У математици, функција грешке (такође позната и као Гаусова функција грешке ) је неелементарна функција која се јавља у вероватноћи , статистици , и парцијалним диференцијалним једначинама .
График функције грешке Дефинише се као:
erf
(
x
)
=
2
π
∫
0
x
e
−
t
2
d
t
.
{\displaystyle \operatorname {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t.}
Комплементарна функција грешке , која се означава као erfc, је дефинисана преко функције грешке:
erfc
(
x
)
=
1
−
erf
(
x
)
=
2
π
∫
x
∞
e
−
t
2
d
t
.
{\displaystyle {\mbox{erfc}}(x)=1-{\mbox{erf}}(x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{x}^{\infty }e^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t.}
Комплексна функција грешке , означена као w (x ), (позната и као Фадеева функција) је такође дефинисана преко функције грешке:
w
(
x
)
=
e
−
x
2
erfc
(
−
i
x
)
.
{\displaystyle w(x)=e^{-x^{2}}{\textrm {erfc}}(-ix).\,\!}
Функција грешке је непарна функција :
erf
(
−
x
)
=
−
erf
(
x
)
.
{\displaystyle \operatorname {erf} (-x)=-\operatorname {erf} (x).}
За сваки комплексан број x важи
erf
(
x
¯
)
=
erf
(
x
)
¯
{\displaystyle \operatorname {erf} ({\overline {x}})={\overline {\operatorname {erf} (x)}}}
где је
x
¯
{\displaystyle {\overline {x}}}
конјуговано комплексна вредност
x
{\displaystyle x}
Интеграл се не може израчунати у затвореној форми елементарних функција , али развојем подинтегралног дела у Тејлоров ред, добија се Тејлоров ред функције грешке као:
erf
(
x
)
=
2
π
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
x
2
n
+
1
n
!
(
2
n
+
1
)
=
2
π
(
x
−
x
3
3
+
x
5
10
−
x
7
42
+
x
9
216
−
⋯
)
{\displaystyle \operatorname {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{n!(2n+1)}}={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\left(x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{10}}-{\frac {x^{7}}{42}}+{\frac {x^{9}}{216}}-\ \cdots \right)}
који важи за сваки реалан број
x
{\displaystyle x}
комплексну раван . (Ово произилази из развоја Тејлоровог реда
e
−
x
2
{\displaystyle e^{-x^{2}}}
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
x
2
n
n
!
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{n!}}}
За итеративно израчунавање горњег реда, следећа алтернативна формулација може бити од користи:
erf
(
x
)
=
2
π
∑
n
=
0
∞
(
x
∏
i
=
1
n
−
(
2
i
−
1
)
x
2
i
(
2
i
+
1
)
)
=
2
π
∑
n
=
0
∞
x
2
n
+
1
∏
i
=
1
n
−
x
2
i
{\displaystyle \operatorname {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }\left(x\prod _{i=1}^{n}{\frac {-(2i-1)x^{2}}{i(2i+1)}}\right)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x}{2n+1}}\prod _{i=1}^{n}{\frac {-x^{2}}{i}}}
јер
−
(
2
i
−
1
)
x
2
i
(
2
i
+
1
)
{\displaystyle {\frac {-(2i-1)x^{2}}{i(2i+1)}}}
i
{\displaystyle i}
(
i
+
1
)
{\displaystyle (i+1)}
x
{\displaystyle x}
Функција грешке у бесконачности има вредност 1 (погледати Гаусов интеграл ).
Извод функције грешке следи директно из њене дефиниције:
d
d
x
e
r
f
(
x
)
=
2
π
e
−
x
2
.
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,\mathrm {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\,e^{-x^{2}}.}
Инверзна функција грешке има ред
erf
−
1
(
x
)
=
∑
k
=
0
∞
c
k
2
k
+
1
(
π
2
x
)
2
k
+
1
,
{\displaystyle \operatorname {erf} ^{-1}(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {c_{k}}{2k+1}}\left({\frac {\sqrt {\pi }}{2}}x\right)^{2k+1},\,\!}
где је c 0 = 1, а
c
k
=
∑
m
=
0
k
−
1
c
m
c
k
−
1
−
m
(
m
+
1
)
(
2
m
+
1
)
=
{
1
,
1
,
7
6
,
127
90
,
…
}
.
