Петоугао
У геометрији, петоугао (одe грчког πέντε pente са значењем пет и γωνία gonia са значењем угао[1]) многоугао је са пет темена и пет страница. Сума унутрашњих углова једноставног петоугла је 540°.
Петоугао | |
---|---|
![]() Једнакостранични петоугао, односно петоугао чијих пет страница има исту дужину | |
Ивице и темена | 5 |
Унутрашњи угао (степени) | 108° (ако је једнакоугаон, укључујући и регуларaн) |
Правилни петоугао
уредиПравилни петоугао је петоугао код кога су све странице једнаке дужине и сви унутрашњи углови једнаки. Сваки унутрашњи угао правилног петоугла има по 108° (степени), а збир свих унутрашњих углова било ког петоугла износи 540°. Ако му је основна страница дужине , површина правилног петоугла се одређује формулом .
Површина се може израчунати и са
где је - полупречник описаног круга, а - полупречник уписаног круга. Обим петоугла коме је страница дужине биће једнак . Однос дијагонале и странице петоугла једнак је , што одговара златном пресеку.
Правилан петоугао има пет линија рефлексијске симетрије, и ротациону симетрију реда 5 (кроз 72°, 144°, 216° и 288°). Дијагонале конвексног правилног петоугла су у златном пресеку према његовим страницама. Његова висина (удаљеност од једне стране до супротног врха) и ширина (удаљеност између две најудаљеније раздвојене тачке, која је једнака дужини дијагонале) су дате као
где је R полупречник описаног круга.
Површина конвексног правилног петоугла са дужином странице t је дата са
Када је правилан петоугао описан кругом полупречника R, његова дужина ивице t је дата изразом
а његова површина је
пошто је површина описаног круга правилни пентагон испуњава приближно 0,7568 свог описаног круга.
Извођење формуле површине
уредиПовршина било ког правилног полигона је:
где је P обим полигона, а r полупречник (еквивалентно апотема). Замена вредности регуларног пентагона за P и r даје формулу
са дужином странице t.
Интрарадијус
уредиСлично сваком правилном конвексном полигону, правилан конвексни петоугао има уписан круг. Апотема, која је полупречник r уписаног круга, правилног петоугла је повезана са дужином странице t помоћу
Тетиве од описаног круга до врхова
уредиКао и сваки правилан конвексни многоугао, правилни конвексни петоугао има описан круг. За правилан петоугао са узастопним врховима A, B, C, D, E, ако је P било која тачка на описаној кружници између тачака B и C, онда је PA + PD = PB + PC + PE.
Тачка у равни
уредиЗа произвољну тачку у равни правилног петоугла са полупречником круга , чија су растојања до тежишта правилног пентагона и његових пет врхова и респективно, важи[2]
Ако су растојања од врхова правилног петоугла до било које тачке на његовој описаној кружници, онда је[2]
Конструкција
уредиПравилни петоугао се може конструисати уз помоћ лењира и шестара. Следећа анимација илуструје корак по корак, једну од могућих конструкција.
Еуклидов метод
уредиПравилан петоугао се може конструисати помоћу шестара и лењира, било уписивањем у дати круг, или конструисањем на датој ивици. Овај процес је описао Еуклид у својим Елементима око 300. године п. н. е.[3][4]
Галерија
уреди-
Државна ознака за квалитет коришћена у некадашњем Совјетском Савезу имала је модификовани петоугао у својој основи.
-
Петоугао се може добити везивањем папирне траке у чвор.
Види још
уредиРеференце
уреди- ^ "pentagon, adj. and n." OED Online. Oxford University Press, June 2014. Web. 17 August 2014.
- ^ а б Meskhishvili, Mamuka. „Cyclic Averages of Regular Polygons and Platonic Solids”. Communications in Mathematics and Applications. 11: 335—355. arXiv:2010.12340 .
- ^ George Edward Martin (1998). Geometric constructions. Springer. стр. 6. ISBN 0-387-98276-0.
