Отворите главни мени

Лапласова једначина

Лапласова једначина' је елиптичка парцијална диференцијална једначина другога реда облика:

Решења Лапласове једначине су хармоничке функције. Лапласова једначина је значајна у математици, електромагнетизму, астрономији и динамици флуида.

ДефиницијаУреди

У три демензије Лапласива једначина може да се прикаже у различитим координатним системима. У картезијевом координатном систему је облика:

 

У цилиндричном координатном систему је:

 

У сферном координатном систему је:

 

У закривљеном координатном систему је:

 

илиr

 

Дводимензионални системУреди

У поларном координатном дводимензионалном систему је облика:

 

У дводимензионалном картезијевом систему је:

 

Гринова функцијаУреди

Лапласова једначина се често решава уз помоћ Гринове функције и Гринова теорема:

 

Дефиниција Гринове функције је:

 

Уврстимо у Гринов теорем   па добијамо:

 

Сада можемо да решимо Лапласову једначину   у случају Нојманових или Дирихлеових рубних услова. Узимајући у обзир:

 

па се једначина своди на:

 

Када нема рубних услова Гринова функција је:

 

ЛитератураУреди

  • Sommerfeld A, Partial Differential Equations in Physics, New York: Academic Press (1949)
  • Korn GA and Korn TM. (1961) Mathematical Handbook for Scientists and Engineers, McGraw-Hill.
  • Morse PM, Feshbach H . Methods of Theoretical Physics, Part I. New York:. McGraw-Hill.1953. ISBN 978-0-07-043316-8.
  • Лапласова једначина