Курт Гедел

Курт Гедел (нем. Kurt Gödel; Брно, 28. април 1906 — Принстон, 14. јануар 1978) је био аустријско-амерички математичар логичар који је 1931. године доказао комплетност првог реда инфинитезималног рачуна функција. Затим је уследио његов рад О формалној неодређености поставки у „Принципима математике“ и односним системима (нем. Uber formal unentscheidbare Sätze der 'Principia Mathematica' und verwandter Systeme), у којем је доказао прву од своје две знамените теореме некомплетности. Овај рад, датиран 17. новембра 1930, изворно је објављен на немачком, 1931. године у часопису „Монатсхефте фир математик“ (нем. Monatshefte für Mathematik). Он се сматра заједно са Аристотелом и Готлобом Фрегеом једним од најзначајнијих логичара у историји. Гедел је имао огроман утицај на научно и филозофско размишљање у 20. веку, у време када су други као што су Бертранд Расел, Алфред Норт Вајтед, и Дејвид Хилберт користили логику и теорију скупова да истражују основе математике, надовезујући се на раније радове попут Ричарда Дедекинда, Георга Кантора и Фрегеа.

Курт Гедел
Курт Гедел, 1906—1978
Лични подаци
Датум рођења	(1906-04-28)28. април 1906.
Место рођења	Брно, Аустроугарска
Датум смрти	14. јануар 1978.(1978-01-14) (71 год.)
Место смрти	Принстон, САД
Образовање	Универзитет у Бечу
Научни рад
Поље	математика
Награде	Награда Алберт Ајнштајн (1951) ForMemRS (1968) Национална медаља науке (1974)

Геделова открића у основама математике довела су до доказа Геделове теореме о потпуности 1929. године у склопу његове дисертације за стицање доктората на Универзитету у Бечу, и објављивања две Геделове теореме о непотпуности две године касније, 1931. године. Теорема о непотпуности постулира да за било који ω-конзистентан рекурзивни аксиоматски систем довољно моћан да опише аритметику природних бројева (на пример, Пеано аритметика), постоје истините тврдње о природним бројевима које се не могу доказати нити оповргнути из аксиома. Да би то доказао, Гедел је развио технику која је сада позната као Геделово нумерисање, која кодира формалне изразе као природне бројеве. Друга теорема о непотпуности, која следи из прве, каже да систем не може да докаже сопствену доследност.

Године 1938. Гедел је показао да се Канторова хипотеза континуума не може оповргнути унутар стандардне Цермело—Френкел теорије скупова, чак ни ако јој се дода аксиома избора. Амерички математичар Пол Коен је 1963. године шокирао математичку заједницу доказавши да се хипотеза континуума не може ни доказати унутар ZFC.

Његов допринос на пољу математике, искористио је Даглас Хофштатер за приказивање своје филозофије у књизи „Гедел, Есхер, Бах - вечна златна плетеница“.

Теорема непотпуности

„Достигнуће Курта Гедела у модерној логици је сингуларно и монументално — заиста, оно је више од споменика, то је међаш који ће остати видљив далеко у простору и времену... Природа и могућности логике су сигурно потпуно промењене Геделовим достигнућем.“ —Џон фон Нојман

Године 1931, док је још боравио у Бечу, Гедел је објавио своје теореме о непотпуности у раду О формалној неодређености поставки у „Принципима математике“ и односним системима (нем. Uber formal unentscheidbare Sätze der 'Principia Mathematica' und verwandter Systeme). У том раду је доказао да за сваки израчунљив аксиоматски систем који је довољно снажан да опише аритметику природних бројева (на пример Пеанове аксиоме или Зермело-Френкел теорија скупова са аксиомом избора), важи:

1. ако је систем конзистентан, он не може бити потпун.
2. конзистентност аксиома не може бити доказана унутар система.

Ове теореме су окончале пола века дуге покушаје да се пронађе скуп аксиома довољних за заснивање целокупне математике, који су почели радом Фрегеа а кулминирали у делу Principia Mathematica Расела и Вајтхеда и Хилбертовим формализмом.

Основна идеја која лежи у срцу теореме о непотпуности је прилично једноставна. Гедел је у суштини конструисао формулу која тврди да је недоказива у датом формалном систему. Ако би била доказива, онда би била нетачна, што представља контрадикцију идеји да су у конзистентном систему доказиви искази увек тачни. Стога ће увек постојати бар један истинит али недоказив исказ.

Библиографија

Важне публикације

На немачком:

• Gödel, Kurt (1930). „Die Vollständigkeit der Axiome des logischen Funktionenkalküls.”. Monatshefte für Mathematik und Physik. 37: 349—60. S2CID 123343522. doi:10.1007/BF01696781. .
• 1931, "Über formal unentscheidbare Sätze der . Principia Mathematica und verwandter Systeme, I." Monatshefte für Mathematik und Physik. 38: 173—98. 1931.  .
• 1932, „Zum intuitionistischen Aussagenkalkül”. Anzeiger Akademie der Wissenschaften Wien. 69: 65—66. 1932. .

