Аксиома упаривања

У аксиоматској теорији скупова и областима логике, математике, и рачунарства које се њоме користе, аксиома упаривања је једна од аксиома Зермело-Френкел теорије скупова.

Формални исказ

У формалном језику Зермело-Френкел аксиома, аксиома гласи:

$\forall A\,\forall B\,\exists C\,\forall D\,[D\in C\iff (D=A\lor D=B)]$

или написано речима:

За било који дати скуп A и било који скуп B, постоји скуп C, такав да, за било који дати скуп D, D је члан C ако и само ако D је једнако A или D је једнако B.

Или простије речено:

За два дата скупа, постоји скуп чији су елементи управо два дата скупа.

Интерпретација

Ова аксиома заправо каже да за два дата скупа A и B, може да се нађе скуп C, чији су елементи тачно A и B. Може да се користи аксиома екстензионалности да се покаже да је овај скуп C јединствен. Скуп C се назива паром за A и B, и означава се са {A, B}. Значи, суштина аксиоме је:

Свака два скупа имају пар.

{A, A} се скраћено записује као {A}, и назива се синглтон који садржи A. Ваља уочити да је синглтон посебан случај пара.

Аксиома упаривања такође допушта дефиницију уређених парова. За свака два скупа $a$ и $b$, уређени пар се дефинише на следећи начин:

$(a,b)=\{\{a\},\{a,b\}\}.\,$

Ова дефиниција задовољава услов

$(a,b)=(c,d)\iff a=c\land b=d.$

Уређена n-торка може рекурзивно да се дефинише на следећи начин:

$(a_{1},\ldots ,a_{n})=((a_{1},\ldots ,a_{n-1}),a_{n}).\!$

Не-независност

Аксиома упаривања се генерално сматра неконтроверзном, и она или њен еквивалент се појављује у мање-више свакој алтернативној аксиоматској теорији скупова. Па ипак, у стандардној формулацији Зермело-Френкел теорије скупова, аксиома упаривања следи из шеме аксиома замене примењене на било који дати скуп са два или више елемената, и стога се понекад изоставља. Постојање таквог скупа са два елемента, као што је { {}, { {} } }, може да се дедукује било из аксиоме празног скупа и аксиоме партитивног скупа или из аксиоме бесконачности.

Уопштење

Заједно са аксиомом празног скупа, аксиома упаривања може да се уопшти у следећу шему:

$\forall A_{1}\,\ldots \,\forall A_{n}\,\exists C\,\forall D\,[D\in C\iff (D=A_{1}\lor \cdots \lor D=A_{n})]$

то јест:

За било који дати коначни број скупова A₁ до A_n, постоји скуп C чији елементи су управо A₁ до A_n.

Овај скуп C је такође јединствен по аксиоме екстензионалности, и означава се као {A₁,...,A_n}.

Наравно, није могуће ригорозно говорити о коначном броју скупова ако претходно није дефинисан (коначан) скуп коме поменути скупови припадају.

Стога ово није један исказ већ шема, са засебним исказом за сваки природан број n.

• Случај n = 1 је аксиома упаривања за A = A₁ и B = A₁.
• Случај n = 2 је аксиома упаривања за A = A₁ и B = A₂.
• Случајеви n > 2 могу да се докажу узастопним коришћењем аксиоме упаривања и аксиоме уније.

На пример, како би се доказао случај n = 3, користи се аксиома упаривања три пута да се произведе пар {A₁, A₂}, синглтон {A₃}, а затим пар {{A₁,A₂},{A₃}}. Аксиома уније затим производи жељени резултат, {A₁,A₂,A₃}. Ова шема може да се прошири да укључује n = 0 ако се тај случај интерпретира као аксиома празног скупа.

Стога, ова аксиома може да се користи као шема аксиома уместо аксиоме празног скупа и аксиоме упаривања. Међутим, уобичајено је да се аксиома празног скупа и аксиома упаривања користе засебно, а затим да се докаже ово уопштење као шема теорема. Његово усвајање као шеме аксиома не би заменило аксиому уније, која би и даље била потребна за друге ситуације.

Још једна алтернатива

Још једна аксиома која имплицира аксиому упаривања у присуству аксиоме празног скупа гласи:

$\forall A\,\forall B\,\exists C\,\forall D\,[D\in C\iff (D\in A\lor D=B)]$.

Узимањем {} за A а x за B, добија се {x} за C. Затим се узма {x} за A а y за B, што даје {x, y} за C. Може да се настави са овим и да се изгради било који коначан скуп. И ово може да се користи да се генеришу сви наследно коначни скупови без коришћења аксиоме избора.

Литература

• Paul Halmos, Naive set theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York. 1974. ISBN 978-0-387-90092-6. (Springer-Verlag edition).
• Jech, Thomas (2003). Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN 978-3-540-44085-7. .
• Kunen, Kenneth (1980). Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. Elsevier. ISBN 978-0-444-86839-8. .