Mandelbrotov skup

фрактал назван по Бенои Манделброту, сродан Јулијином фракталу
(преусмерено са Mandelbrot set)

Mandelbrotov set ili skup je skup tačaka kompleksne ravni za koje je Julijin skup (u užem smislu) povezan.[1][2] One su povezane funkcijom koja ne divergira pri iteracijama od , i.e., za koju sekvenca , , etc., ostaje vezana u apsolutnoj vrednosti. Set je dobio ime po francusko-američkom matematičaru Benoi Mandelbrotu.[3]

Zumiranje u Mandelbrotov set
Mandelbrotov skup

Slike Mandelbrotovog seta se mogu kreirati putem uzorkovanja kompleksnih brojeva i testiranja, za svaku tačku uzorka , da li sekvenca ide u beskonačnost (u praksi - da li napušta neko unapred određeno granično susedstvo od 0 nakon unapred određenog broja iteracija). Tretirajući realne i imaginarne delove od kao koordinate slike kompleksne ravni, pri čemu se pikseli zatim mogu obojiti prema tome koliko brzo niz prelazi neki proizvoljno izabrani prag. Specijalna boja (obično crna) se koristi za vrednosti za koje sekvenca niz ne prelazi preko praga nakon unapred određenog broja iteracija (to je neophodno da bi se napravila jasna razlika između slike Mandelbrotovog seta i njegovog komplementa). Ako se drži konstantinim i inicijalna vrednost od , označena sa , se umesto toga varira, dobija se korespondirajući Julijin set za svaku tačku u parametarskom prostoru jednostavne funkcije.

KonstrukcijaУреди

 
Preko slike Mandelbrotovog skupa nacrtani su mali Julijini skupovi čija vrednost c odgovara koordinati kompleksne ravni na kojoj se nalazi središte svakog od njih.

U Julijin skup (u užem smislu), kao što je već rečeno, može se uvrstiti bilo koji kompleksni broj c. Zavisno od tog broju, Julijin skup može biti povezan ili nepovezan. Ako na kompleksnoj ravni označimo sve brojeve c pomoću kojih se dobiva povezan Julijin skup, definiše se Mandelbrotov skup. Mandelbrotov se skup može prikazati na isti način na koji se najčešće prikazuje Julijin skup – bojeći tačke koje pripadaju skupu crno, a ostale u raznim nijansama zavisno od toga koliko brzo divergiraju.

SvojstvaУреди

OsnovnaУреди

 
Mandelbrotov skup (crno) u kompleksnoj ravni

Mandelbrotov je skup zatvoren skup kojemu su sve tačke unutar (zatvorenog) kruga poluprečnika 2 sa središtem u ishodištu. Štaviše, tačka c pripada Mandelbrotovom skupu ako i samo ako vredi   za sve  . Drugim rečima, ako je apsolutna vrednost   za neki   veća od 2, niz će težiti u beskonačnost (divergirati). Presek Mandelbrotovog skupa sa realnom osom daje interval [−2, 0.25]. Površina se procenjuje na 1.506 591 77 ± 0.000 000 08, te se veruje da je jednaka  

SamosličnostУреди

Mandelbrotov je skup kvazi samosličan (vidi Podela fraktala) jer se u njemu pojavljuju izmenjene verzije njega samog.[4][5] Izmenjene su uglavnom zbog skupova tačaka koji „vire” iz njih povezujući ih s glavnim delom (deo 1 u podnaslovu ispod, slika desno).

 

Atraktori perioda-nУреди

 
Skupovi tačaka konvergiraju onom broju vrednosti kojim su označene.

Zanimljivo je da u području označenom cifrom 1 na slici sa strane svaka tačka konvergira samo jednoj vrijednosti (ne nužno istoj za svaku točku), odnosno tijekom iteracija stvara atraktor perioda-1 (vidi Bifurkacijski dijagram populacijske jednačine). Na području 2 svaka tačka čini atraktor perioda-2. U Mandelbrotovom skupu postoji barem jedno područje za atraktor perioda-n,  . Područja koja su direktno spojena s područjem 1 čine atraktor perioda-n, ako iz njih „viri” n-1 „antena”:

 

Galerija uvećavanjaУреди

Svaka slika predstavlja jedan uvećani deo prethodne. Vidljiva je beskonačna složenost skupa i bogatstvo geometrijskih struktura. Uvećanje zadnje slike u odnosu na prvu je otprilike 60 000 000 000 : 1. Na prosečnom monitoru zadnja slika bi bila deo Mandelbrotovog skupa prečnika oko 20 miliona kilometara.

 
 
I
 
II
 
III
 
IV
 
V
 
VI
 
VII
 
VIII
 
IX
 
X
 
XI
 
XII
 
XII
 
XIV

VarijacijeУреди

 
Multibrot skupovi trećeg i četvrtog stupnja

Moguće je napraviti Mandelbrotov skup pomoću funkcije  . Takvi se skupovi popularno nazivaju multibrot skupovima.

Vidi jošУреди

ReferenceУреди

  1. ^ „Mandelbrot Set Explorer: Mathematical Glossary”. Приступљено 07. 10. 2007. 
  2. ^ R.P. Taylor & J.C. Sprott (2008). „Biophilic Fractals and the Visual Journey of Organic Screen-savers” (pdf). Nonlinear Dynamics, Psychology, and Life Sciences, Vol. 12, No. 1. Society for Chaos Theory in Psychology & Life Sciences. Приступљено 01. 1. 2009. 
  3. ^ Adrien Douady and John H. Hubbard, Etude dynamique des polynômes complexes, Prépublications mathémathiques d'Orsay 2/4 (1984 / 1985)
  4. ^ Lei (1990). „Similarity between the Mandelbrot set and Julia Sets”. Communications in Mathematical Physics. 134: 587—617. Bibcode:1990CMaPh.134..587L. doi:10.1007/bf02098448. 
  5. ^ Milnor, J. (1989). „Self-Similarity and Hairiness in the Mandelbrot Set”. Ур.: M. C. Tangora. Computers in Geometry and Topology. New York: Taylor & Francis. стр. 211—257. )

LiteraturaУреди

Spoljašnje vezeУреди