Naivna teorija skupova
Naivna teorija skupova je teorija skupova u kojoj su skupovi uvedeni koristeći tzv. samoevidentni koncept skupova kao kolekcija objekata smatranih celinom.[1] Ona predstavlja početnu fazu u izgradnji teorije skupova, i obuhvata vreme kad je njen osnivač Georg Kantor objavio radove o teoriji skupova 1871. godine do pojave prvih paradoksa. On se pri izradi nije služio aksiomima, ali su sve teoreme koje je dobio izvodive iz tri aksioma: ekstenzionalnosti, komprehenzije i izbora.[2]
U toj teoriji skup je primitivan pojam koji se kao takav ne defini]e. Podrazumeva se da čilac već ima izgrađenu intuiciju o pojmu skupa, odnosno da je skup kolekcija objekata koji zajedno čine celinu. Veliki deo teorije skupova Kantor je izgradio na ovakvom nedefiniranom i vrlo nejasnom pojmu skupa. Konsekventno, kad je teorija postala priznata, pojavili su se paradoksi. Pojave paradoksa (koji su se pojavili Raselovim otkrićem paradoksa) i nerešivih problema u naivnoj teoriji izbjegavane su uvođenjem teorije tipova, teorije klasa i dr. Slabe osnove pokazale su potrebu za aksiomima i Ernst Zermelo je 1908. godine predložio aksiomatizaciju teorije, dokazavši da se može dobro urediti svaki skup. Uvođenjem aksioma teorija se razvila, te se nastala aksiomatska teorija skupova.[2][3][4]
Skupovi su od velike važnosti u matematici; u modernim formalnim tretmanima većina matematičkih objekata (brojevi, odnosi, funkcije, itd.) su definisani u smislu skupova. Naivna teorija skupova je dovoljna za mnoge svrhe, a ujedno služi i kao odskočna daska ka formalnijim tretmanima.
MetodУреди
Naïvna teorija u smislu „naivne teorije skupova” je neformalizovana teorija, odnosno teorija koja koristi prirodni jezik za opisivanje skupova i operacija na skupovima. Reči i, ili, ako ... onda, ne, za neke, za svaki se tretiraju kao u običnoj matematici. Kao pogodnost, upotreba naivne teorije skupova i njen formalizam preovlađuju čak i u višoj matematici - uključujući i formalnije postavke same teorije skupova.
Prvi razvoj teorije skupova bila je naivna teorija skupova. Nju je kreirao krajem 19. veka Georg Kantor kao deo njegove studije beskonačnih skupova,[5] a razvio ju je Gotlob Frege u svom radu Begriffsschrift.
Naivna teorija skupova se može odnositi na nekoliko vrlo različitih pojmova. To može biti
- Neformalni prikaz teorije aksiomatičnih skupova, npr. kao u Naivnoj teoriji skupova, Pola Halmosa.
- Rane ili kasnije verzije Georg Kantorove teorije i drugih neformalnih sistema.
- Odlučno nedosledne teorije (bilo aksiomatske ili ne), kao što je teorija Gotloba Grege[6] koja je proizvela Raselov paradoks, te teorije Đuzepe Peana[7] i Ričarda Dedekinda.
ParadoksiУреди
Pretpostavka da se bilo koje svojstvo može koristiti za formiranje skupa, bez ograničenja, dovodi do paradoksa. Jedan čest primer je Raselov paradoks: ne postoji skup koji se sastoji od „svih skupova koji ne sadrže sebe”. Stoga dosledni sistemi naivne teorije skupova moraju da sadrže i neka ograničenja u principima koji se mogu koristiti za formiranje skupova.
Kantorova teorijaУреди
Neki smatraju da Georg Kantorova teorija skupova zapravo nije bila umešana u skupovno-teoretske paradokse (pogledajte Frápolli 1991). Jedna od poteškoća da se to sa sigurnošću utvrdi je što Kantor nije pružio aksiomatizaciju svog sistema. Do 1899. godine, Kantor je bio svestan nekih paradoksa proizašlih iz neograničenog tumačenja njegove teorije, na primer, Kantorovog paradoksa[8] i Barali-Fortijevog paradoksa,[9] i nije smatrao da su oni diskreditovali njegovu teoriju.[10] Kantorov paradoks može se izvesti iz gornje (pogrešne) pretpostavke - da se svako svojstvo P(x) može koristiti za formiranje skupa - uzimajući da je P(x) x kardinalni broj. Frege je eksplicitno aksiomatizovao teoriju u kojoj se može interpretirati formalizovana verzija naivne teorije skupova, i upravo je na tu formalnu teoriju Bertrand Rasel referirao kada je izneo svoj paradoks, a ne nužno Kantorovu teoriju.