На енглеском:

• 1940. The Consistency of the Axiom of Choice and of the Generalized Continuum Hypothesis with the Axioms of Set Theory. Princeton University Press.
• 1947. "What is Cantor's continuum problem?" The American Mathematical Monthly 54: 515–25. Revised version in Paul Benacerraf and Hilary Putnam, eds., 1984 (1964). Philosophy of Mathematics: Selected Readings. Cambridge Univ. Press: 470–85.
• 1950, "Rotating Universes in General Relativity Theory." Proceedings of the international Congress of Mathematicians in Cambridge, Vol. 1, pp. 175–81.

Енглески преводи:

• Kurt Gödel, 1992. On Formally Undecidable Propositions Of Principia Mathematica And Related Systems, tr. B. Meltzer, with a comprehensive introduction by Richard Braithwaite. Dover reprint of the 1962 Basic Books edition.
• Kurt Gödel, 2000. On Formally Undecidable Propositions Of Principia Mathematica And Related Systems, tr. Martin Hirzel
• Jean van Heijenoort, 1967. A Source Book in Mathematical Logic, 1879–1931. Harvard Univ. Press.
  • 1930. "The completeness of the axioms of the functional calculus of logic," 582–91.
  • 1930. "Some metamathematical results on completeness and consistency," 595–96. Abstract to (1931).
  • 1931. "On formally undecidable propositions of Principia Mathematica and related systems," 596–616.
  • 1931a. "On completeness and consistency," 616–17.
• Collected Works: Oxford University Press: New York. Editor-in-chief: Solomon Feferman.
  • Volume I: Publications –1936. . 1929. ISBN 978-0-19-503964-1.  / Paperback: Gödel, Kurt (5. 7. 2001). Kurt Gödel: Collected Works: Volume I: Publications 1929-1936. Oup USA. ISBN 978-0-19-514720-9.  CS1 одржавање: Формат датума (веза),
  • Volume II: Publications –1974. . 1938. ISBN 978-0-19-503972-6.  / Paperback: . ISBN 978-0-19-514721-6.  ,
  • Volume III: Unpublished Essays and Lectures. . ISBN 978-0-19-507255-6.  / Paperback: Gödel, Kurt (28. 6. 2001). Kurt Gödel: Collected Works: Volume III: Unpublished Essays and Lectures. Oup USA. ISBN 978-0-19-514722-3.  CS1 одржавање: Формат датума (веза),
  • Volume IV: Correspondence, A–G. . ISBN 978-0-19-850073-5.  ,
  • Volume V: Correspondence, H–Z. . ISBN 978-0-19-850075-9.  .
• Philosophische Notizbücher / Philosophical Notebooks: De Gruyter: Berlin/München/Boston. Editor: de.
  • Volume 1: Philosophie I Maximen 0 / Philosophy I Maxims 0. Gödel, Kurt (2019). Philosophie I Maximen 0: Philosophy I maxims 0. De Gruyter. ISBN 978-3-11-058374-8.  .
  • Volume 2: Zeiteinteilung (Maximen) I und II / Time Management (Maxims) I and II. ISBN 978-3-11-067409-5.
  • Volume 3: Maximen III / Maxims III. ISBN 978-3-11-075325-7.

