозофске и логичке и/или алгоритамске основе математике, или, у ширем смислу, математичко истраживање онога што лежи у основи филозофских теорија о природи математике. У овом последњем смислу, разлика између основа математике и филозофије математике испада прилично нејасна. Основе математике могу се замислити као проучавање основних математичких појмова (скупова, функција, геометријска фигура, бројева итд.) и како они формирају хијерархије сложенијих структура и концепта, посебно фундаментално важних структура које чине језик математике. (формуле, теорије и њихови модели који дају значење формулама, дефиницијама, доказима, алгоритмима, итд.) који се такође називају и метаматематичким концептима, са погледом на филозофске аспекте и јединство математике. Трагање за основама математике је централно питање филозофије математике; апстрактна природа математичких објеката представља посебне филозофске изазове.

Основа математике у целини нема за циљ да садржи основе сваке математичке теме. Уопштено говорећи, основе области проучавања односи се на мање-више систематску анализу његових најосновнијих или фундаменталних концепта, његовог концептуалног јединства и његовог природног уређења или хијерархије концепата, што може помоћи да се повеже са остатком људиског знања. Развој, настајање и разјашњење темеља може доћи касније у историји неке области.

Математика је увек играла посебну улогу у научној мисли, служећи од давнина као модел истине и строгости за рационално истраживање, и дајући алате или чак основу за друге науке (посебно физику). Многи развоји математике ка вишим апстракцијама у 19. веку донели су нове изазове и парадоксе, подстичући на дубље и систематичније испитивање природе и критеријума математичке истине, као и на уједињење различитих грана математике у кохерентну целину.

Систематска потрага за основама математике започела је крајем 19. века и формирала је нову математичку дисциплину под називом математичка логика, која је касније имала јаке везе са теоријском информатиком . Прошла је кроз низ криза са парадоксалним резултатима, све док се открића нису стабилизовала током 20. века као велико и кохерентно тело математичког знања са неколико аспеката или компоненти ( теорија скупова, теорија модела, теорија доказа, итд.), чија су детаљна својства и могуће варијанте и даље активно поље истраживања. Његов висок ниво техничке софистицираности инспирисао је многе филозофе да претпоставе да може послужити као модел или образац за темеље других наука.

Литература

• Avigad, Jeremy (2003) „Number theory and elementary arithmetic”. CiteSeerX 10.1.1.105.6509 . , Philosophia Mathematica Vol. 11, pp. 257–284
• Eves, Howard (1990), Foundations and Fundamental Concepts of Mathematics Third Edition, Dover Publications, INC, Mineola NY, ISBN 0-486-69609-X (pbk.) cf §9.5 Philosophies of Mathematics pp. 266–271. Eves lists the three with short descriptions prefaced by a brief introduction.
• Goodman, N.D. (1979), "„Mathematics as an Objective Science”. CiteSeerX 10.1.1.461.6921 . ", in Tymoczko (ed., 1986).
• Hart, W.D. (ed., 1996), The Philosophy of Mathematics, Oxford University Press, Oxford, UK.
• Hersh, R. (1979), "Some Proposals for Reviving the Philosophy of Mathematics", in (Tymoczko 1986).
• Hilbert, D. (1922), "Neubegründung der Mathematik. Erste Mitteilung", Hamburger Mathematische Seminarabhandlungen 1, 157–177. Translated, "The New Grounding of Mathematics. First Report", in (Mancosu 1998).
• Katz, Robert (1964), Axiomatic Analysis, D. C. Heath and Company.
• Kleene, Stephen C. (1991) [1952]. Introduction to Meta-Mathematics (Tenth impression 1991 изд.). Amsterdam NY: North-Holland Pub. Co. ISBN 0-7204-2103-9. 

In Chapter III A Critique of Mathematic Reasoning, §11. The paradoxes, Kleene discusses Intuitionism and Formalism in depth. Throughout the rest of the book he treats, and compares, both Formalist (classical) and Intuitionist logics with an emphasis on the former. Extraordinary writing by an extraordinary mathematician.

• Mancosu, P. (ed., 1998), From Hilbert to Brouwer. The Debate on the Foundations of Mathematics in the 1920s, Oxford University Press, Oxford, UK.
• Putnam, Hilary (1967), "Mathematics Without Foundations", Journal of Philosophy 64/1, 5–22. Reprinted, pp. 168–184 in W.D. Hart (ed., 1996).
• —, "What is Mathematical Truth?", in Tymoczko (ed., 1986).
• Sudac, Olivier (април 2001). „The prime number theorem is PRA-provable”. Theoretical Computer Science. 257 (1–2): 185—239. doi:10.1016/S0304-3975(00)00116-X . CS1 одржавање: Формат датума (веза)
• Troelstra, A. S. (no date but later than 1990), "A History of Constructivism in the 20th Century", A detailed survey for specialists: §1 Introduction, §2 Finitism & §2.2 Actualism, §3 Predicativism and Semi-Intuitionism, §4 Brouwerian Intuitionism, §5 Intuitionistic Logic and Arithmetic, §6 Intuitionistic Analysis and Stronger Theories, §7 Constructive Recursive Mathematics, §8 Bishop's Constructivism, §9 Concluding Remarks. Approximately 80 references.
• Tymoczko, T. (1986), "Challenging Foundations", in Tymoczko (ed., 1986).
• —,(ed., 1986), New Directions in the Philosophy of Mathematics, 1986. Revised edition, 1998.
• van Dalen D. (2008), "Brouwer, Luitzen Egbertus Jan (1881–1966)", in Biografisch Woordenboek van Nederland. URL:http://www.inghist.nl/Onderzoek/Projecten/BWN/lemmata/bwn2/brouwerle [2008-03-13]
• Weyl, H. (1921), "Über die neue Grundlagenkrise der Mathematik", Mathematische Zeitschrift 10, 39–79. Translated, "On the New Foundational Crisis of Mathematics", in (Mancosu 1998).
• Wilder, Raymond L. (1952), Introduction to the Foundations of Mathematics, John Wiley and Sons, New York, NY.

Спољашње везе

• Медији везани за чланак Основе математике на Викимедијиној остави
• „Philosophy of mathematics”. Internet Encyclopedia of Philosophy. 
• Logic and Mathematics
• Foundations of Mathematics: past, present, and future, May 31, 2000, 8 pages.
• A Century of Controversy over the Foundations of Mathematics by Gregory Chaitin. Chaitin, G. J. (1999). „A Century of Controversy over the Foundations of Mathematics”. arXiv:chao-dyn/9909001 .