Скаларни производ вектора

Скаларни производ вектора је бинарна операција која као аргументе узима два вектора а резултат јој је скалар. То је посебан случај унутрашњег множења простора. Ако су ова два вектора a и b из векторског простора V, запис ове операције је следећи:

$(a,b)\mapsto a\cdot b$

Скаларним производом се зове свако пресликавање које има следеће особине:

$(u+v)\cdot w=u\cdot w+v\cdot w$

$(\alpha u)\cdot v=\alpha (u\cdot v)$

$u\cdot v=v\cdot u$

$u\neq 0\Rightarrow u\cdot u>0$

При чему су u, v и w вектори из V а α произвољан реалан број.

Приказ стандардног скаларног производа вектора

Скаларни производ вектора ${\vec {x}}$ и ${\vec {y}}$ се дефинише на следећи начин:

${\vec {x}}\cdot {\vec {y}}=|{\vec {x}}|\,|{\vec {y}}|\,\cos \measuredangle \left({\vec {x}},{\vec {y}}\right)=x_{1}\,y_{1}+x_{2}\,y_{2}+\ldots +x_{n}\,y_{n}$

Притом су $|{\vec {x}}|$ и $|{\vec {y}}|$ интензитети тих вектора, одређених следећим координатама:

${\vec {x}}=(x_{1},x_{2},\dots x_{n})$ и ${\vec {y}}=(y_{1},y_{2},\dots y_{n})$

Пример скаларног множења вектора (1, 3, −5) и (4, −2, −1) у тродимензионалном простору:

${\begin{aligned}&(1,3,-5)\cdot (4,-2,-1)\\&=1\cdot 4+3\cdot (-2)+(-5)\cdot (-1)\\&=4-6+5\\&=3\end{aligned}}$

Доказ

Формула :${\vec {x}}\cdot {\vec {y}}=|{\vec {x}}|\cdot |{\vec {y}}|\cdot \cos \measuredangle \left({\vec {x}},{\vec {y}}\right)$ се може доказати посматрањем два вектора са заједничким почетком и њихове разлике:

Ако је $\gamma$, угао између два вектора чији скаларни производ треба пронаћи, коришћењем косинусне теореме може се писати:

$|{\vec {c}}|^{2}=|{\vec {a}}|^{2}+|{\vec {b}}|^{2}-2|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cdot \cos {\gamma }$

Пошто је ${\vec {c}}$ једнак ${\vec {b}}-{\vec {a}}$, следи:

$|{\vec {b}}-{\vec {a}}|^{2}=|{\vec {a}}|^{2}+|{\vec {b}}|^{2}-2|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cdot \cos {\gamma }$

Одакле се налази:

$\left({\vec {b}}-{\vec {a}}\right)\cdot \left({\vec {b}}-{\vec {a}}\right)={\vec {a}}\cdot {\vec {a}}+{\vec {b}}\cdot {\vec {b}}-2|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cdot \cos {\gamma }$

${\vec {b}}\cdot {\vec {b}}-2{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}+{\vec {a}}\cdot {\vec {a}}={\vec {a}}\cdot {\vec {a}}+{\vec {b}}\cdot {\vec {b}}-2|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cdot \cos {\gamma }$

Одатле се добија коначна формула:

${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cdot \cos {\gamma }.$

Ортогонални вектори

Заменом вредности угла у претходној формули за случај да су вектори ${\vec {x}}$ и ${\vec {y}}$ узајамно нормални добија се:

${\vec {x}}\cdot {\vec {y}}=0$.

Ова особина је често корисна за доказивање да су вектори узајамно нормални, јер је за то довољно и неопходно да им скаларни производ буде једнак нули.

Особине

Скаларни производ вектора поседује следеће особине:

• комутативност

${{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}}={{\vec {b}}\cdot {\vec {a}}}$

• дистрибутиван је у односу на сабирање

$({\vec {a}}+{\vec {b}})\cdot {\vec {c}}={\vec {a}}\cdot {\vec {c}}+{\vec {b}}\cdot {\vec {c}}$

• у општем случају није асоцијативан
• за њега важи следеће:

$(\alpha {\vec {a}})\cdot {\vec {b}}={\vec {a}}\cdot (\alpha {\vec {b}})=\alpha {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}$

Коришћење за израчунавање интензитета вектора

Коришћењем скаларног производа вектора може се извести формула за интензитет вектора.