- ^ Fitzpatrick, Richard (2008). Euklid's Elements of Geometry, Book 4, Proposition 11 (PDF). Превод: Richard Fitzpatrick. стр. 119. ISBN 978-0-6151-7984-1.
Литература
уреди- Eric W. Weisstein (2003). CRC concise encyclopedia of mathematics (2nd изд.). CRC Press. стр. 329. ISBN 1-58488-347-2.
- DeTemple, Duane W. (фебруар 1991). „Carlyle circles and Lemoine simplicity of polygon constructions” (PDF). The American Mathematical Monthly. 98 (2): 97—108. JSTOR 2323939. doi:10.2307/2323939. Архивирано из оригинала (PDF) 21. 12. 2015. г.
- Bagina, Olga (2004), „Tiling the plane with congruent equilateral convex pentagons”, Journal of Combinatorial Theory, Series A, 105 (2): 221—232, ISSN 1096-0899, MR 2046081, doi:10.1016/j.jcta.2003.11.002
- Bagina, Olga (2011), Мозаики из выпуклых пятиугольников [Tilings of the plane with convex pentagons], Vestnik (на језику: руски), 4 (48): 63—73, ISSN 2078-1768, Приступљено 29. 1. 2013
- Bellos, Alex (11. 8. 2015), „Attack on the pentagon results in discovery of new mathematical tile”, The Guardian
- Chavey, D. (1989), „Tilings by Regular Polygons—II: A Catalog of Tilings”, Computers & Mathematics with Applications, 17 (1–3): 147–165, doi:10.1016/0898-1221(89)90156-9
- Gardner, Martin (1988), „Tiling with Convex Polygons”, Time travel and other mathematical bewilderments, New York: W.H. Freeman, Bibcode:1988ttom.book.....G, ISBN 978-0-7167-1925-0, MR 0905872
- Gerver, M. L. (2003), „Theorems on tessellations by polygons”, Sbornik: Mathematics, 194 (6): 879—895, Bibcode:2003SbMat.194..879G, doi:10.1070/sm2003v194n06abeh000743
- Godrèche, C. (1989), „The sphinx: a limit-periodic tiling of the plane”, Journal of Physics A: Mathematical and General, 22 (24): L1163—L1166, Bibcode:1989JPhA...22L1163G, MR 1030678, doi:10.1088/0305-4470/22/24/006
- Grünbaum, Branko; Shephard, Geoffrey C. (1978), „Isohedral tilings of the plane by polygons”, Commentarii Mathematici Helvetici, 53: 542—571, ISSN 0010-2571, doi:10.1007/bf02566098
- Grünbaum, Branko; Shephard, Geoffrey C. (1987), „Tilings by polygons”, Tilings and Patterns , New York: W. H. Freeman and Company, ISBN 978-0-7167-1193-3, MR 0857454
- Hirschhorn, M. D.; Hunt, D. C. (1985), „Equilateral convex pentagons which tile the plane” (PDF), Journal of Combinatorial Theory, Series A, 39 (1): 1—18, ISSN 1096-0899, MR 787713, doi:10.1016/0097-3165(85)90078-0 , Приступљено 2020-10-30
- Kershner, Richard (1968), „On paving the plane”, American Mathematical Monthly, 75 (8): 839—844, ISSN 0002-9890, JSTOR 2314332, MR 0236822, doi:10.2307/2314332
- Klaassen, Bernhard (2016), „Rotationally symmetric tilings with convex pentagons and hexagons”, Elemente der Mathematik, 71 (4): 137—144, ISSN 0013-6018, arXiv:1509.06297 , doi:10.4171/em/310
- Mann, Casey; McLoud-Mann, Jennifer; Von Derau, David (2018), „Convex pentagons that admit -block transitive tilings”, Geometriae Dedicata, 194 (1): 141—167, arXiv:1510.01186 , doi:10.1007/s10711-017-0270-9
- Rao, Michaël (2017), Exhaustive search of convex pentagons which tile the plane (PDF), arXiv:1708.00274