Види још

• Геделова теорема о потпуности
• Геделове теореме о непотпуности

Литература

• Kleene, Stephen (1980). Introduction to Metamathematics. North Holland. ISBN 978-0-7204-2103-3.  (Ishi Press paperback. 2009. ISBN 978-0-923891-57-2..)
• Procházka, Jiří, 2006, 2006, 2008, 2008, 2010. Kurt Gödel: 1906–1978: Genealogie. ITEM, Brno. Volume I. Brno. 2006. ISBN 978-80-902297-9-2... In Ger., Engl. Volume II. Brno. 2006. ISBN 978-80-903476-0-1... In Germ., Engl. Volume III. Brno. 2008. ISBN 978-80-903476-4-9... In Germ., Engl. Volume IV. Brno. . Princeton. 2008. ISBN 978-80-903476-5-6.  . In Germ., Engl. Volume V,Brno,Princeton. 2010. ISBN 978-80-903476-9-4... In Germ., Engl.
• Procházka, Jiří, "Kurt Gödel: 1906-1978: Historie". ITEM,Brno, Wien, Princeton. Volume I. 2012. ISBN 978-80-903476-2-5.. In Ger., Engl.
• Olga Taussky-Todd, 1983. Remembrances of Kurt Gödel. Engineering & Science, Winter 1988.
• Dawson, John W (1997), Logical dilemmas: The life and work of Kurt Gödel, Wellesley, MA: AK Peters .
• Goldstein, Rebecca (2005), Incompleteness: The Proof and Paradox of Kurt Gödel, New York: W.W. Norton & Co, ISBN 978-0-393-32760-1 .
• Wang, Hao (1987), Reflections on Kurt Gödel, Cambridge: MIT Press, ISBN 0-262-73087-1 
• Wang, Hao (1996), A Logical Journey: From Gödel to Philosophy, Cambridge: MIT Press, ISBN 0-262-23189-1 
• Stephen Budiansky, 2021. Journey to the Edge of Reason: The Life of Kurt Gödel. W.W. Norton & Company.
• Casti, John L; DePauli, Werner (2000), Gödel: A Life of Logic, Cambridge, MA: Basic Books (Perseus Books Group), ISBN 978-0-7382-0518-2 .
• Dawson, John W, Jr (1996), Logical Dilemmas: The Life and Work of Kurt Gödel, AK Peters .
• Dawson, John W, Jr (1999), „Gödel and the Limits of Logic”, Scientific American, 280 (6): 76—81, Bibcode:1999SciAm.280f..76D, PMID 10048234, doi:10.1038/scientificamerican0699-76 .
• Franzén, Torkel (2005), Gödel's Theorem: An Incomplete Guide to Its Use and Abuse, Wellesley, MA: AK Peters .
• Ivor Grattan-Guinness, 2000. The Search for Mathematical Roots 1870–1940. Princeton Univ. Press.
• Hämeen-Anttila, Maria (2020). Gödel on Intuitionism and Constructive Foundations of Mathematics (Ph.D. thesis). Helsinki: University of Helsinki. ISBN 978-951-51-5922-9. 
• Jaakko Hintikka, 2000. On Gödel. Wadsworth.
• Douglas Hofstadter, 1980. Gödel, Escher, Bach. Vintage.
• Stephen Kleene, 1967. Mathematical Logic. Dover paperback reprint c. 2001.
• J.R. Lucas, 1970. The Freedom of the Will. Clarendon Press, Oxford.
• Ernest Nagel and Newman, James R., 1958. Gödel's Proof. New York Univ. Press.
• Ed Regis, 1987. Who Got Einstein's Office? Addison-Wesley Publishing Company, Inc.
• Raymond Smullyan, 1992. Godel's Incompleteness Theorems. Oxford University Press.
• Gödel, Alois, 2006. Brünn 1679–1684. ITEM, Brno 2006, edited by Jiří Procházka. ISBN 80-902297-8-6.
• Procházka, Jiří 2017. "Kurt Gödel: 1906–1978: Curriculum vitae". ITEM, Brno, Wien, Princeton 2017. Volume I. (ISBN 978-80-903476-9-4). In German, English.
• Procházka, Jiří 2019. "Kurt Gödel 1906-1978: Curriculum vitae". ITEM, Brno, Wien, Princeton 2019. Volume II. (ISBN 978-80-903476-1-8). In German, English.
• Procházka, Jiří 2O2O. "Kurt Gödel: 19O6-1978. Curriculum vitae". ITEM, Brno, Wien, Princeton 2020. Volume III. (ISBN 978-80-905148-1-2). In German, English. 223 Pages.
• Yourgrau, Palle, 1999. Gödel Meets Einstein: Time Travel in the Gödel Universe. Chicago: Open Court.
• Yourgrau, Palle, 2004. A World Without Time: The Forgotten Legacy of Gödel and Einstein. Basic Books. ISBN 978-0-465-09293-2. Reviewed by John Stachel in the Notices of the American Mathematical Society ( 54  (7):, pp. 861–68).

Додатна литература

• Guerra-Pujol, Enrique (2013). „Gödel's Loophole”. Capital University Law Review. University of Central Florida; Pontifical Catholic University of Puerto Rico. 41: 637—673. SSRN 2010183 . 

Спољашње везе

• Weisstein, Eric W. (ур.). „Gödel, Kurt (1906–1978)”. ScienceWorld. 
• Kennedy, Juliette. „Kurt Gödel”. Ур.: Zalta, Edward N. Stanford Encyclopedia of Philosophy. 
• Time Bandits: an article about the relationship between Gödel and Einstein by Jim Holt
• "Gödel and the limits of logic" by John W Dawson Jr. (June 2006)
• Notices of the AMS, April 2006,. Notices :: Issue Table of Contents. 53 (4). април 2006 http://www.ams.org/notices/200604/200604-toc.html.  CS1 одржавање: Формат датума (веза) Kurt Gödel Centenary Issue
• Paul Davies and Freeman Dyson discuss Kurt Godel
• "Gödel and the Nature of Mathematical Truth" Edge: A Talk with Rebecca Goldstein on Kurt Gödel.
• It's Not All In The Numbers: Gregory Chaitin Explains Gödel's Mathematical Complexities.
• Gödel photo gallery.
• Курт Гедел на сајту Find a Grave (језик: енглески)
• National Academy of Sciences Biographical Memoir
• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. „Курт Гедел”. MacTutor History of Mathematics archive. University of St Andrews.