{\displaystyle c_{k}=\sum _{m=0}^{k-1}{\frac {c_{m}c_{k-1-m}}{(m+1)(2m+1)}}=\left\{1,1,{\frac {7}{6}},{\frac {127}{90}},\ldots \right\}.}
Тако добијамо развој реда (приметити да су поништени заједнички чиниоци из имениоца и бројиоца):
erf
−
1
(
x
)
=
1
2
π
(
x
+
π
x
3
12
+
7
π
2
x
5
480
+
127
π
3
x
7
40320
+
4369
π
4
x
9
5806080
+
34807
π
5
x
11
182476800
+
⋯
)
.
{\displaystyle \operatorname {erf} ^{-1}(x)={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}\left(x+{\frac {\pi x^{3}}{12}}+{\frac {7\pi ^{2}x^{5}}{480}}+{\frac {127\pi ^{3}x^{7}}{40320}}+{\frac {4369\pi ^{4}x^{9}}{5806080}}+{\frac {34807\pi ^{5}x^{11}}{182476800}}+\cdots \right).\,\!}
Вредност функције грешке у
±
∞
{\displaystyle \pm \infty }
±
1
{\displaystyle \pm 1}
уреди
Корисни асимптотски развој комплементарне функције грешке (а самим тим и функције грешке) за велико x је
e
r
f
c
(
x
)
=
e
−
x
2
x
π
[
1
+
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
1
⋅
3
⋅
5
⋯
(
2
n
−
1
)
(
2
x
2
)
n
]
=
e
−
x
2
x
π
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
(
2
n
)
!
n
!
(
2
x
)
2
n
.
{\displaystyle \mathrm {erfc} (x)={\frac {e^{-x^{2}}}{x{\sqrt {\pi }}}}\left[1+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)}{(2x^{2})^{n}}}\right]={\frac {e^{-x^{2}}}{x{\sqrt {\pi }}}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {(2n)!}{n!(2x)^{2n}}}.\,}
Овај ред дивергира за свако коначно x . Практично, само првих пар чланова овог развоја је потребно да се израчуна добра апроксимација erfc(x ), док Тејлоров ред дат изнад конвергира јако споро.
Још једна апроксимација је дата са
(
erf
(
x
)
)
2
≈
1
−
exp
(
−
x
2
4
/
π
+
a
x
2
1
+
a
x
2
)
{\displaystyle (\operatorname {erf} (x))^{2}\approx 1-\exp \left(-x^{2}{\frac {4/\pi +ax^{2}}{1+ax^{2}}}\right)}
где је
a
=
−
8
3
π
π
−
3
π
−
4
.
{\displaystyle a={\frac {-8}{3\pi }}{\frac {\pi -3}{\pi -4}}.}
Функција грешке је суштински идентична стандардној нормалној кумулативној функцији расподеле, означеној као Φ, јер се оне разликују само по скалирању и транслацији:
Φ
(
x
)
=
1
2
[
1
+
erf
(
x
2
)
]
.
{\displaystyle \Phi (x)={\frac {1}{2}}\left[1+{\mbox{erf}}\left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)\right]\,.}
уреди
График генерализоване функције грешке
E
1
(
x
)
{\textstyle E_{1}(x)}
E
1
(
x
)
=
(
1
−
e
−
x
)
/
π
{\textstyle E_{1}(x)=(1-e^{-x})/{\sqrt {\pi }}}
E
2
(
x
)
=
erf
(
x
)
{\textstyle E_{2}(x)=\operatorname {erf} (x)}
E
3
(
x
)
{\textstyle E_{3}(x)}
E
4
(
x
)
{\textstyle E_{4}(x)}
E
5
(
x
)
{\textstyle E_{5}(x)}
Неки аутори расправљају о општијој функцији
E
n
(
x
)
=
n
!
π
∫
0
x
e
−
t
n
d
t
=
n
!
π
∑
p
=
0
∞
(
−
1
)
p
x
n
p
+
1
(
n
p
+
1
)
p
!
.
{\displaystyle E_{n}(x)={\frac {n!}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{n}}\,\mathrm {d} t={\frac {n!}{\sqrt {\pi }}}\sum _{p=0}^{\infty }(-1)^{p}{\frac {x^{np+1}}{(np+1)p!}}\,.}
Случајеви вредни помена су:
E 0 (x ) је права линија дефинисана као:
E
0
(
x
)
=
x
e
π
{\displaystyle E_{0}(x)={\frac {x}{e{\sqrt {\pi }}}}}
E 2 (x ) је функција грешке, erf(x ).После дељења са n !, све E n n изгледају слично (али не и идентично) једна другој. Слично томе, E n n изгледају слично (али не и идентично) једна другој после простог дељења са n !. Све генерализоване функције грешке за n >0 изгледају слично за позитивне вредности x на графику.