- Reinhardt, Karl (1918), Über die Zerlegung der Ebene in Polygone (Dissertation) (на језику: немачки), Borna-Leipzig: Druck von Robert Noske
- Schattschneider, Doris (1978), „Tiling the plane with congruent pentagons”, Mathematics Magazine, 51 (1): 29—44, ISSN 0025-570X, JSTOR 2689644, MR 0493766, doi:10.2307/2689644, Архивирано из оригинала 11. 12. 2023. г., Приступљено 21. 12. 2021
- Schattschneider, Doris (1985), „A new pentagon tiler”, Mathematics Magazine, 58 (5): 308, The cover has a picture of the new tiling
- Sugimoto, Teruhisa; Ogawa, Tohru (2005), „Systematic study of convex pentagonal tilings. I. Case of convex pentagons with four equal-length edges”, Forma, 20: 1—18, MR 2240616, Архивирано из оригинала 04. 03. 2016. г., Приступљено 21. 12. 2021
- Sugimoto, Teruhisa; Ogawa, Tohru (2009), „Systematic study of convex pentagonal tilings, II: tilings by convex pentagons with four equal-length edges”, Forma, 24 (3): 93—109, MR 2868775, Архивирано из оригинала 22. 08. 2020. г., Приступљено 21. 12. 2021; „Errata”. Forma. 25 (1): 49. 2010., , MR2868824
- Sugimoto, Teruhisa (2012), „Convex pentagons for edge-to-edge tiling, I”, Forma, 27 (1): 93—103, MR 3030316, Архивирано из оригинала 20. 05. 2020. г., Приступљено 21. 12. 2021
- Wolchover, Natalie (11. 7. 2017), „Pentagon Tiling Proof Solves Century-Old Math Problem”, Quanta Magazine
- Becker, Udo (1994). „Pentagram”. The Continuum Encyclopedia of Symbols. Превод: Garmer, Lance W. New York City: Continuum Books. стр. 230. ISBN 978-0-8264-0644-6.
- Conway, John Horton; Burgiel, Heidi; Goodman-Strauss, Chaim (април 2008). „Chapter 26, Higher Still: Regular Star-Polytopes”. The Symmetries of Things. Wellesley, Massachusetts: A. K. Peters. стр. 404. ISBN 978-1-56881-220-5.
- Ferguson, George Wells (1966) [1954]. Signs and Symbols in Christian Art. New York City: Oxford University Press. стр. 59. OCLC 65081051.
- Gravrand, Henry (јануар 1990). La civilisation Sereer, Volume II: Pangool. Nouvelles éditions Africaines du Sénégal (на језику: француски). Dakar, Senegal. ISBN 2-7236-1055-1.
- Grünbaum, Branko; Shephard, Geoffrey Colin (1987). Tilings and Patterns. New York: W. H. Freeman. ISBN 978-0-7167-1193-3.
- Grünbaum, Branko (1994). „Polyhedra with Hollow Faces”. Ур.: Bisztriczky, T.; McMullen, P.; Schneider, A.; Weiss, A. Ivić. Polytopes: Abstract, Convex and Computational. NATO ASI Series C: Mathematical and Physical Sciences. 440. Dordrecht: Springer Netherlands. стр. 43—70. ISBN 978-94-010-4398-4. doi:10.1007/978-94-011-0924-6_3.
Спољашње везе
уреди- Петоугао на Mathworld (језик: енглески)
- Дефиниција и особине петоугла, са интерактивном анимацијом (језик: енглески)
- Raul A. Simon, „Approximate Construction of Regular Polygons: Two Renaissance Artists”. (језик: енглески)
- Animated demonstration constructing an inscribed pentagon with compass and straightedge.
- „How to construct a regular pentagon”. with only a compass and straightedge.
- „How to fold a regular pentagon”. using only a strip of paper
- „Renaissance artists' approximate constructions of regular pentagons”. Архивирано на сајту Wayback Machine (13. април 2021)
- Pentagon. How to calculate various dimensions of regular pentagons.