Формула Брамагупте

У геометрији, формула Брамагупте даје површину било ког четвороугла ако су му познате све странице и неки углови. У свом најпознатијем облику користи се за одређивање површине четвороугла који се може уписати у круг.

Основни обликУреди

У свом основном облику, који је налакши за памћење, формула Брамгупте даје површину тетивног четвороугла са страницама a, b, c, d у облику

 

где је s, полуобим четвороугла, одређен са

 

Површина тетивног четвороугла је највећа могућа површина коју може да има четвороугао са све четири задате странице.

Доказ формулеУреди

 
Тетивни четвороугао

Површина четвороугла   може се израчунати као збир површина   и  

 

Како је   тетивни четвороугао,  , па је  . Одатле је

 
 
 
 

Ако се примени косинусна теорема на   и   и помоћу ње се изрази дијагонала  , добија се

 

Пошто су углови   и   суплементни, важи   па ће бити

 

Када се добијена једнакост уврсти у израз за површину, биће

 
 

Уколико се израз растави коришћењем формуле за разлику квадрата:

 
 
 

Ако се полуобим означи са   и то се уврсти у претходни корак:

 

Коначна формула се добија кореновањем последње једнакости:

 

Уопштење формулеУреди

У случају да четвороугао није тетиван, формула Брамагупте се може уопштити узимањем у обзир величина два наспрамна угла четвороугла:

 

где је угао θ једнак половини њиховог збира. Овде није важно која два угла ће се бити изабрана, јер је полузбир величина друга два угла у четвороуглу допуна угла θ до опруженог угла. Како је cos(180° − θ) = −cosθ, биће cos²(180° − θ) = cos²θ.

Овај облик се понекад назива Бретшнајдерова формула, али постоје извори[1] према којима је овај облик формуле дао Кулиџ, док је Бретшнајдерова формула била

 

где су p и q дужине дијагонала четвороугла.

Како је особина тетивног четвороугла да збир наспрамних углова има 180°, угао θ у горњој формули ће имати 90°, па је други елемент под кореном једнак

 

одакле следи основни облик Брамагуптине формуле.

Сродне формулеУреди

Херонова формула за површину троугла је специјалан случај формуле Брамагупте који се добија ако се узме да је d = 0.

Однос између основне формуле Брамгупте и њеног уопштења је сличан ономе између Питагорине теореме и косинусне теореме.

ИзвориУреди

Спољашње везеУреди