Пошто је:

${\vec {x}}\cdot {\vec {y}}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}={x_{1}}{y_{1}}+{x_{2}}{y_{2}}+\dotsb +{x_{n}}{y_{n}}.$

За специјалан случај када је ${\vec {x}}={\vec {y}}$ једнакост прелази у: ${\vec {x}}\cdot {\vec {x}}={x_{1}}^{2}+{x_{2}}^{2}+{x_{3}}^{2}+\dots +{x_{n}}^{2}$

На основу тога се закључује:

$|{\vec {x}}|={\sqrt {{\vec {x}}\cdot {\vec {x}}}}={\sqrt {{x_{1}}^{2}+{x_{2}}^{2}+\dots +{x_{n}}^{2}}}.$

Овај образац представља формулу за израчунавање интензитета вектора.

Примена у физици

Пошто су сами вектори примењиви у физици и скаларни производ вектора налази примену у њој. Тако се на пример рад дефинише као скаларни производ вектора силе и вектора помераја:

$A={\vec {F}}\cdot {\vec {r}}=|{\vec {F}}|\cdot |{\vec {r}}|\cdot \cos \alpha$

Геометријска интерпретација

Пошто је познато да је скаларни производ два вектора и производ њиховог интензитета са углом између њих, може се инверзном операцијом израчунати и угао.

${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=|{\vec {a}}|\,|{\vec {b}}|\cos \theta \,$ $\Longrightarrow$ $\theta =\arccos \left({\frac {{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}}{|{\vec {a}}||{\vec {b}}|}}\right).$

Троструки производ

$\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )-\mathbf {c} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ),$ Ova formula pronalazi primjenu u pojednostavljenju vektorskih proračuna u fizici

Пројекција вектора на вектор

Помоћу скаларног производа може се израчунати пројекција вектора на вектор тј.

• ${\overrightarrow {a}}{\overrightarrow {b_{0}}}=\mid {\overrightarrow {a}}\mid \ cos\omega ={\overrightarrow {a_{b}}}$ скаларна пројекција вектора ${\overrightarrow {a}}$ na vektor ${\overrightarrow {b}}$
• ${\overrightarrow {a}}{\overrightarrow {b_{0}}}=\mid {\overrightarrow {a}}\mid \ cos\omega ={\overrightarrow {b_{a}}}$ скаларна пројекција вектора ${\overrightarrow {b}}$ na vektor ${\overrightarrow {a}}$
• $({\overrightarrow {a}}{\overrightarrow {b_{0}}})*{\overrightarrow {b_{0}}}=a_{b}{\overrightarrow {b_{0}}}$ векторска пројекција вектора ${\overrightarrow {a}}$ на вектор ${\overrightarrow {b}}$
• $({\overrightarrow {a_{0}}}{\overrightarrow {b}})*{\overrightarrow {a_{0}}}=b_{a}{\overrightarrow {a_{0}}}$ векторска пројекција вектора ${\overrightarrow {b}}$ на вектор ${\overrightarrow {a}}$

Последице скаларног множења

• ${\overrightarrow {a}}\cdot {\overrightarrow {b}}=0\Rightarrow {\overrightarrow {a}}\bot {\overrightarrow {b}}$
• ${\overrightarrow {a}}{\overrightarrow {a}}=\mid {\overrightarrow {a}}\mid \mid {\overrightarrow {a}}\mid \cos \ 0=\mid {\overrightarrow {a}}\mid ^{2}=>\mid {\overrightarrow {a}}\mid {\sqrt {{\overrightarrow {a}}{\overrightarrow {a}}}}$
• ${\overrightarrow {a}}\perp {\overrightarrow {b}}=>{\overrightarrow {a}}{\overrightarrow {b}}=0$
• ${\overrightarrow {a}}{\overrightarrow {b}}=0=>{\overrightarrow {a}}\perp {\overrightarrow {b}}$ ili je bar jedan od vektora ${\overrightarrow {0}}$
• $cos\omega ={\frac {{\overrightarrow {a}}{\overrightarrow {b}}}{\mid {\overrightarrow {a}}\mid \mid {\overrightarrow {a}}\mid }}$ ($0<\omega <\pi$)

