Бернулијеви полиноми

Бернулијеви полиноми у математици представљају полиноме, који су добили име према Јакобу Бернулију, а сусрећу се приликом изучавања многих специјалних функција, а посебно Риманове зета функције и Хурвицове зета функције.

Општи обликУреди

 , где су  биномни коефицијенти, а  Бернулијеви бројеви.

Или

 

Генерирајућа функција и члановиУреди

Генерирајућа функција Бернулијевих полинома је:

 
 
Бернулијеви полиноми

Неколико првих Бернулијевих полинома:

 
 
 
 
 
 
 

СвојстваУреди

 .

Рачунајући извод генерирајуће функције по x добија се:

 .

Лева страна разликује се од генерирајуће функције само по t, па је:

 .

Из чега се добија

 , а онда је
 .

Из последње једначине добија се правило интегрирања Бернулијевих полинома:

 .
  (када је   )

Следећа сума позната као Фаулхаберова формула даде се приказати помоћу Бернулијевих полинома:

 

ИнтегралиУреди

 

Definite integrals

 

ЛитератураУреди

  • Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, ISBN 978-0-486-61272-0