Отворите главни мени

Хелмхолцова теорема или Хелмхолцова декомпозиција представља једну од теорема векторскога рачуна. Према тој теореми ако су дивергенција и ротор за тродимензионално векторско поље одређени у свакој тачки коначне области, тада унутар ње векторско поље може да се растави на две компоненте, једну иротациону (чији ротор је једнак нули) и другу соленоидну. Хелмолцова теорема је добила име по Херману фон Хелмхолцу.

ТеоремУреди

Ако су дивергенција и ротор за тродимензионално векторско поље   одређени у свакој тачки коначне области, тада се унутар те области то векторско поље може да се растави на две компоненте, једну иротациону (чији ротор је једнак нули) и другу соленоидну, тј:

 

где је:

  и
 

То заправо значи да се такво векторско поље може генерирати са два потенцијала, једним скаларним   и другим векторским  .

ПотенцијалиУреди

Пошто је:

 
 
 

Онда се те две функције даду изразити преко скаларнога потенцијала   и векторскога потенцијала   тј:

 
 

односно:

 

При томе је:

 
 

Ако   опада довољно брзо у бесконачности, тада друга компонента тежи нули, па вреди:

 
 

Лонгитудинална и трансверзална пољаУреди

Често се у физици те две компоненте векторскога поља помињу као лонгитудинална и трансверзална компонента. Таква терминологија настала је када се Фуријеовом трансформацијом од поља   добије поље  , које се онда у свакој тачки k декомпонира у две компоненте, од којих је лонгитудиналан у смеру k, а трансверзална вертикална на k. Тада имамо:

 
 
 

Инверзном Фуријеровом трансформацијом добијамо:

 
 
 

што представља Хелмхолцову декомпозицију.

ЛитератураУреди