Види још

• Вектор
• Скалар
• Векторски производ вектора
• Мешовити производ вектора

Литература

• A I Borisenko; I E Taparov (1968). Vector and tensor analysis with applications. Превод: Richard Silverman. Dover. стр. 14. 
• M.R. Spiegel; Lipschutz, S.; Spellman, D. (2009). Vector Analysis (Schaum’s Outlines) (2nd изд.). McGraw Hill. ISBN 978-0-07-161545-7. 
• Lipschutz, S.; Lipson, M. (2009). Linear Algebra (Schaum’s Outlines) (4th изд.). McGraw Hill. ISBN 978-0-07-154352-1. 
• Јован Д. Кечкић. Математика са збирком задатака за средње школе. Завод за уџбенике. 2008. година. Београд
• Fraleigh, John B. (1976), A First Course in Abstract Algebra (2nd изд.), Reading: Addison-Wesley, ISBN 0-201-01984-1 
• Hall, Marshall Jr. (1959), The Theory of Groups, New York: Macmillan 
• Hardy, Darel W.; Walker, Carol L. (2002), Applied Algebra: Codes, Ciphers and Discrete Algorithms, Upper Saddle River, NJ: Prentice-Hall, ISBN 0-13-067464-8 
• Rotman, Joseph J. (1973), The Theory of Groups: An Introduction (2nd изд.), Boston: Allyn and Bacon 
• Vieta, Franciscus (1591). In artem analyticem isagoge seorsim excussa ab Opere restitutae mathematicae analyseos, seu Algebra noua [Guide to the analytic art [...] or new algebra] (на језику: латински). Tours: apud Iametium Mettayer typographum regium. Приступљено 2015-06-24. 
• Липковски, Александар (2007). Линеарна алгебра и аналитичка геометрија. Београд: Завод за уџбенике. ISBN 978-86-17-14540-6. COBISS.SR 139743756. 
• Милошевић, Иванка. Векторски простори и елементи векторске анализе (PDF). Београд: Физички факултет Универзитета у Београду. Приступљено 2. 12. 2010. 
• Cantrell, Cyrus D. (2000). Modern Mathematical Methods for Physicists and Engineers (на језику: (језик: енглески)). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-59180-5. Приступљено 14. 12. 2010. CS1 одржавање: Непрепознат језик (веза)
• Аднађевић, Душан (2008). Математичка анализа I (8. допуњено изд.). Београд: Математички факултет. стр. 5. ISBN 978-86-7589-067-6. COBISS.SR 145997068. 
• Artin, Michael (1991), Algebra, Prentice Hall, ISBN 978-0-89871-510-1 
• Blass, Andreas (1984), „Existence of bases implies the axiom of choice” (PDF), Axiomatic set theory (Boulder, Colorado, 1983), Contemporary Mathematics, 31, Providence, R.I.: American Mathematical Society, стр. 31—33, MR 763890 
• Brown, William A. (1991), Matrices and vector spaces, New York: M. Dekker, ISBN 978-0-8247-8419-5 
• Lang, Serge (1987), Linear algebra, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-96412-6 
• Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, 211 (Revised third изд.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556 
• Mac Lane, Saunders (1999), Algebra (3rd изд.), стр. 193—222, ISBN 978-0-8218-1646-2 
• Meyer, Carl D. (2000), Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, SIAM, ISBN 978-0-89871-454-8 
• Roman, Steven (2005), Advanced Linear Algebra, Graduate Texts in Mathematics, 135 (2nd изд.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-24766-3 
• Spindler, Karlheinz (1993), Abstract Algebra with Applications: Volume 1: Vector spaces and groups, CRC, ISBN 978-0-8247-9144-5 
• van der Waerden, Bartel Leendert (1993), Algebra (на језику: немачки) (9th изд.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-56799-8 

Спољашње везе

• Hazewinkel Michiel, ур. (2001). „Inner product”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. 
• Weisstein, Eric W. „Dot product”. MathWorld. 
• Explanation of dot product including with complex vectors
• "Dot Product" by Bruce Torrence, Wolfram Demonstrations Project, 2007.
• Линеарна алгебра: Увод у векторе, видео на Кан академији (језик: енглески)
• Векторски простор на Wolfram MathWorld (језик: енглески)
• Векторски простори, белешке за предавања, Универзитет у Единбургу (језик: енглески)
• Увод у векторске просторе, из серије предавања Lecture Series on Quantum Physics by Prof. V. Balakrishnan, Department of Physics, IIT Madras. (језик: енглески)