Формула Брамагупте — разлика између измена

:<math>P = \frac{1}{2}ad\sin \alpha + \frac{1}{2}bc\sin \gamma.</math>
 
Како је <math>ABCD</math> тетивни четвороугао, <math>\angle DAB = 180^\circ - \angle DCB</math>, па је <math>\sin \alpha = \sin \gamma.</math>. Одатле је
 
:<math>P = \frac{1}{2}ad\sin \alpha + \frac{1}{2}bc\sin \alpha</math>
:<math>4P^2 = (ad + bc)^2 - cos^2 \alpha (ad + bc)^2. \,</math>
 
Ако применимосе косинуснупримени теоремукосинусна теорема на <math>\triangle ADB</math> и <math>\triangle BDC</math> и помоћу ње изразимосе дијагоналуизрази дијагонала <math>DB,</math>, добијамодобија се
 
:<math>a^2 + d^2 - 2ad\cos \alpha = b^2 + c^2 - 2bc\cos \gamma. \,</math>
 
Пошто су углови <math>\alpha</math> и <math>\gamma</math> суплементни, важи <math>\cos \gamma = -\cos \alpha</math> па добијамоће бити
 
:<math>2\cos \alpha (ad + bc) = a^2 + d^2 - b^2 - c^2. \,</math>
 
Када добијенусе добијена једнакост уврстимоуврсти у израз за површину, биће
 
:<math>4P^2 = (ad + bc)^2 - \frac{1}{4}(a^2 + d^2 - b^2 - c^2)^2</math>
:<math>16P^2 = 4(ad + bc)^2 - (a^2 + d^2 - b^2 - c^2)^2, \,</math>
 
РаставимоУколико лисе израз растави коришћењем формуле за разлику квадрата:
 
:<math>16P^2 = (2(ad + bc) + a^2 + d^2 - b^2 - c^2)(2(ad + bc) - a^2 - d^2 + b^2 +c^2) \,</math>
:<math>= (a+d+b-c)(a+d+c-b)(a+b+c-d)(d+b+c-a). \,</math>
 
Ако означимосе полуобим означи са <math> s = \frac{a+b+c+d}{2},</math> и уврстимото се гауврсти у претходномпретходни коракукорак:
 
:<math>16P^2 = 16(s-a)(s-d)(s-b)(s-c). \,</math>