Белови полиноми

Белови полиноми су значајни у комбинаторици, а облика су:

$B_{n,k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-k+1})$

$=\sum {n! \over j_{1}!j_{2}!\cdots j_{n-k+1}!}\left({x_{1} \over 1!}\right)^{j_{1}}\left({x_{2} \over 2!}\right)^{j_{2}}\cdots \left({x_{n-k+1} \over (n-k+1)!}\right)^{j_{n-k+1}},$

У горњем изразу сумира се по свим низовима j₁, j₂, j₃, ..., j_n−k+1 позитивних бројева тако да је

$j_{1}+j_{2}+\cdots =k$ и $j_{1}+2j_{2}+3j_{3}+\cdots =n.$

Белови полиноми названи су у част америчкога математичара Ерика Темпла Бела.

Потпуни Белови полиноми

Потпуни Белови полиноми се називају суме Белових полинома облика:

$B_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-k+1})$

За разлику од њих полиноми $B_{n,k}$ називају се парцијалним Беловим полиномима. Потпуни Белови полиноми могу да се представе и преко детерминанте тј:

$B_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})=\det {\begin{bmatrix}x_{1}&{n-1 \choose 1}x_{2}&{n-1 \choose 2}x_{3}&{n-1 \choose 3}x_{4}&{n-1 \choose 4}x_{5}&\cdots &\cdots &x_{n}\\\\*1&x_{1}&{n-2 \choose 1}x_{2}&{n-2 \choose 2}x_{3}&{n-2 \choose 3}x_{4}&\cdots &\cdots &x_{n-1}\\\\0&-1&x_{1}&{n-3 \choose 1}x_{2}&{n-3 \choose 2}x_{3}&\cdots &\cdots &x_{n-2}\\\\0&0&-1&x_{1}&{n-4 \choose 1}x_{2}&\cdots &\cdots &x_{n-3}\\\\0&0&0&-1&x_{1}&\cdots &\cdots &x_{n-4}\\\\0&0&0&0&-1&\cdots &\cdots &x_{n-5}\\\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\\\0&0&0&0&0&\cdots &-1&x_{1}\end{bmatrix}}.$

Значај у комбинаторици

Белови парцијални полиноми $B_{n,k}$ показују на колико се начина неки број n може приказати као сума k различитих бројева. Нпр:

$B_{6,3}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})=15x_{4}x_{1}^{2}+60x_{3}x_{2}x_{1}+15x_{2}^{3}$

показује да има

15 начина да се скуп од 6 прикаже као 4 + 1 + 1,

60 начина да се скуп од 6 прикаже као 3 + 2 + 1, и

15 начина да се скуп од 6 прикаже као 2 + 2 + 2.

Својства

$B_{n,k}(1!,2!,\dots ,(n-k+1)!)={\binom {n}{k}}{\binom {n-1}{k-1}}(n-k)!$

У случају када су сви x_i једнаки 1 Белови полиноми $B_{n,k}(x_{1},x_{2},..)$ су онда једнаки Стирлинговим бројевима друге врсте:

$B_{n,k}(1,1,\dots )=S(n,k)=\left\{{n \atop k}\right\}.$

Сума таквих Белових полинома представља n-ти Белов број:

$\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(1,1,1,\dots )=\sum _{k=1}^{n}\left\{{n \atop k}\right\}$

Белови полиноми се сусрећу и у следећој формули развоја у ред:

$\exp \left(\sum _{n=1}^{\infty }{a_{n} \over n!}x^{n}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{B_{n}(a_{1},\dots ,a_{n}) \over n!}x^{n}.$

Полиномни низ

За низ бројева a₁, a₂, a₃, …претпоставимо:

$p_{n}(x)=\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(a_{1},\dots ,a_{n-k+1})x^{k}.$

Тај низ је биномнога типа, тј задовољава:

$p_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}p_{k}(x)p_{n-k}(y)$ за n ≥ 0.

Литература

• Comtet, Louis (1974). Advanced Combinatorics: The Art of Finite and Infinite Expansions. Dordrecht, Holland / Boston, U.S.: Reidel Publishing Company. 
• Andrews, George E. (1998). The Theory of Partitions. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-63766-4.