ReferenceУреди
- ^ Jeff Miller writes that naïve set theory (as opposed to axiomatic set theory) was used occasionally in the 1940s and became an established term in the 1950s. It appears in Hermann Weyl's review of P. A. Schilpp (Ed). (1946). “The Philosophy of Bertrand Russell” American Mathematical Monthly, 53(4), p. 210 and in a review by Laszlo Kalmar. (1946). “The Paradox of Kleene and Rosser”. Journal of Symbolic Logic, 11(4), p. 136. (JSTOR). [1] The term was later popularized in a book by Paul Halmos (1960). Naïve Set Theory.
- ^ а б Prirodoslovno matematički fakultet u Zagrebu Архивирано на сајту Wayback Machine (24. јул 2019) Mladen Vuković: Teorija skupova; Zagreb: Sveučilište u Zagrebu, siječanj 2015. str . 2-3
- ^ Paradoks i kontradikcija nisu istoznačnice. Paradoks predstavlja tvrdnju čiji je dokaz logički neupitan, ali je intuitivno sama tvrdnja vrlo upitna.
- ^ Mac Lane, Saunders (1971), „Categorical algebra and set-theoretic foundations”, Axiomatic Set Theory (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XIII, Part I, Univ. California, Los Angeles, Calif., 1967), Amer. Math. Soc., Providence, R.I., стр. 231—240, MR 0282791. "The working mathematicians usually thought in terms of a naïve set theory (probably one more or less equivalent to ZF) ... a practical requirement [of any new foundational system] could be that this system could be used "naïvely" by mathematicians not sophisticated in foundational research" (p. 236).
- ^ Cantor 1874
- ^ Frege 1893 In Volume 2, Jena 1903. pp. 253-261 Frege discusses the antionomy in the afterword.
- ^ Peano 1889 Axiom 52. chap. IV produces antinomies.
- ^ Letter from Cantor to David Hilbert on September 26, 1897, Meschkowski & Nilson 1991, pp. 388.
- ^ Letter from Cantor to Richard Dedekind on August 3, 1899, Meschkowski & Nilson 1991, pp. 408.
- ^ Letters from Cantor to Richard Dedekind on August 3, 1899 and on August 30, 1899, Zermelo 1932, pp. 448(System aller denkbaren Klassen) and Meschkowski & Nilson 1991, pp. 407. (There is no set of all sets.)
LiteraturaУреди
- Bourbaki, N., Elements of the History of Mathematics, John Meldrum (trans.), Springer-Verlag, Berlin, Germany, 1994.
- Cantor, Georg (1874), „Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen”, J. Reine Angew. Math., 77: 258—262, doi:10.1515/crll.1874.77.258, See also pdf version:
- Devlin, K.J., The Joy of Sets: Fundamentals of Contemporary Set Theory, 2nd edition, Springer-Verlag, New York, NY, 1993.
- María J. Frápolli|Frápolli, María J., 1991, "Is Cantorian set theory an iterative conception of set?". Modern Logic, v. 1 n. 4, 1991, 302–318.
- Frege, Gottlob (1893), Grundgesetze der Arithmetik, 1, Jena 1893.
- Halmos, Paul, Naïve Set Theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition). Reprinted by Martino Fine Books, 2011. ISBN 978-1-61427-131-4 (Paperback edition).
- Jech, Thomas (2002). Set theory, third millennium edition (revised and expanded). Springer. ISBN 3-540-44085-2.
- Kelley, J.L., General Topology, Van Nostrand Reinhold, New York, NY, 1955.
- van Heijenoort, J., From Frege to Gödel, A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931, Harvard University Press, Cambridge, MA, 1967. Reprinted with corrections, 1977. ISBN 0-674-32449-8.
- Meschkowski, Herbert; Nilson, Winfried (1991), Georg Cantor: Briefe. Edited by the authors., Berlin: Springer, ISBN 3-540-50621-7
- Peano, Giuseppe (1889), Arithmetices Principies nova Methoda exposita, Turin 1889.
- Zermelo, Ernst (1932), Georg Cantor: Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts. Mit erläuternden Anmerkungen sowie mit Ergänzungen aus dem Briefwechsel Cantor-Dedekind. Edited by the author., Berlin: Springer
Spoljašnje vezeУреди
- Beginnings of set theory page at St. Andrews
- Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (S)