Отворите главни мени

Бретшнајдерова формула

Четвороугао

Бретшнајдерова формула се користи у геометрији за одређивање површине четвороугла, и гласи

при чему су, a, b, c и d странице четвороугла, s је половина обима четвороугла, а и наспрамни углови.

Бретшнајдерова формула даје површину четвороугла без обзира да ли је он тетиван или није.

ДоказУреди

Ако се површина четвороугла означи са P, онда важи

 

Одатле је

 

Према косинусној теореми важи

 

пошто су обе стране израза једнаке квадрату дужине дијагонале BD.

Уколико се сабирци прегрупишу и обе стране квадрирају, једнакост се може записати на следећи начин:

 

Сабирањем добијене једнакости са горњом формулом за   добија се

 

После сређивања, биће:

 

Уколико се први члан збира са десне стране допуни до квадрата бинома, добија се:

 

Ако се, затим, растави разлика квадрата са десне стране једнакости и ако се примени формула за половину угла на трећи сабирак, добија се:

 

односно

 

Претходна једнакост може се записати и овако:

 

Узевши у обзир да је полуобим четвороугла

 

добија се

 

одакле следи Бретшнајдерова формула.

Повезаност са другим формуламаУреди

Бретшнајдерова формула је уопштење формуле Брамагупте за површину тетивног четвороугла, а ова је уопштење Хероновог обрасца који се користи за израчунавање површине троугла.

Спољашње везеУреди