Ове генерализоване функције се за x >0 могу еквивалентно представити користећи Гама функцију :
E
n
(
x
)
=
x
(
x
n
)
−
1
/
n
Γ
(
n
)
(
Γ
(
1
n
)
−
Γ
(
1
n
,
x
n
)
)
π
,
x
>
0
{\displaystyle E_{n}(x)={\frac {x\left(x^{n}\right)^{-1/n}\Gamma (n)\left(\Gamma \left({\frac {1}{n}}\right)-\Gamma \left({\frac {1}{n}},x^{n}\right)\right)}{\sqrt {\pi }}},\quad \quad x>0}
Према овоме, можемо дефинисати функцију грешке преко Гама функције:
erf
(
x
)
=
1
−
Γ
(
1
2
,
x
2
)
π
{\displaystyle \operatorname {erf} (x)=1-{\frac {\Gamma \left({\frac {1}{2}},x^{2}\right)}{\sqrt {\pi }}}}
уреди
Итеративни интеграли комплементарне функције грешке су дефинисани преко:
i
n
erfc
(
z
)
=
∫
z
∞
i
n
−
1
erfc
(
ζ
)
d
ζ
.
{\displaystyle \mathrm {i} ^{n}\operatorname {erfc} \,(z)=\int _{z}^{\infty }\mathrm {i} ^{n-1}\operatorname {erfc} \,(\zeta )\;\mathrm {d} \zeta .\,}
Оне имају степени ред :
i
n
erfc
(
z
)
=
∑
j
=
0
∞
(
−
z
)
j
2
n
−
j
j
!
Γ
(
1
+
n
−
j
2
)
,
{\displaystyle \mathrm {i} ^{n}\operatorname {erfc} \,(z)=\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(-z)^{j}}{2^{n-j}j!\Gamma \left(1+{\frac {n-j}{2}}\right)}}\,,}
из кога следе својства симетричности
i
2
m
erfc
(
−
z
)
=
−
i
2
m
erfc
(
z
)
+
∑
q
=
0
m
z
2
q
2
2
(
m
−
q
)
−
1
(
2
q
)
!
(
m
−
q
)
!
{\displaystyle \mathrm {i} ^{2m}\operatorname {erfc} (-z)=-\mathrm {i} ^{2m}\operatorname {erfc} \,(z)+\sum _{q=0}^{m}{\frac {z^{2q}}{2^{2(m-q)-1}(2q)!(m-q)!}}}
и
i
2
m
+
1
erfc
(
−
z
)
=
i
2
m
+
1
erfc
(
z
)
+
∑
q
=
0
m
z
2
q
+
1
2
2
(
m
−
q
)
−
1
(
2
q
+
1
)
!
(
m
−
q
)
!
.
{\displaystyle \mathrm {i} ^{2m+1}\operatorname {erfc} (-z)=\mathrm {i} ^{2m+1}\operatorname {erfc} \,(z)+\sum _{q=0}^{m}{\frac {z^{2q+1}}{2^{2(m-q)-1}(2q+1)!(m-q)!}}\,.}
C/C++: Имплементирана је као функција double erf(double x) и double erfc(double x) у заглављу math.h или cmath у ГНУ верзији. Ово није део стандарда и зависи од имплементационе библиотеке. Парови функција {erff() ,erfcf() } и {erfl() ,erfcl() } узимају и враћају типове float и long double .
![{\displaystyle \mathrm {erfc} (x)={\frac {e^{-x^{2}}}{x{\sqrt {\pi }}}}\left[1+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)}{(2x^{2})^{n}}}\right]={\frac {e^{-x^{2}}}{x{\sqrt {\pi }}}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {(2n)!}{n!(2x)^{2n}}}.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0789bcb91bd891f494ae2d240322b08a9975bafb)
![{\displaystyle \Phi (x)={\frac {1}{2}}\left[1+{\mbox{erf}}\left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)\right]\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3860c53a80e99d4418194b9142646ab0377345cf)
